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【2014福建省质检】福建省2014届高三普通高中毕业班4月质检数学文试题 Word版含答案


2014 年福建省普通高中毕业班质量检查


目要求的.







一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 3? , B

? ?0, 2, 4, 6? ,则 A ? B 等于 A. ?0, 2? B. ??1, 0, 2? C. ? x | 0 ? x ? 2? D. ? x | ?1 ? x ? 2?

2.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 3,则输出的 y 的值为 A.4
X

B.5

C.8

D.10

3.某几何体的俯视图是正方形,则该几何体不可能是 A.圆柱 4.函数 f ? x ? ? A. ? 0, 2 ? B.圆锥 C.三棱柱 D.四棱柱

2x ? x2 的定义域是 x ?1
B. ? 0, 2 ?
2 2

C. ? 0,1? ? ?1, 2 ?

D. ? 0,1? ? ?1, 2?

5.“ a ? 1 ”是“方程 x ? y ? 2 x ? 2 y ? a ? 0 表示圆”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.向圆内随机投掷一点,此点落在该圆的内接正 n ? n ? 3, n ? N ? 边形内的概率为 Pn ,下列论断正确的是 A.随着 n 的增大, Pn 减小 C.随着 n 的增大, Pn 先增大后减小 7.已知 ? ? 0 , ? ? B.随着 n 的增大, Pn 增大 D.随着 n 的增大, Pn 先减小后增大

? ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的部分图象如图所示.为了 2

得到函数 g ( x) ? sin ? x 的图象,只要将 f ? x ? 的图象 A.向右平移

? 个单位长度 4 ? 个单位长度 4

B.向右平移

? 个单位长度 8 ? 个单位长度 8

C.向左平移

D.向左平移

8.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且在 [0,??) 单调递增,若 f (lg x) ? 0 ,则 x 的取值范围是 A. (0,1) B. (1,10) C. (1, ??) D. (10, ??)

9.若直线 ax ? by ? ab ( a ? 0, b ? 0 )过点 ?1,1? ,则该直线在 x 轴, y 轴上的截距之和的最小值为

A. 1

B.2

C.4

D. 8

10.若 ?ABC 满足 ?A ? 的式子的个数为 A.0 B.1

?
2

, AB ? 2 ,则下列三个式子:① AB?AC ,② BA?BC ,③ CA? CB 中为定值

??? ? ????

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

C.2

D.3

11.已知双曲线 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2 ,一条渐近线为 l ,抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的 2 a b

焦点为 F ,点 P 为直线 l 与抛物线 C2 异于原点的交点,则 PF ? A.2 B. 3 C.4 D.5

12.已知 g ?( x) 是函数 g ( x) 的导函数,且 f ( x) ? g ?( x) ,下列命题中,真命题是 A.若 f ( x) 是奇函数,则 g ( x) 必是偶函数 B.若 f ( x) 是偶函数,则 g ( x) 必是奇函数

C.若 f ( x) 是周期函数,则 g ( x) 必是周期函数 D.若 f ( x) 是单调函数,则 g ( x) 必是单调函数

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 13.复数 ?1 ? i ? i ? __________. 14.已知 sin ? ?

1 ,则 cos 2? ? __________. 3

?x ? y ? 4 ? 0 ? 15.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是__________. ? y?0 ?
16.在平面直角坐标系 xOy 中, ? 是一个平面点集,如果存在非零平面向量 a ,对于任意 P ?? ,均有

?

? ???? ??? ? ? Q ?? ,使得 OQ ? OP ? a ,则称 a 为平面点集 ? 的一个向量周期.现有以下四个命题:
①若平面点集 ? 存在向量周期 a ,则 ka ? k ? Z, k ? 0 ? 也是 ? 的向量周期; ②若平面点集 ? 形成的平面图形的面积是一个非零常数,则 ? 不存在向量周期; ③若平面点集 ? ? ④若平面点集 ? ? 量周期. 其中真命题是____(写出所有真命题的序号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

?

?

?? x, y ? x ? 0, y ? 0? ,则 b ? ?1, 2 ? 为 ? 的一个向量周期;
,则 c ? ?1,1? 为 ? 的一个向 ?? x, y ? ? y ? ? ? x ? ? 0? ( ? m? 表示不大于 m 的最大整数)

?

?

