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2012年全国高中数学联赛模拟试题01

时间:2012-08-09


2012 年全国高中数学联赛模拟试题(一)
(命题人:吴伟朝) 第一试

一、

选择题: (每小题 6 分,共 36 分)
2 2 2

1、 方程 6×(5a +b )=5c 满足 c≤20 的正整数解(a,b,c)的个数是 (A)1 (B)3 (C)4 (D)5 2、 函数 y ?
x
2

x ?1

(x∈R,x≠1)的递增区间是 (B)x≤0 或 x≥2 (D)x≤ 1 ?
2 或 x≥ 2

(A)x≥2 (C)x≤0

3、 过定点 P(2,1)作直线 l 分别交 x 轴正向和 y 轴正向于 A、B,使△AOB(O 为原点) 的面积最小,则 l 的方程为 (A)x+y-3=0 (B)x+3y-5=0 (C)2x+y-5=0 (D)x+2y-4=0 4、 若方程 cos2x+ 3 sin2x=a+1 在 ? 0 ,
? ?

? ? 上有两个不同的实数解 x, 则参数 a 的取 2? ?

值范围是 (A)0≤a<1 (B)-3≤a<1 (C)a<1 (D)0<a<1 5、 数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第 1000 项是 (A)42 (B)45 (C)48 (D)51 6、 在 1,2,3,4,5 的排列 a1,a2,a3,a4,a5 中,满足条件 a1<a2,a2>a3,a3<a4,a4>a5 的 排列的个数是 (A)8 (B)10 (C)14 (D)16

二、

填空题: (每小题 9 分,共 54 分)
1 2

1 、 [x] 表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数 , 则 方 程 是 . 2 2、设 a1=1,an+1=2an+n ,则通项公式 an= 99 3、数 7 被 2550 除所得的余数是 4、在△ABC 中,∠A=
?
3

× [x + x] = 19x + 99 的 实 数 解 x

2

. . .
2

,sinB=

5 13

,则 cosC=
2

5、设 k、?是实数,使得关于 x 的方程 x -(2k+1)x+k -1=0 的两个根为 sin?和 cos?,则?的取值范围是 . 6、数 5 ?

?

24

?

2n

(n∈N)的个位数字是



三、

(20 分)
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已知 x、y、z 都是非负实数,且 x+y+z=1. 求证:x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)≥0,并确定等 号成立的条件.

四、

(20 分)
2

(1) 求出所有的实数 a, 使得关于 x 的方程 x +(a+2002)x+a=0 的两根皆为整数. 3 2 2 (2) 试求出所有的实数 a, 使得关于 x 的方程 x +(-a +2a+2)x-2a -2a=0 有三 个整数根.

五、

(20 分) 试求正数 r 的最大值,使得点集 T={(x,y)|x、y∈R,且 x +(y-7) ≤r }一 定被包含于另一个点集 S={(x,y)|x、 ∈R, y 且对任何?∈R, 都有 cos2?+xcos? +y≥0}之中.
2 2 2

第二试 一、 (50 分) 2 设 a、b、c∈R,b≠ac,a≠-c,z 是复数,且 z -(a-c)z-b=0. 求证:
a
2

? b ? ?a ? c ?z ac ? b

? 1 的充分必要条件是(a-c) +4b≤0.

2

二、 (50 分) 如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 均是锐角,D 是 BC 边上的内点, 且 AD 平分∠BAC,过点 D 分别向两条直线 AB、AC 作垂线 DP、DQ, 其垂足是 P、Q,两条直线 CP 与 BQ 相交与点 K.求证: (1) AK⊥BC;

A P K B D Q C

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(2)

AK ? AP ? AQ ?

2 S △ ABC BC

,其中 S △ ABC 表示△ABC 的面积.

三、 (50 分) 给定一个正整数 n,设 n 个实数 a1,a2,…,an 满足下列 n 个方程:

?
确定和式 S ?

n

ai i? j

?

4 2 j ?1

( j ? 1, 2 , 3 , ? , n ) .

i ?1

?

n

ai 2i ? 1

的值(写成关于 n 的最简式子) .

i ?1

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参考答案 第一试 一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 1、 ?
181 38

1 C

2 C

3 D

4 A

5 B

6 D



1587 38



2、7×2 -n -2n-3;
5 3 ? 12 26

n-1

2

3、343;
?
2

4、



5、{?|?=2n?+?或 2n?-

,n∈Z}

;6、1(n 为偶数) ;7(n 为奇数) .

1 1 1 ? ? ? ?x ? z ? ?x ? y ? ?y ? z ? 三、证略,等号成立的条件是 x ? y ? z ? 或 ? 2 或? 2 或? 2 . 3 ?y ? 0 ?z ? 0 ?z ? 0 ? ? ?

1

四、 (1)a 的可能取值有 0,-1336,-1936,-1960,-2664,-4000,-2040; (2)a 的 可能取值有-3,11,-1,9.

五、rmax= 4 2 . 第二试 一、证略(提示:直接解出 z ?
a ?c? ? ?a ? c ? ? 4 b ? i
2

,通过变形即得充分性成立,然

2

后利用反证法证明必要性) . 二、证略(提示:用同一法,作出 BC 边上的高 AR,利用塞瓦定理证明 AR、BQ、CP 三线共点, 从而 AK⊥BC;记 AR 与 PQ 交于点 T,则 ∠APK<∠AKP) .
2 S △ ABC BC

=AR>AT>AQ=AP,对于 AK<AP,可证

三、 S ? ?

1

?2 n ? 1? 2

?1.

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