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2015届高考调研文科8-3


高考调研

新课标版 · 高三数学(文)

第3课时

空间点、线、面间位置关系

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20

15?考纲下载

1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解作为推理 依据的公理和定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关 系的简单命题.

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请注意!

平面的基本性质是立体几何的基础, 而两条异面直线所成的 角和距离是高考热点,在新课标高考卷中频频出现.

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1.平 面 的 基 本 性 质 公 理 1: 如 果 一 条 直 线 上 的 直 线 就 在 此 平 面 内 . 公 理 2: 经 过

两点 在 一 个 平 面 内 , 那 么 这 条

不在同一直线上 的 三 点 , 有 且 只 有 一 个 平 面 .

公理 3 : 如 果 不 重 合 的 两 个 平 面 有 一 个 公 共 点 , 那 么 它 们 有一 条 通 过

该点 的 公 共 直 线 .

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2.用 集 合 语 言 描 述 点 、 线 、 面 间 的 关 系 1 ( ) 点 与 平 面 的 位 置 关 系 : 点A在 平 面 2 ( ) 点 与 线 的 位 点A在 直 线 α内 记 作 A∈α , 点 A不 在 平 面 置 关 系 : l上 记 作 α内 记 作

A?α . A?l .
l

A∈l , 点 A不 在 直 线
l在 平 面

l上 , 记 作

3 ( ) 线 面 的 位 置 关 系 : 直 线 不 在 平 面 α内 记 作

α内 记 作 l?α , 直 线

l?α .

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4 ( ) 平面 α 与平面 β 相交于直线 a,记作α∩β=a . 5 ( ) 直线 l 与 平 面 α 相交于点 A,记作 l∩α=A .

6 ( ) 直线 a 与直线 b 相交于点 A,记作 a∩b=A .

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3.直线与直线的位置关系 1 ( ) 位 置 关 系 的 分 类
? ? ? 平行 . ?共面直线? ? 相交 . ? ? ?异面直线:不同在 任何 一个平面内的两条直线. ?

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2 ( ) 异 面 直 线 所 成 的 角 ①定 义 : 设 a,b 是 两 条 异 面 直 线 , 经 过 空 间 中 任 一 点 O作

直 线 a′∥a,b′∥b, 把 a′与 b′所 成 的 异 面 直 线 a,b 所 成 的 角 (或 夹 角 ). π (0,2] ②范 围 : .

锐角或直角 叫 做

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1. 空 间 四 点 中 , 三 点 共 线 是 这 四 点 共 面 的 A. 充 分 不 必 要 条 件 C. 充 分 必 要 条 件
答案 A

( B. 必 要 不 充 分 条 件 D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件

)

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2. 下 面 三 条 直 线 一 定 共 面 的 是 A.a、b、c 两 两 平 行 B.a、b、c 两 两 相 交 C.a∥b,c 与 a、b 均 相 交 D.a、b、c 两 两 垂 直
答案 C

(

)

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3. 如 图 所 示 , 平 面

α∩平面 β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D, )

C∈β,C?l,则平面 ABC 与平面 β 的交线是( A.直线 AC C.直线 CD
答案 C

B.直线 AB D.直线 BC

解析 ∵AB∩l=D,AB?面 A B C , ∴D∈面 A B C 且 D∈β,∴面 ABC∩β=CD.

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4. 已 知 =l, 则 l( m 、n 为 异 面 直 线 , )

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m?平 面 α,n?平 面 β,α∩β

A. 与 m、n 都 相 交 C. 与 m、n 都 不 相 交
答案 B

B. 与 m、n 至 少 一 条 相 交 D. 至 多 与 m、n 中 的 一 条 相 交

解析 若 l 与 m、n 都 不 相 交 , 则 ∴m∥n 与 已 知 矛 盾 , 故

l∥m,l∥n.

C、D 不 正 确 .

A 中与 m、n 都相交,也不一定,如 l∥m,n 与 l 相交于一 点.
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5.如图所示,若正四棱柱 A B C D

-A1B1C1D1 的底面边长为 ______.