17.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , a4 ? 2a3 , S2 ? 6 。 (Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? log 2 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 18.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是正三角形, AA1 ? 底面 ABC , M 为

A1 B1 的中点.
(Ⅰ)求证: B1C ∥平面 AMC1 ; (Ⅱ)若 BB1 ? 5 ,且沿侧棱 BB1 展开三棱柱的侧面,得到的侧面展开图的 对角线长为 13,求三棱锥 B1 ? AMC1 的体积. 19.(本小题满分 12 分) 某地区共有 100 万人,现从中随机抽查 800 人,发现有 700 人不吸烟,100 人吸烟.这 100 位吸烟者年均烟草消费支出情况的频率分布直方图如图. (Ⅰ)估计这 100 位吸烟者年均烟草消费支出的平均数; (Ⅱ)据统计,烟草消费税约为烟草消费支出的 40%,该地区为居民支付因 吸烟导致的疾病治疗等各种费用年均约为 18800 万元.若将频率视为概率, 当地的烟草消费税是否足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费 用?说明理由. (注:平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以该小矩形底边中点的横坐标所得 的积之和. )

20.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 过点 ? 2, 0 ? ,焦 a 2 b2

距为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程; (Ⅱ)设斜率为 k 的直线 l 过点 C ? ?1, 0 ? 且交椭圆 ? 于 A , B 两点,试探

究椭圆 ? 上是否存在点 P ,使得四边形 OAPB 为平行四边形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说 明理由.

21.(本小题满分 12 分) 某港湾的平面示意图如图所示, O , A , B 分别是海岸线 l1 , l2 上的三个集镇,

A 位于 O 的正南方向 6km 处, B 位于 O 的北偏东 600 方向 10km 处.
(Ⅰ)求集镇 A , B 间的距离; (Ⅱ)随着经济的发展,为缓解集镇 O 的交通压力,拟在海岸线 l1 , l2 上分别 修建码头 M , N ,开辟水上航线.勘测时发现:以 O 为圆心,3km 为半径的扇形 区域为浅水区,不适宜船只航行.请确定码头 M , N 的位置,使得 M , N 之间的 直线航线最短. 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? ) , a ? R . (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) 的最小值为 0,回答下列问题: (ⅰ)求实数 a 的值; (ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )是函数 g ( x) ? xf ( x) 图象上的两点,且曲线 g ( x) 在点

1 x

T ? t , g (t ) ? 处的切线与直线 AB 平行,求证: x1 ? t ? x2 .

2014 年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1.A 7.B 2.C 8.A 3.B 9.C 4.D 10.C 5.A 11.D 6.B 12.A

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 13. ?1 ? i ; 14.

7 ; 15.4; 9

16.②③④.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想.满 分 12 分. 解: (Ⅰ)设等比数列 ? an ? 的公比为 q ,

? a1q 3 ? 2a1q 2 , ?a4 ? 2a3 , 由? 得? ……………………………………………………2 分 ? S2 ? 6, ? a1 ? a1q ? 6,
解得 ?

? q ? 2, …………………………………………………………………………………………………4 分 ? a1 ? 2,
n ?1

所以 an ? a1q

? 2n .……………………………………………………………………………6 分
n n

n (Ⅱ) bn ? an ? log 2 an ? 2 ? log 2 2 ? 2 ? n ,…………………………………………8 分

所以 Tn ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n
1 2 n

?

? ?

?

?

?

? ? 21 ? 22 ? ? ? 2n ? ? ?1 ? 2 ? ? ? n ? ………………………………………………9 分

?

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

?

n ? n ? 1? 2

? 2n ?1 ?

n ? n ? 1? 2

? 2 .………………………………………………………………………12 分

18.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、几何体的体积等基础知识; 考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力;考查数形结合思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)如图,连接 AC 1 ,交 AC1 于点 O ,连接 OM .……………………1 分 ∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧面是矩形,∴ O 为 AC 中点, 1

M 为 A1 B1 的中点,
∴ OM / / B1C . ……………………3 分

B1C ? 平面AMC1, 又∵ OM ? 平面AMC1,
∴ B1C / / 平面AMC1 . ……………………6 分

(Ⅱ)∵三棱柱侧面展开图是矩形,且对角线长为 13,侧棱 BB1 ? 5 , ∴三棱柱底面周长为 13 ? 5 ? 12 ,
2 2

……………………7 分

又∵三棱柱的底面是正三角形, ∴ A1C1 ? 4 , B1M ? 2 , C1M ? 2 3 , 由已知得, S?B1C1M ? ∴ VB1 ? AMC1 = VA? B1C1M ……………………9 分

