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100测评网高二数学练习卷两个平面平行的判定和性质测试题

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高二数学同步检测四
两个平面平行的判定和性质 说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ 卷可在各题后直接作答. 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题(本大题共 10 小题,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项)

1 设直线 l,m,平面α ,β ,下列条件能得出α ∥β 的是?( ) A.l ? α ,m ? α ,且 l∥β ,m∥β B.l ? α ,m ? α ,且 l∥m C.l⊥α ,m⊥β ,且 l∥m D.l∥α ,m∥β ,且 l∥m 答案:C 解析:

如左上图,A 错;如右上图,D 错;B 显然错.故选 C. 2 下列命题中正确的是( ) ①平行于同一直线的两个平面平行 ②平行于同一平面的两个平面平行 ③垂直于同一直 线的两个平面平行 ④与同一直线成等角的两个平面平行 A.①② B.②③ C.③④ D.②③④

答案:B 解析:如图(1),①错;如图(2),④错. B . 3 给出下列四个命题:①夹在两个平行平面间的线段中,较长的线段与平面所成的角较小;②夹 在两个平行平面间的线段相等,则它们与两个平面所成的角相等;③夹在两个平行平面间的线 段相等,则这两线段必平行;④夹在两个平行平面间的平行线段必相等. 其中正确的命题有( ) A.①②④ B.②③④ C.①③ D.④

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 答案:A 解析:由于两个平行平面间的距离是定值,所以①②显然正确;如图,a,b 相等,但 a b,故③错;

④正确.故选 A. 4 设α ,β 表示平面,a 表示直线,且直线 a 不在平面α 或β 内,并有①α ∥β ;②a⊥α ;③a⊥β . 以其中任意两个为条件,另一个为结论,可构造出三个命题.其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.0 答案:C 解析:

? // ? ? a ??? ? ? α ∥β ,即②③ ? ①. ? ? a⊥β ,即①② ? ③. a ? ?? a ???

? // ? ? ? ? a⊥α ,即①③ ? ②.故选 C. a ? ??
5 已知平面α ∥平面β ,α ,β 之间的距离等于 d,直线 a ? α ,则β ( ) A.有且只有一条直线与 a 的距离等于 d B.有无数条直线与 a 的距离等于 d C.所有直线与 a 的距离都等于 d D.仅有两条直线与 a 的距离等于 d 答案:B 解析:过直线 a 上任一点作平面β 的垂线,垂足为 A,过点 A 在平面β 内作直线 b∥a,此时 a 与 b 间的距离为 d;在平面β 内所有与 a 异面的直线间的距离也都是 d. 6 如果平面α ∥平面β ,直线 a ? 平面α ,点 B∈β ,则平面β 内过点 B 的所有直线中,下列结论 成立的是( ) A.不一定存在与 a 平行的直线 B.不存在与 a 平行的直线 C.存在唯一一条与 a 平行的直线 D.存在无数条与 a 平行的直线 答案:C 解析:如图所示.

过直线 a 与点 B 所确定的平面γ ,且γ ∩β =b,直线 b∥直线 a,且唯一.故选 C. 7 已知 m,n 是不同的直线,α ,β 是不重合的平面,给出下列命题: ①若 m∥α ,则 m 平行于平面α 内的任意一条直线; ②若α ∥β ,m ? α ,n ? β ,则 m∥n; ③若 m⊥α ,n⊥β ,m∥n,则α ∥β ; ④若α ∥β ,m ? α ,则 m∥β . 其中正确的命题是( ) A.①②③ B.③④ C.②③ D.④

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 答案:B 解析:若 m∥α ,则 m 平行于过 m 所作平面与α 相交的交线,并非α 内任一条直线,故①错; 若α ∥β ,m ? α ,n ? β ,则可能 m∥n,也可能 m,n 异面,故②错;

m ? ?? n ? ? ? ? // ? ? ?? ? ? α ∥β ,③正确; ? ? m∥β ,④正确. m // n ? n ? ? ? m ? ??
8 已知平面α ∥平面β ,C、A∈α ,B、D∈β ,AB⊥CD,且 AB=2,直线 AB 与平面α 所成的角 为 30°,则线段 CD 长的取值范围为( ) A.[1,+∞) C.( B.(1,

