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唐山二中6月高二数学月考文科


唐山二中 2011—2012 学年度第二学期 高二年级第二次月考

文科数学试题
命题人:朱立平 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的。 1.若复数 z ?
x ? 3i 1? i ( x ? R ) 是纯虚数,则 x 的值为(

)

r />
A. 3
2

B. 0

C.-3

D.

3

2.曲线 C: y ? x ? x 在 x ? 1 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 互相垂直,则实数 a 的值 为( A.
1 3

)[来源:学*科*网] B. -
1 3

C. 3

D. -3

3.已知实数列 ? 1, x , y , z , ? 2 成等比数列,则 xyz =( A. ? 2 2 B. ? 2 2 C.—4



D. ? 4

4.执行右面的程序框图,如果输入
m ? 102 , n ? 30 ,则输出的 n 是(

) D. 0

A. 12

B. 6

C. 3

5.从 1,2,3,4,5 中随机取出二个不同的数, 其和为奇数的概率为( ) A. C.
1 5 3 5

B. D.

2 5 4 5

6.正四面体 PABC 中,M 为棱 AB 的中点, 则 PA 与 CM 所成角的余弦值为( A. 3 2 B. 3 4 C. 3 6 ) D. 3 3

1

7. a ? b ? 0 ”是“ “

a ?b
2

2

?

a?b 2

”的(



2

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.函数 y ? s in x ? 2 s in x ? 1 的最大值为(
2

) D.-1

A.2

B. -2

C.1

9.等差数列{ a n }中, a 5 ? 0 , a 6 ? 0 且 a 6 ? | a 5 | , S n 是数列{ a n }的前 n 项的和,则 下列正确的是 ( )

A. S 1 , S 2 , S 3 均小于 0, S 4 , S 5 , S 6 ?均大于 0 ; B. S 1 , S 2 , ? S 5 均小于 0 , S 6 , S 7 ?均大于 0; C. S 1 , S 2 , ? S 9 均小于 0 , S 10 , S 11 ?均大于 0; D. S 1 , S 2 , ? S 11 均小于 0 , S 12 , S 13 ?均大于 0。 10. 若椭圆
x
2

?

y

2

? 1( m ? 0 , n ? 0 ) 与曲线 x ? y
2

2

? | m ? n | 无交点, 则椭圆的离心率 e

m

n

的取值范围是 ( A. (
3 2 , 1)

) B. ( 0 ,
3 2 )

C. (

2 2

, 1)

D. ( 0 ,

2 2

)

11.设函数 A. ? ? ? , ? 1 ? ? ?2 , ?? ? B. ? ? 1 , 2 ?

若 f ( x ) 的值域为 R ,则常数 a 的取值范围是( ) C. ? ? ? , ? 2 ? ? ?1, ?? ? D. ? ? 2 ,1 ?

12. 已知在平面直角坐标系 xOy 中 , O ( 0 , 0 ), A (1, ? 2 ), B (1,1 ), C ( 2 , ? 1 ), 动点 M ( x , y ) 满足条
? ? 2 ? OM ? OA ? 2 , ? ?1 ? OM ? OB ? 2 , ?

件 ? A.1

则 OM ? OC 的最大值为( ) D.4

B.2

C.3

ABBB CCAA CDAD

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若抛物线 y ? 2 p x 的焦点与双曲线
2

x

2

? y

2

? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 4

3

14.已知 f ( x ) ?

e ?1
x

e ?1
x

, 若 f (m ) ?

1 2

,则 f (? m ) ?

?

1 2

.

15.在等比数列{ a n }中, a 1 ? q=__-2______。

1 2

, a 4 ? ? 4 ,则公比

16.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为
3 2

,且一个内角为 6 0 ? 的菱形,俯视图为正方形,那么这 .

个几何体的表面积为 4

三、解答题:本大题共 8 小题,共 70 分。17~21 小题为必做题, 22~24 小题为选做题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)
? ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且
b bc
2

? c

2

? a

2

?