2,高为 4,则异面直线 BD1 与 AD 所 成 角 的 正 切 值 是

答案

5

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例1 下 列 命 题 : ①空 间 不 同 三 点 确 定 一 个 平 面 ; ②有 三 个 公 共 点 的 两 个 平 面 必 重 合 ; ③空 间 两 两 相 交 的 三 条 直 线 确 定 一 个 平 面 ; ④三 角 形 是 平 面 图 形 ; ⑤平 行 四 边 形 、 梯 形 、 四 边 形 都 是 平 面 图 形 ; ⑥垂 直 于 同 一 直 线 的 两 直 线 平 行 ;

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⑦一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交; ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形. 其中正确的命题是________.

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【 解 析 】 由 公 理

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3知 , 不 共 线 的 三 点 才 能 确 定 一 个 平 面 , (当这

所以知命题①错,②中 有 可 能 出 现 两 平 面 只 有 一 条 公 共 线 三 个 公 共 点 共 线 时 ),②错.③空 间 两 两 相 交 的 三 条 直 线 有 三 个

交 点 或 一 个 交 点 , 若 为 三 个 交 点 , 则 这 三 线 共 面 , 若 只 有 一 个 交 点 , 则 可 能 确 定 一 个 平 面 或 三 个 平 面 . ⑤中 平 行 四 边 形 及 梯 形 由

公 理 2可 得 必 为 平 面 图 形 , 而 四 边 形 有 可 能 是 空 间 四 边 形 , 如 图 1 ( ) 所 示 .

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在正方体 A B C D

—A′B′C′D′中 , 直 线

BB′⊥AB, BB′

⊥CB,但 AB 与 CB 不 平 行 , 但 BB′与 CD 不 相 交 , AD, 四 边 形 A B C D

∴⑥错.AB∥CD,BB′∩AB=B,

∴⑦错.如图2 ( ) 所 示 , AB=CD,BC= ⑧也错.

不 是 平 行 四 边 形 , 故

【答案】


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探 究 1

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对 于 空 间 几 何 中 的 一 些 概 念 、 公 理 、 定 理 和 推 论 的

理 解 一 定 要 结 合 图 形 , 理 解 其 本 质 , 准 确 把 握 其 内 涵 , 特 别 是 定 理 、 公 理 中 的 限 制 条 件 , 如 公 理 3 中“不 共 线 的 三 点 ”,“不 共

线”是 很 重 要 的 条 件 . 另 外 , 对 于 平 面 几 何 中 的 一 些 正 确 命 题 , 包 括 一 些 定 理 推 论 , 在 空 间 几 何 中 应 当 重 新 认 定 , 有 些 命 题 因 为 空 间 中 位 置 关 系 的 变 化 , 可 能 变 为 错 误 命 题 , 学 习 中 要 养 成 分 类 讨论 的 习 惯 , 再 就 是 结 合 较 熟 悉 的 立 体 几 何 图 形 或 现 实 生 活 中 的 实 物 进 行 辨 析 , 也 可 利 用 手 中 的 笔 、 书 本 等 进 行 演 示 , 验 证 .

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思考题 1 2 ( 0 1 3 ·

安徽)在 下 列 命 题 中 , 不 是 公 理 的 是

(

)

A. 平 行 于 同 一 个 平 面 的 两 个 平 面 相 互 平 行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C. 如 果 一 条 直 线 上 的 两 点 在 一 个 平 面 内 , 那 么 这 条 直 线 上 所有的点都在此平面内 D. 如 果 两 个 不 重 合 的 平 面 有 一 个 公 共 点 , 那 么 它 们 有 且 只 有一条过该点的公共直线
【解析】 【答案】 B、C、D 都是公理. A
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例 2 下列各图是正方体和正四面体,P、Q、R、S 分别是 所在棱的中点,这四个点不共面的图形是( )

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【 解 析 】 ①在 A 中 易 证

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PS∥QR,

∴P、Q、R、S 四 点 共 面 . ②在 C 中 易 证 PQ∥SR,

∴P、Q、R、S 四 点 共 面 . ③在 D 中 , ∵QR?平 面 ABC, PS∩面 A B C =P 且 P?QR,

∴直 线 PS 与 QR 为 异 面 直 线 . ∴P、Q、R、S 四 点 不 共 面 .

