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同角三角函数的基本关系


预习导学 高中数学 · 必修4· 人教版

第一章

三角函数

1.2.2 同角三角函数的基本关系

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第一章

三角函数

[学习目标]

1

.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系
式. 2.理解同角三角函数的基本关系式. 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化 简、求值和证明.

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[知识链接]

第一章

三角函数

1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的? 答 在直角坐标系中, 以原点为圆心, 以单位长度为半径的 圆为单位圆.锐角 α 的终边与单位圆交于 P(x,y)点,则有 sin α=y,cos α=x,tan α=y/x,cot α=x/y, sec=1/x,csc=1/y.

2. 在单位圆中, 任意角的正弦、 余弦、 正切函数线分别是什么? 答 MP= sin α,OM=cos α,AT=tan α.

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练习回顾: 作出下列角的正弦线、余弦线、正切线:

第一章

三角函数

? (1) 3

( 2) ?

2? 3

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[预习导引] 1.任意角三角函数的定义

第一章

三角函数

如图所示,以任意角 α 的顶点 O 为坐标原点,以角 α 的始 边的方向作为 x 轴的正方向,建立直角坐标系.设 P(x,y) 是任意角 α 终边上不同于坐标原 点的任意一点. 其中,r=OP= x2+y2>0. y x y 则 sin α=r ,cos α=r ,tan α=r .
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1、平方关系:

第一章

三角函数

OM 2 ? MP2 ? OP2 ? 1

x ? y ?1
2 2

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

当角的终边与坐标轴重合时,公式也成立。

变形: sin ? ? 1 ? cos ?
2 2 2

同一个角的正弦、 余弦平方和等于1.

cos ? ? 1 ? sin ?
2
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证明:
1 ? t an ?
2

第一章

三角函数

补充: 1 ? tan ? ? sec ?
2 2

1 ? co t2 ?
2

1 ? cot ? ? csc ?
2 2

? y? ? 1? ? ? ? x? y2 ? 1? 2 x x2 ? y2 ? x2 1 ? 2 x ?1? ?? ? ?x? ? sec 2 ?
2

? x ? 1? ? ? y ? x2 ? 1? 2 y

? ? ? ?

2

x2 ? y2 ? y2 ?1? ?? ? y? ? ? ? ? csc 2 ?
2

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2、商数关系

第一章

三角函数

MP y tan ? ? ? OM x

sin ? ? y

co s? ? x

同一个角的正弦、余 弦商等于角的正切值。

sin ? tan ? ? cos ?
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补充: cos? cot? ? sin?

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应用一:求值
3 例1、已知 sin? ? ? ,求 cos ?,tan ?的值。 5

第一章

三角函数

3 ? 0,sin? ? ?1, 5 ??是第三象限或者第四象 限的角。 解: ? sin? ? ? 16 ? 3? 由sin ? ? cos ? ? 1得:cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? ? 25 ? 5?
2 2 2 2 2

? cos? ?

16 4 ?? 25 5

如果?是第三象限的角,那么 cos? ? 0,cos? ? ? 从而tan? ? sin? ? 3 ? ? 5 ? 3 ? ?? ???? ? ? cos? ? 5 ? ? 4 ? 4

4 5

4 3 如果?是第四象限的角,那么 cos? ? ,tan? ? ? 。 5 4
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跟踪练习:

第一章

三角函数

4 练习 1、已知cos? ? ? ,且?为第三象限角,求 sin?,tan?的值。 5 (课本P 20,第1题)

练习2、已知tan? ? - 3,求sin?,cos?的值。 (课本P20,第2题)

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应用二:求证

第一章

三角函数

cos x 1 ? sinx 例2、求证 ? 1 ? sinx cos x

证法1:

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第一章

三角函数

要点一 利用同角基本关系式求值 8 例 1 已知 cos α=- ,求 sin α,tan α 的值. 17 8 解 ∵cos α=-17<0,∴α 是第二或第三象限的角,如果 α 是第二象限角,那么

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第一章

三角函数

sin α= 1-cos α=

2

? 8 ?2 15 1-?-17? =17, ? ?