3 3

(1)求角 A ; (2)设函数 f ( x ) ? sin x ? 2 sin A cos x , 将函数 y ? f ( x ) 的图象上各点的纵坐标保持 不变,横坐标缩短到原来的
1 2

,把所得图象向右平移

?
6

个单位,得到函数 y ? g ( x ) 的图

象,求函数 y ? g ( x ) 单调递增区间. (1)由余弦定理得 cos A ?
3 2

A=

?
6

----------6 分
2 sin( x ?

(2)由(1)得: f ( x ) ? sin x ? cos x ? 由题可得 g ( x ) ? 令 2 k? ?
?
2 ? 2x ? 2 sin( 2 x ?

?
4

) ,

----------------7 分

?
12

) -----------9 分

?
12

? 2 k? ?

?
2

, 得 k? ?

5? 24

? x ? k? ?

7? 24

, (k ? Z )

3







y ? g ( x )的单调递增区间为

[k? ?

5? 24

, k? ?

7? 24

], ( k ? Z )

---------------12 分 18. (本小题满分 12 分) 某校高二 (1) 班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏, 但可见部分如下,据此解答如下问题.
频率 组距 0.04

茎 叶 5 6 7 8 9 5 8 6 8 2 3 3 5 6 8 9 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9

0.028

0.016 0.008 50 60 70 80 90 100 分数

⑴求全班人数及分数在 ?80 , 90 ? 之间的频数; ⑵估计该班的平均分数,并计算频率分布直方图中 ?80 , 90 ? 间的矩形的高; ⑶若要从分数在 ?80 , 100? 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中, 求至少有一份分数在 ?90 , 100? 之间的概率. ⑴由茎叶图知,分数在 ?50 , 全班人数为
2 0.08

60 ? 之间的频数为 2 ,频率为 0.008 ? 10 ? 0.08 ,

? 25 .

所以分数在 ?80 , 90 ? 之间的频数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4 ⑵分数在 ?50 , 分数在 ? 60 ,
60 ? 之间的总分为 56 ? 58 ? 114 ; 70 ? 之间的总分为 60 ? 7 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 ? 6 ? 8 ? 9 ? 456 ;

分数在 ? 70 , 80 ? 之间的总分数为
70 ? 10 ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 747 ; 分数在 ?80 , 90 ? 之间的总分约为 85 ? 4 ? 340 ;

分数在 [90 , 100] 之间的总分数为 95 ? 98 ? 193 ; 所以,该班的平均分数为
114 ? 456 ? 747 ? 340 ? 193 25 ? 74 .

估计平均分时,以下解法也给分: 分数在 ?50 , 分数在 ? 60 ,
60 ? 之间的频率为
2 25 ? 0.08 ;

70 ? 之间的频率为

7 25
10 25

? 0.28 ;
? 0.40

分数在 ? 70 , 80 ? 之间的频率为



4

分数在 ?80 , 90 ? 之间的频率为 分数在 [90,100] 之间的频率为 所 以 , 该

4 25 2 25

? 0.16



? 0.08 ;




4











55 ? 0.08 ? 65 ? 0.28 ? 75 ? 0.40 ? 85 ? 0.16 ? 95 ? 0.08 ? 73.8

频率分布直方图中 ?80 , 90 ? 间的矩形的高为 ⑶将 ?80 , 90 ? 之间的 4 个分数编号为 1 , 为5 ,

? 10 ? 0.016 .

25

2 , 3 , 4 , ? 90 , 100? 之间的 2 个分数编号

6 ,在 ?80 , 100? 之间的试卷中任取两份的基本事件为:

?1 , 2 ? , ?1 , 3? , ?1 , 4 ? , ?1 , 5 ? , ?1 , 6 ?

? 2 , 3? , ? 2 , 4 ? , ? 2 , 5 ? , ? 2 , 6 ? , ? 3 , 4 ? , ? 3 , 5? , ? 3 , 6 ? ? 4 , 5? , ? 4 , 6 ?
? 5 , 6 ? 共 15 个,

其中,至少有一个在 ?90 , 100? 之间的基本事件有 9 个, 故至少有一份分数在 ?90 , 100? 之间的概率是
9 15 ? 0.6 .