2 4 3, 3) 3 3

2 3] 3 2 3 ,+∞) D.[ 3

答案:D 解析:如图,

过 D 作 DA′∥AB 交平面α 于 A′,由α ∥β ,故 DA′=AB=2.DA′与α 成 30°角,由已 知 DC⊥AB,可得 DC⊥DA′,所以 DC 在过 DC 且与 DA′垂直的平面γ 内.令γ ∩α =l,在γ DC0⊥l 时最短,此时 DC0=DA′·tan30°=

2 2 3 ,故 CD≥ 3. 3 3

9 已知平面α ∥平面β ,其间夹一垂线段 AB=4,另一斜线段 CD=6,且 AC=BD=3.E、F 分 别是 AB、CD 的中点,则 EF 的长为( )

A.1

B. 2

C.2

D. 5

答案:C 解析:如图,过 F 作 AB 的平行线,交α 、β 于 P、Q 两点,则四边形 ABQP 为矩形. ∵E、F 分别为 AB、CD 的中点,故 EF⊥PQ. 由 Rt△EAC≌Rt△EBD ? EC=ED,

则△APC 为直角三角形. 在 Rt△CPF 中,CP2=CF2-PF2=5 ? CP= 5 . 在 Rt△CPA 中,AP2=AC2-CP2=32-(.)2=4. ∴AP=2.而 AP=EF,∴EF=2.

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 10 一间民房的屋顶有如下图的三种盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法的 屋顶面积分别为 P1,P2,P3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是α ,则( )

A.P1<P2<P3 C.P1<P2=P3 答案:D 解析:由 S 底=S 侧 cosθ 可得 P1=P2, 而 P3=2 (

B.P1=P2<P3 D.P1=P2=P3

S1 S 2( S1 ? S 2 ) ? 2 )? cos? cos? cos?

又∵2(S1+S2)=S 底,∴P1=P2=P3. 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题,答案需填在题中横线上) 11 如下图,点 P 是一光源,将一投影片放在平面α 内,问投影幕所在平面β 与平面α ______时, 投影图象的形状不发生变化.

答案:平行 解析:当α ∥β 时,易证△ABC∽△A′B′C′,从而形状不会发生变化. 12 设直线 a 在平面 M 内,则平面 M 平行于平面 N 是直线 a 平行于平面 N 的__________条 件.(填“充分不必要” “必要不充分” “充分必要” “既不充分也 答案:充分不必要 解析:设 p:平面 M∥平面 N,q:直线 a∥平面 N.

? 平面M // 平面N ? M ? N ? ? ? ? ? a∩N= ? ? a∥N, a ? M?
∴p ? q.

a // 平面 N ? ? ? 平面 N 与平面 M 不一定平行, a ? M?
∴q p.

13 如图,已知平面α ∥平面β ,线段 AB、CD 夹在α 、β 之间,AB=13,CD= 5 5 ,且它 们在β 内的射影之差为 2,则α 和β 之间的距离是____________.

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 答案:5 解析:设 A、 C 在平面β 上的射影为 A′、 C′, 则α 、 β 之间的距离 AA′=CC′=a,且 BA′、 DC′分别为 AB、CD 在β . 在 Rt△ABA′中,AB=13, 则 BA′=

AB2 ? AA'2 ? 132 ? a 2 .

在 Rt△CDC′中,CD= 5 5 , 则 C′D= CD 2 ? C 'C 2 ? 125? a 2 . 又∵C′D 与 A′B 相差为 2, 即 A′B-C′D=2, 132 ? a 2 ? 125? a 2 =2. ∴a=5.∴平面α 、β 的距离为 5. 14 设 P 表示点,m,n,l 表示两两不重合的三条直线,以α ,β 表示两个不重合的平面,那么下列四 个命题:①m⊥α ,若 n⊥α ,则 m∥n;②m ? α ,n∩α =P,l 是 n 在α 内的射影.若 m⊥l,则 m⊥n; ③m⊥α ,若 n∥a,l∥α ,则 m⊥n,m⊥l;④m⊥α ,若 m⊥β ,则α ∥β 中逆命题能成立的序号是 ________. 答案:①②④ 解析:命题③的逆命题是:m⊥α ,若 m⊥n,m⊥l,则 n∥α ,l∥α ,错误的原因在于满足条件的直 线 n 和 l 可能在平面α 内,故①②④能成立. 三、解答题(本大题共 5 小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15 已知平面α ∥β ,AB、CD 为夹在α 、β 间的异面线段,E、F 分别为 AB、CD 的中点.求 证:EF∥α ,EF∥β . 分析:要证 EF∥α ,根据线面平行的判定定理,只需在α 内找一条直线与 EF 平行;或过 EF 作一平面,使该平面与α 平行,据面面平行的性质定理即可证得.