15 17 sin α 15 tan α=cos α= 8 =- 8 . -17 如果 α 是第三象限角,同理可得 15 15 sin α=- 1-cos α=-17,tan α= 8 .
2

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第一章

三角函数

规律方法 已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角 函数值时,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系, 再用商数关系.另外也要注意“1”的代换,如“1=sin2 α+

cos2α”.本题没有指出α是第几象限的角,则必须由
cos α的值推断出α所在的象限,再分类求解.

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第一章

三角函数

4 跟踪演练 1 已知 tan α=3, 且 α 是第三象限角, 求 sin α, cos α 的值. sin α 4 4 解 由 tan α=cos α=3,得 sin α=3cos α① 又 sin2 α+cos2α=1② 16 2 9 2 2 由①②得 9 cos α+cos α=1,即 cos α=25. 3 又 α 是第三象限角,∴cos α=- , 5 4 4 sin α=3cos α=-5.
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第一章

三角函数

要点二 三角函数代数式的化简 例 2 化简下列各式: 1-2sin 10° cos 10° (1) ; 2 sin 10° - 1-sin 10° (2) 1-sin α + 1+sin α 1+sin α ,其中 sin α· tan α<0. 1-sin α

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三角函数

1-2 sin 10° cos 10° ?cos 10° -sin 10° ?2 解 (1) = - cos210° sin 10° - 1-sin2 10° sin 10° |cos 10° -sin 10° | cos 10° -sin 10° = = =-1. sin 10° -cos 10° sin 10° -cos 10° (2)由于 sin α· tan α<0,则 sin α,tan α 异号,∴α 是第二、三象 限角,∴cos α<0, ∴ 1-sin α + 1+sin α 1+sin α = 1-sin α ?1-sin α?2 + 2 1-sin α ?1+sin α?2 1-sin2 α

|1-sin α| |1+sin α| 1-sin α+1+sin α = |cos α| + |cos α| = -cos α 2 =-cos α.

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规律方法

第一章

三角函数

解答这类题目的关键在于公式的灵活运用,切实

分析好同角三角函数间的关系,化简过程中常用的方法有:

(1) 化切为弦,即把非正、余弦的函数都化为正 、余弦函
数.从而减少函数名称,达到化简的目的. (2)对于含有根号的,常把根号下化成完全平方式,然后去根 号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或

构造sin2 α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.

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三角函数

跟踪演练 2 化简: α α 1-2sin2cos2 + 解 原式= π? α α? 1+2sin2cos2?0<α<2?. ? ?
? α α ?2 ?cos +sin ? 2 2? ?

? α α ?2 ?cos -sin ? + 2 2? ?

? α α? ? α α? =?cos2-sin2?+?cos2+sin2?. ? ? ? ?

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第一章

三角函数

? π? π? α ? ∵α∈?0,2?,∴2∈?0,4?. ? ? ? ?

α α α α ∴cos -sin >0,sin +cos >0, 2 2 2 2 α α α α α ∴原式=cos2-sin2+cos2+sin2=2cos2.

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要点三 三角函数恒等式的证明 tan α+sin α tan αsin α 例 3 求证: = tan αsin α . tan α-sin α tan2α-sin2 α 证明 ∵右边= ?tan α-sin α?tan αsin α

第一章

三角函数

tan2α-tan2αcos2α tan2α?1-cos2α? = = ?tan α-sin α?tan αsin α ?tan α-sin α?tan αsin α tan2αsin2 α tan αsin α = = =左边, ?tan α-sin α?tan αsin α tan α-sin α ∴原等式成立.
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第一章

三角函数

规律方法

(1)证明三角恒等式的实质:清除等式两端的差异,

有目的的化简. (2)证明三角恒等式的基本原则:由繁到简.

(3)常用方法:从左向右证;从右向左证;左、右同时证.

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第一章

三角函数

跟踪演练3

已知2cos4 θ+5cos2 θ-7=asin4 θ+bsin2 θ+c是

恒等式.求a、b、c的值. 解 2cos4 θ+5cos2 θ-7=2-4sin2 θ+2sin4 θ+5-5sin2 θ-7

=2sin4 θ-9sin2 θ,
故a=2,b=-9,c=0.

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第一章

三角函数

再见
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