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形 E,F 分别为 PC,BD 的中点, 侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= (Ⅰ)求证:EF//平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 C—PBD 的体积. D Ⅰ)证明:连接 AC,则 F 是 AC 的中点, E 为 PC 的中点,故在 ? CPA 中,EF//PA, 且 PA ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD,∴EF//平面 PAD (Ⅱ)取 AD 的中点 M,连接 PM,∵PA=PD,∴PM ⊥AD,又平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,∴PM⊥平面 ABCD. 在直角 ? PAM 中,求得 PM=
1 2 a ,∴ V C ? PBD ? V P ? BCD ? 1 3
S ? BCD ? PM=

2 2

AD.

P E C F A B

a

3

12

5

20. (本小题满分 12 分) 设椭圆 M :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率为

2 2

,点 A ( a ,0) B (0, ? b ) ,

原点 O 到直线 A B 的距离为 (Ⅰ)求椭圆 M 的方程;

2 3

3

(Ⅱ) 设点 C 为 ? a , , P 在椭圆 M 上 ( 0) 点 (与 A 、C 均不重合) 点 E 在直线 P C 上, , 若直线 P A 的方程为 y ? k x ? 4 ,且 C P ? B E ? 0 ,试求直线 B E 的方程.
??? ??? ? ?



(Ⅰ)由 e ?
2

c a

2 2

?

a ?b
2

2

a

2

? 1?

b a

2 2

?

1 2

得a ?

2b
x a ? y ?b

??????2 分
? 1,

由点 A ( a ,0) B (0, ? b )知直线 A B 的方程为 , 于是可得直线 A B 的方程为 x ? 因此
|0? 0? 1 ? (
2

2y ?

2b ? 0

2b | 2)
2

?

2b 3
x
2

?

2 3

3

,得 b ?

2 ,b

2

? 2 ,a

2

? 4 ,??????4 分

所以椭圆 M 的方程为 分

?

y

2

?1

??????5

4

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A 、 B 的坐标依次为(2,0) ( 0 , ? 2 ) , 、 因为直线 P A 经过点 A ( 2 , 0 ) ,所以 0 ? 2 k ? 4 ,得 k ? 2 , 即得直线 P A 的方程为 y ? 2 x ? 4 因为 C P ? B E ? 0 ,所以 k C P ? k B E ? ? 1 ,即 k B E ? ? 设 P 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ,
6

??? ??? ? ?

1 kCP

??????7 分

(法Ⅰ)由 ? 分

? ? y ? 2x ? 4 ?x ?
2

? 2y

2

? 4 ? 0

得 P(

14 9

,?

8 9

),则 K

PC

? ?

1 4

??????10

所以 KBE=4 又点 B 的坐标为 ( 0 , ? 2 ) ,因此直线 B E 的方程为 y ? 4 x ? 分 (法Ⅱ)由椭圆的性质 又 得?
y0 x0 ? 2
1 kCP
K
PA

2

??????12

?K

PB

? ?

b a

2 2

,因为 K
? 2 kCP

PA

? 2

?

y0 x0 ? 2

?

y0
2

2

x0 ? 4

? ?

2 4

? ?

1 2

? 4 ,即直线 B E 的斜率为 4
2

又点 B 的坐标为 ( 0 , ? 2 ) ,因此直线 B E 的方程为 y ? 4 x ?

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? (1)若 a
? 3 2

1 2

x

2

? ln x ? (1 ? a ) x .

,求函数

f (x)

的极值;
f (x) ? 0

(2)若对任意的 x ? (1, 3 ) ,都有 (1)
f ?? x ? ? x ? 1 x
f ?? x ? ? 0

成立,求 a 的取值范围.

?

5 2

?

2x

2

? 5x ? 2 2x



,得 x 1

?

1 2

,或 x 2

? 2

,列表:
1 2

x

(0,

1 2

)

1 2

(

,2 )

2 0 极小 ,

( 2 , ?? )

f ?( x )

+
?

0 极大 处取得极大值
f( 1 2 )? 7 8

?

+
?

f (x)

函数

f (x)

在x

?