证法一: 连结 AF 并延长交β 于 G . ∵AG∩CD=F, ∴AG、CD 确定平面γ ,且γ ∩α =AC,γ ∩β =DG. ∵α ∥β ,∴AC∥DG.∴∠ACF=∠GDF. 又∠AFC=∠DFG,CF=DF, ∴△ACF≌△GDF.∴AF=FG. 又 AE=BE,∴EF∥BG. ∵BG ? β ,∴EF∥β . 同理,FE∥α . 证法二:∵AB 与 CD 为异面直线,∴A ? CD.

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在 A、C、D 确定的平面内过点 A 作 AG∥CD 交β 于点 G,取 AG 的中点 H,连结 AC、HF. ∵α ∥β ,∴AC∥DG∥FH. ∵DG ? β ,∴HF∥β . 又∵E 为 AB 的中点, ∴EH∥BG.∴EH∥β . 又 EH∩HF=H,∴平面 EHF∥β . ∵EF ? 平面 EHF,∴EF∥β .同理,EF∥α . 16 如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.

答案:已知:α ∥β ,γ ∥β , 求证:α ∥γ . 证明:如图,作两个相交平面分别与α ,β ,γ 交于 a,c,e 和 b,d,f.

? // ? ? ?

?a // c ? ? ?b // d ? ?a // e ? a // ? ? ??? ? ? α ∥γ . ?c // e ? ?b // f ? b // ? ? ? // ? ? ? ?d // f ? ?

17 如图所示,A,B,C,D 四点在平面 M 和 N 之外,它们在 M 内的射影 A1,B1,C1,D1 成一直线,在 N 内的射影 A2,B2,C2,D2 组成一个平行四边形,求证:ABCD 是平行四边形.

证明:∵A,B,C,D 四点在平面 M 内的射影是一条直线, ∴ABCD 为平面四边形. 又 AA2⊥平面 N,DD2⊥平面 N, ∴AA2∥DD2. ∵A2B2∥C2D2, ∴平面 AA2B2B∥平面 CC2D2D. 又 ABCD 为平面四边形, ∴AB∥CD. 同理可证 AD∥BC. ∴ABCD 为平行四边形.

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 18 如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,过其对角线 BD1 的平面分别与 AA1、CC1 相交 于点 E,F,求截面四边形 BED1F 面积的最小值.

解:由平面与平面平行的性质定理可证 BF∥D1E,BE∥D1F. ∴BED1F 是平行四边形.作 EH⊥BD1 于 H. ∵ S BED1F =2· S BED1 =BD1·EH=EH· 3 a, ∴要求四边形 BED1F 面积的最小值,转化为求 EH 的最小值. ∵AA1∥平面 BDD1B1, ∴当且仅当 EH 为直线 AA1 到平面 BDD1B1 的距离时,EH 最小,易得 EHmin=

2 . 2

∴ S BED1F 的最小值为

6 2 a. 2

19(2006 高考天津卷,理 19)如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点, 面 CDE 是等边三角形,棱 EF

1 BC. 2

(1)证明 FO∥平面 CDE; (2)设 BC= 3 CD,证明 EO⊥平面 CDF. 证明:(1)取 CD 中点 M,连结 OM,在矩形 ABCD 中, OM

1 BC,又 EF 2

1 BC,则 EF OM.连结 EM, 2

于是四边形 EFOM 为平行四边形. ∴FO∥EM. 又∵FO ? 平面 CDE,且 EM ? 平面 CDE, ∴FO∥平面 CDE. (2)连结 FM.由(1)和已知条件,在等边△CDE 中,

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CM=DM,EM⊥CD 且 EM=

1 3 CD= BC=EF. 2 2

因此平行四边形 EFOM 为菱形,从而 EO⊥FM. ∵CD⊥OM,CD⊥EM, ∴CD⊥平面 EOM.从而 CD⊥EO. 而 FM∩CD=M,所以 EO⊥平面 CDF.

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