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④在 B 中 P、Q、R、S 四 点 共 面 , 证 明 如 下 :

取 BC 中 点 N, 可 证 N、R、S 四 点 共 面 , 设 为

PS、NR 交 于 直 线 α.

B1C1 上一点,∴P、

可 证 PS∥QN,∴P、Q、N、S 四 点 共 面 , 设 为 ∵α、β 都 经 过 S四 点 共 面 . 【答案】 D
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β.

P、N、S 三 点 , ∴α 与 β 重 合 , ∴P、Q、R、

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探究 2 (1)公理 3 及其推论是立体几何最基本、 最重要的定 理,它的主要作用是确定平面. (2)本题给出了判断四点是否共面的基本方法: ①判断四点连接是否有平行直线或相交直线; ②由部分元素确定平面,然后证明这些平面重合.

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思 考 题 2 如 图 所 示 , 平 面

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ABEF⊥平面 ABCD,四边形

1 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形, ∠BAD=∠FAB=90° , BC 綊2AD, 1 BE 綊2FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点.

1 ( ) 证 明 : 四 边 形

B C H G

是 平 行 四 边 形 ;

2 ( ) C、D、F、E 四点是否共面?为什么?

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【 解 析 】

1 ( ) 由 题 设 知 ,

FG=GA,FH=HD, 1 所 以 GH 綊2AD. 1 又 BC 綊2AD, 故 GH 綊 BC. 所 以 四 边 形 B C H G 是 平 行 四 边 形 .

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2 ( ) C、D、F、E 四 点 共 面 . 理 由 如 下 : 1 由 BE 綊2AF,G 是 FA 的中点知,BE 綊 GF, 所以 EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC、FH 共面,又点 D 在直线 FH 上,所以 C、D、F、E 四点共面.

【答案】 (1)略 (2)四点共面

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例 3 如右图所示, O1 是正方体 A B C D

-A1B1C1D1 的上底面

A1B1C1D1 的中心,M 是对角线 A1C 和截面 B1D1A 的交点. 求证:O1,M,A 三点共线.

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【 解 析 】 ∵A1C1∩B1D1=O1,

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又 B1D1?平 面 B1D1A,A1C1?平 面 AA1C1C, ∴O1∈平 面 B1D1A,O1∈平 面 AA1C1C. ∵A1C∩平 面 B1D1A=M,A1C?平 面 AA1C1C, ∴M∈平 面 B1D1A,M∈平 面 AA1C1C. 又 A∈平 面 B1D1A,A∈平 面 AA1C1C, ∴O1,M,A 在 平 面 由 公 理 B1D1A 和 平 面 AA1C1C 的 交 线 上 .

3可 知 O1,M,A 三 点 共 线 .

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【答案】

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探 究 3 所 谓 线 共 点 问 题 就 是 证 明 三 条 或 三 条 以 上 的 直 线 交 于 一 点 . 1 ( ) 证 明 三 线 共 点 的 依 据 是 公 理 3 .

2 ( ) 证 明 三 线 共 点 的 思 路 是 : 先 证 两 条 直 线 交 于 一 点 , 再 证 明 第 三 条 直 线 经 过 该 点 , 把 问 题 化 归 到 证 明 点 在 直 线 上 的 问 题 . 实 际 上 , 点 共 线 、 线 共 点 的 问 题 都 可 以 化 归 为 点 在 直 线 上 的 问 题 来 处 理 .

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思考题 3

如图所示,正方体 A B C D

-A1B1C1D1 中,E,F

分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: 1 ( ) E,C,D1,F 四点共面; 2 ( ) CE,D1F,DA 三 线 共 点 .
【解析】 1 ( ) 如 图 所 示 , 连 接 EF,CD1,A1B.