1 2

? ln 2

????(2 分)

7

函数 (2)

f (x)

在 x ? 2 处取得极小值
1 x ? (1 ? a )

f ( 2 ) ? ln 2 ? 1


10 3 ),

????(4 分)

f ?? x ? ? x ?

, x ? ?1, 3 ? 时, x

?

1 x

? (2,

(i)当 1 ?

a ? 2

,即 a ? 1 时, ,函数
f (x)

x ? ?1 , 3 ? 时, f ? ? x ? ? 0

在 ?1 , 3 ? 是增函数 ????(6 分)

? x ? ?1, 3 ? , f ? x ? ? f ?1 ? ? 0

恒成立;

(ii)当 1 ?

a ?

10 3

,即 a

?

7 3

时,
f (x)

x ? ?1 , 3 ? 时, f ? ? x ? ? 0

,函数

在 ?1 , 3 ? 是减函数 ????(8 分)

? x ? ?1, 3 ? , f ? x ? ? f ?1 ? ? 0

恒成立,不合题意
a ? 7 3

(iii)当 2

?1? a ?

10 3

,即 1 ?

时, 在 ?1 , 3 ? 先递减,再递增,
[来源:Z§xx§k.Com]

x ? ?1 , 3 ? 时, f ? ? x ? 先取负,再取正,函数 f ( x )

而 f ?1 ? ?

0

,∴ ? x ? ?1, 3 ? , f ? x ? ? f ?1 ? ? 0 不能恒成立;.。。。。(10 分) 。。。。

综上, a 的取值范围是 a ? 1 . (可以解 a,按步骤给分)

????(12 分)

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 、 、 记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙O 上一点 C,且 OA=OB,CA=CB, ⊙O 交直线 OB 于 E、D. (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 ta n ? C E D ?
1 2 , ⊙O 的半径为 3,求 OA 的长.

E O D

如图,连接 OC,∵ OA=OB,CA=CB,∴ OC⊥AB,∴ AB A 是⊙O 的切线 (Ⅱ)∵ ED 是直径, ∴ ∠ECD=90°,Rt△BCD 中,

C

B

8

∵ tan∠CED=

1 2

, ∴

CD EC

=

1 2



∵ AB 是⊙O 的切线,

∴ ∠BCD=∠E,又 ∵ ∠CBD=∠EBC,∴ △BCD∽△BEC, ∴
BD BC
2

=

CD EC

=

1 2

, 设 BD=x,则 BC=2x,
2

又 BC =BD·BE, ∴ ( 2 x ) =x· x+6) ( , 解得:x1=0,x2=2, ∵ BD=x>0, ∴ BD=2, ∴ OA=OB=BD+OD=3+2=5 ?

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C 的参数方程是 ?
? y ? sin ? ? 1 ? x ? cos ?

( ? 是参数) 若以 O 为 ,

极点, x 轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,求曲 线 C 的极坐标方程. 由
? y ? sin ? ? 1 ? ? x ? cos ?
2



? y ? 1 ? sin ? ? ? x ? cos ?



















x ? ( y ? 1) ? 1 ,?????????4 分
2

∴曲线 C 是以 (0,1) 为圆心,半径等于的圆.令 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 代 入 并 整 理 得 ?
? 2sin ?

. 即 曲 线

C

的 极 坐 标 方 程 是

? ? 2sin ? . ??????????10 分

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 已知关于 x 的不等式 ax ? 1 ? ax ? a ? 1 ( a ? 0 ). (1)当 a ? 1 时,求此不等式的解集;
9

(2)若此不等式的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.
1 2 3 2 1 2

(1)当 a ? 1 时,得 2

x ?1 ? 1,
1 2


]?[

x ?1 ? 3 2

, 解得 x ?

或x ?

,

∴不等式的解集为 (??, 分 (2)∵

, ??) .

??????????????????5

ax ? 1 ? ax ? a ? a ? 1 ,

∴原不等式解集为 R 等价于

a ? 1 ? 1.

∴ a ? 2, 或a ? 0.

∵ a ? 0 ,∴ a ? 2. 分

∴实数 a 的取值范围为 [2,??) .

????????????10

10


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