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2-2-2向量减法运算及其几何意义


2-2-2 向量减法运算及其几何意义 一、选择题 → → 1.AC-AB等于( )

→ → → → A.AC B.AB C.CB D.BC [答案] D → → 2.在?ABCD 中,AC-AD等于( → → → → A.AB B.BA C.CD D.DB [答案] A → → → → → [解析] AC-AD=DC,在?ABCD 中,DC=AB. → 3.

下列四式不能化简为PQ的是( → → → A.AB+(PA+BQ) → → → → B.(AB+PC)+(BA-QC) → → → C.QC+CQ-QP → → → D.PA+AB-BQ [答案] D → → → → → → → → → → [解析] AB+(PA+BQ)=(AB+BQ)-AP=AQ-AP=PQ;(AB+ → → → → → → → → → → → → PC)+(BA-QC)=(AB-AB)+(PC+CQ)=PQ; QC+CQ-QP=-QP → → → → → → → =QP;PA+AB-BQ=PB-BQ≠PQ. ) )

4.化简以下各式: → → → → → → → ①AB+BC+CA; ②AB-AC+BD-CD; → → → → → → → ③OA-OD+AD; ④NQ+QP+MN-MP. 结果为零向量的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] D → → → → → → → [解析] ①AB+BC+CA=AC+CA=AC-AC=0; → → → → → → → → → → ②AB-AC+BD-CD=(AB+BD)-(AC+CD)=AD-AD=0; → → → → → → → → ③OA-OD+AD=(OA+AD)-OD=OD-OD=0; → → → → → → → → → ④NQ+QP+MN-MP=NP+PM+MN=NM-NM=0. )

5.如图,D,E,F 分别是△ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则 → → AF-DB等于( → A.FD → C.FE ) → B.FC → D.DF

[答案] D → → → → → [解析] AF-DB=AF-AD=DF. → → → 6.若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( A.[3,8] C.[3,13] [答案] C → → → → → → → → [解析] 由于BC=AC-AB,则有|AB|-|AC|≤|BC|≤|AB|+|AC|, → 即 3≤|BC|≤13. 7.(2011· 湖南高考)若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各 式中成立的是( ) → → → B.EF=OF-OE → → → D.EF=-OF-OE B.(3,8) D.(3,13,) )

→ → → A.EF=OF+OE → → → C.EF=-OF+OE [答案] B

[解析] 由向量的减法的定义求解. → → 8. 已知△ABC 的三个顶点 A、 B、 C 及平面内一点 P 满足PA+PB → =PC,下列结论中正确的是( A.P 在△ABC 的内部 B.P 在△ABC 的边 AB 上 C.P 在 AB 边所在直线上 D.P 在△ABC 的外部 )

[答案] D → → → [解析] 由PA+PB=PC可得 → → → → PA=PC-PB=BC,∴四边形 PBCA 为平行四边形. 可知点 P 在△ABC 的外部.选 D. 9.如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是( )

→ → A.AB=DC → → → B.AD+AB=AC → → → C.AB-AD=BD → → D.AD+CB=0 [答案] C → → [解析] A 显然正确. 由平行四边形法则知 B 正确. C 中AB-AD → → → → → =DB,故 C 错误.D 中AD+CB=AD+DA=0.

→ → → → 10.已知OA=a,OB=b,|OA|=5,|OB|=12,∠AOB=90° ,则 |a-b|=________.( )

A.7 B.17 C.13 D.8 [答案] C → → → [解析] 如图,∵a-b=OA-OB=BA, → ∴|a-b|=|BA|= 52+122=13.

故选 C. 二、填空题 → → 11.已知点 C 是线段 AB 的中点,则AC-CB=________. [答案] 0 → → → → [解析] ∵AC=CB,∴AC-CB=0.

→ → → 12.已知如图,在正六边形 ABCDEF 中,与OA-OC+CD相等 的向量有________. → → → → → → → → → → ①CF; ②AD; ③DA; ④BE; ⑤CE+BC; ⑥CA-CD; ⑦AB+AE. [答案] ① → → → → → → [解析] OA-OC+CD=CA+CD=CF; → → → → → → CE+BC=BC+CE=BE≠CF; → → → → CA-CD=DA≠CF; → → → → AB+AE=AD≠CF. [点评] 在向量的减法中,无论是作图还是化简都必须考虑起点 是否相同,差向量的起点和终点顺序不能颠倒. 13.已知|a|=7,|b|=2,且 a∥b,则|a-b|=________. [答案] 5 或 9 [解析] 当 a 与 b 方向相同时,|a-b|=|a|-|b|=7-2=5; 当 a 与 b 方向相反时,|a-b|=|a|+|b|=7+2=9. → → 14.在△OAB 中,已知OA=a,OB=b,且|a|=|b|=4,∠AOB =60° ,则|a-b|=________. [答案] 4 [解析] ∵|a|=|b|,∴OA=OB.又∠AOB=60° , ∴△ABO 是等边三角形,∴BA=4, → → → ∴|a-b|=|OA-OB|=|BA|=4. 三、解答题

15.如图,已知向量 a、b、c、d,求作向量 a-b,c-d. → → [解析] 作法:如下图,在平面内任取一点 O,作OA=a,OB= → → b,OC=c,OD=d,

→ → 则BA=a-b,DC=c-d. → → → 16.如图所示,在四边形 ABCD 中,AC=AB+AD,对角线 AC → → → → 与 BD 交于 O,设OA=a,OB=b,用 a 与 b 表示AB和AD.

→ → → [解析] ∵AC=AB+AD, ∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∴点 O 是 DB 的中点,也是 AC 的中点, → → → ∴AB=OB-OA=b-a, → → → → → AD=OD-OA=-OB-OA=-b-a. → → 17.在平行四边形 ABCD 中,AB=a,AD=b,先用 a,b 表示 → → 向量AC和DB,并回答:当 a,b 分别满足什么条件时,四边形 ABCD 为矩形、菱形、正方形? → → → [解析] 由向量加法的平行四边形法则, 得AC=a+b, DB=AB- → AD=a-b. 则有:当 a、b 满足|a+b|=|a-b|时,平行四边形的两条对角线 相等,四边形 ABCD 为矩形; 当 a、 b 满足|a|=|b|时, 平行四边形的两条邻边相等, 四边形 ABCD 为菱形; 当 a、b 满足|a+b|=|a-b|且|a|=|b|时,四边形 ABCD 为正方形. 18.已知非零向量 a、b 满足|a|= 7+1,|b|= 7-1,且|a-b| =4,求|a+b|的值. → → [解析] 如图,作OA=a,OB=b, → 则|BA|=|a-b|.

→ 以 OA 与 OB 为邻边作平行四边形 OACB,则|OC|=|a+b|. 由于( 7+1)2+( 7-1)2=42, → → → 2 2 故|OA| +|OB| =|BA|2,

所以△OAB 是直角三角形, 从而 OA⊥OB,所以?OACB 是矩形. → → 根据矩形的对角线相等,有|OC|=|BA|=4, 即|a+b|=4.


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