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∵E,F 分 别 是 AB,AA1 的 中 点 ,

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∴EF∥BA1.

又 A1B∥D1C,∴EF∥CD1. ∴E,C,D1,F 四 点 共 面 . 2 ( ) ∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE 与 D1F 必 相 交 , 设 交 点 为 则 由 P∈CE,CE?平面 A B C D 同 理 P∈平 面 A D D 又 平 面 A B C D
1A1. 1A1=DA,

P. ,得 P∈平 面 A B C D .

∩平 面 A D D

∴P∈直 线 DA,∴CE,D1F,DA 三 线 共 点 .
【答案】 1 ( ) 略 2 ( ) 略
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例4

在正方体 A B C D

-A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点.
1;

1 ( ) 求证:AC⊥平面 B D D

2 ( ) 求 BD1 与 CE 所 成 角 的 余 弦 值 .

【 解 析 】

1 ( ) DD1⊥平 面 A B C D

?AC⊥DD1 ? ? AC⊥BD ??AC⊥平面 B D D BD∩DD1=D? ?
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1.

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2 ( ) 连 接 AD1,A1D 交 点 为 M, 连 接

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ME,MC,则∠M E C (或 5 AB=1, CE= 2 ,

其 补 角 )即 为 异 面 直 线

BD1 与 CE 所 成 的 角 , 设

1 3 3 2 2 2 ME=2BD1= 2 ,CM =CD +DM =2. 在△M E C 面 直 线 CE2+ME2-CM2 1 5 中 ,c o s ∠M E C = =1 因 此 异 2CE· ME 5 , 1 5 1 5 .

BD1 与 CE 所 成 角 的 余 弦 值 为

【答案】 1 ( ) 略 2 ( )

15 15
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探 究 4

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高 考 中 对 异 面 直 线 所 成 角 的 考 查 , 一 般 出 现 在 综 合

题 的 某 一 步 , 其 步 骤 为 : 1 ( ) 平 移 : 选 择 适 当 的 点 , 线 段 的 中 点 或 端 点 , 平 移 异 面 直 线 中 的 一 条 或 两 条 成 为 相 交 直 线 . 2 ( ) 证 明 : 证 明 所 作 的 角 是 异 面 直 线 所 成 的 角 . 3 ( ) 寻 找 : 在 立 体 图 形 中 , 寻 找 或 作 出 含 有 此 角 的 三 角 并 解 之 . 4 ( ) 取 舍 : 因 为 异 面 直 线 所 成 角 θ的 取 值 范 围 是 0 °<θ≤9 0 ° , 形,

所 以 所 作 的 角 为 钝 角 时 , 应 取 它 的 补 角 作 为 异 面 直 线 所 成 的 角 .
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思考题 4 1 ( )

如 图 所 示 , 已 知 正 三 棱 柱

A B C -A1B1C1 的 AB1 和 BM

各条棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的 中 点 , 则 异 面 直 线 所成的角的大小是________.

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【解析】

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过点 C1 作 BM 的平行线交 BB1 于 E,过点 E 作

AB1 的平行线交 AB 于 F,则∠C1EF 即为异面直线 AB1 和 BM 所 成的角或其补角.设三棱柱的棱长为 a,连接 FC1,则易知 EF 2 5 7 = 2 a, C1E= 2 a, C1F= 2 a, 由于 EF2+C1E2=C1F2, ∴∠C1EF =90° . 所以异面直线 AB1 和 BM 所成角的大小是 90° .

【答案】

90°
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2 ( ) 在 三 棱 锥

S-A C B

中, ∠S A B =∠S A C =∠A C B =9 0 ° , AC

= 2 , BC = 13 , SB = 29 ,则 SC 与 AB 所 成 角 的 余 弦 值 为 ________.

【解析】如 图 所 示 , 取 DE∥AB, 在 平 面 S B C

BC 的 中 点

E, 分 别 在 平 面

ABC 内作 SC 与 AB 所成 为直角三

内作 EF∥SC, 则 异 面 直 线

的角为∠FED,过 F 作 FG⊥AB, 连 接 角形.

DG,则△D F G

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17 由题知 AC=2, BC= 13, SB= 29可得 DE= 2 , EF=2, 5 DF = 2 , 在 △ D E F DE2+EF2-DF2 17 = 17 . 2DE· EF
【答案】 17 17

中,由余弦定理可得

c o s

∠D E F



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1.2 ( 0 1 4 · 则( )

沧 州 七 校 联 考

)若直线 l 不平行于平面 α,且 l?α,

A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交
答案 B

解析

若在平面 α 内存在与直线 l 平 行 的 直 线 , 因

l?α,故 l

∥α,这与题意矛盾,故选 B.
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2.设 A,B,C,D 是 空 间 四 个 不 同 的 点 , 在 下 列 命 题 中 , 不正确的是( ) AD 与 BC 共面 AD 与 BC 是异面直线

A.若 AC 与 BD 共 面 , 则

B.若 AC 与 BD 是 异 面 直 线 , 则

C.若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC D.若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC
答案 D

解析 不成立.

A B C D

可 能 为 平 面 四 边 形 , 也 可

能为空间四边形,D

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3. 设 有 如 下 三 个 命 题 : 甲 : 相 交 直 线 乙 : 直 线 丙 : 平 面 当 甲 成 立 时 l,m 都 在 平 面 l ,m 中 至 少 有 一 条 与 平 面 α与 平 面 ( ) β相 交 .

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α内 , 并 且 都 不 在 平 面 β相 交 ;

β内 ;

A. 乙 是 丙 的 充 分 而 不 必 要 条 件 B. 乙 是 丙 的 必 要 而 不 充 分 条 件 C. 乙 是 丙 的 充 分 且 必 要 条 件 D. 乙 既 不 是 丙 的 充 分 条 件 又 不 是 丙 的 必 要 条 件
答案 C
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解析 当甲成立,即“相交直线 l,m 都在平面 α 内,并且 都不在平面 β 内”时 , 若 “l,m 中 至 少 有 一 条 与 平 面 β 相交”,

则“平面 α 与平面 β 相交”成立;若“平面 α 与平面 β 相交”, 则“l,m 中至少有一条与平面 β 相交”也成立,故选 C.

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4. 如 图 所 示 , 正 三 棱 柱

ABC-A′B′C′的 底 面 边 长 和 侧

棱长均为 2,D、E 分别为 AA′与 BC 的中点,则 A′E 与 BD 所成角的余弦值为________.

答案

35 7
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解 析

取 B′B 中 点 F, 连 接

A′F, 则 有

A′F 綊 BD.

∴ ∠ FA′E 或 其 补 角 即 为 所 求 . ∵三 棱 柱 ABC-A′B′C 棱 长 均 为 2,

∴A′F= 5,FE= 2,A′E= 7. 3 5 ∴c o s ∠FA′E= 7 .

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5. 如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中, ①BM 与 ED 平行; ②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60° 角; ④DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________.
答案 ③④

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解 析 体 , 显 然 平 行 , 故 命 题

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如 图 所 示 , 把 正 方 体 的 平 面 展 开 图 还 原 成 原 来 的 正 方 BM 与 ED 为 异 面 直 线 , 故 命 题 ②不成 立 . ∠M B E , , ①不 成 立 ; 而 CN 与 BE

∵BE∥CN,∴CN 与 BM 所 成 角 为

∵ ∠M B E =6 0 ° , 故 ③正 确 ; ∵BC⊥面 C D N M ∴BC⊥DM, 又 ∵DM⊥NC,∴DM⊥面 B C N . ∴DM⊥BN, 故 ④正 确 , 故 填 ③ ④.

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课时作业(四十八 )

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【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:8-3 空间点、线、面间位置关系

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