1 1 ? B1M ? C1M ? ? 2 ? 2 3 ? 2 3 ,……………………10 分 2 2 1 ? S?B1C1M ? AA1 3

10 3 1 , ? ? 2 3 ?5 ? 3 3
即三棱锥 B1 ? AMC1 的体积为

10 3 . 3

……………………12 分

解法二: (Ⅰ)如图,取 AB中点E ,连接 EB1,EC .……………………1 分 ∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是正三角形,侧面是矩形, M 为 A1 B1 的中点, ∴ EB1 / / AM , EC / / MC1 , 又 ∵ ……………………3 分 ,

AM ? 平面AMC1,MC1 ? 平面AMC1

EB1 ? 平面AMC1,EC ? 平面AMC1
∴ EB1 / / 平面AMC1,EC / / 平面AMC1 , ……………………4 分 ……………………5 分 ……………………6 分

又? EB1 ? EC ? E ,∴ 平面B1 EC / / 平面AMC1 . ∵ B1C ? 平面B1 EC ,∴ B1C ∥平面 AMC1 . (Ⅱ)同解法一.

19.本小题主要考查概率、频率分布直方图等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以及应用 意识,考查必然与或然思想等.满分 12 分.

解:(Ⅰ)由频率分布直方图知,样本中吸烟者年均烟草消费支出的平均数约为

0.15 ? 0.1 ? 0.25 ? 0.3 ? 0.35 ? 0.3 ? 0.45 ? 0.1 ? 0.55 ? 0.1 ? 0.65 ? 0.1 ……………………………4 分
. ? 0.36 (万元) (Ⅱ)依题意可知,该地区吸烟人数为 ?100 万, 又由(Ⅰ)知,吸烟者年均烟草消费支出的平均数约 0.36 万元, 所以该地区年均烟草消费税约为 ?100 ?104 ? 0.4 ? 0.36 ? 18000 (万元).…………………10 分 又由于该地区居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用年均约为 18800 万元, 它超过了当地的烟草消费税, 故当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用.………12 分 20.本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、 运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想等.满分 14 分. 解: (Ⅰ)由已知得 a ? 2 , c ? 3 ,…………………………………………………………2 分 因为 a ? b ? c
2 2 2

…………………5 分

1 8

…………………7 分

1 8

,所以 b ? a ? c ? 1 , ……………………………………………… 3 分
2 2 2

所以椭圆 ? 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ;…………………………………………………………4 分 4

(Ⅱ)依题意得:直线 y ? k ? x ? 1? ,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 假设椭圆 ? 上存在点 P ? x0 , y0 ? 使得四边形 OAPB 为平行四边形, 则 ?

? x1 ? x2 ? x0 , . ? y1 ? y2 ? y0 ,

? y ? k ? x ? 1? , ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 ?1 ? 4k ? x ? 8k x ? 4 ? k ? 1? ? 0 , 2 ? ? y ? 1, ?4
所以 x1 ? x2 ?

……………………6 分

? ?8k 2 ? 2k ?8k 2 y ? y ? k x ? x ? 2 ? k ? 2? ? , .…………8 分 ? ? ? 1 2 1 2 2 2 2 1 ? 4k ? 1 ? 4k ? 1 ? 4k

? ?8 k 2 x ? , ? ? ?8 k 2 2k ? ? 0 1 ? 4k 2 , 于是 ? 即点 P 的坐标为 ? . 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k ? ? y ? 2k , ? 0 1 ? 4k 2 ?
2

………………………………10 分

? ?8 k 2 ? 2 ? ? 1 ? 4k 2 ? ? 2k ? ? ?? ? 1 ,整理得 4k 2 ? 1 ? 0 ,此方程无解. 又点 P 在椭圆上,所以 2 ? 4 ? 1 ? 4k ?
…………………………………………………11 分

故椭圆 ? 上不存在点 P ,使四边形 OAPB 为平行四边形. ……………………………12 分 21.本小题主要考查解三角形、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等基础知识,考查运算求解 能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)在△ ABO 中, OA ? 6 , OB ? 10 , ?AOB ? 120 ,…………………………………1 分
?

根据余弦定理得, AB ? OA ? OB ? 2 ? OA ? OB ? cos120 …………………………………3 分
2 2 2 ?

? 1? ? 62 ? 102 ? 2 ? 6 ?10 ? ? ? ? ? 196 , ? 2?
所以 AB ? 14 . 故 A , B 两集镇间的距离为 14km.………………………………………5 分 (Ⅱ)依题意得,直线 MN 必与圆 O 相切.设切点为 C ,连接 OC ,则 OC ? MN .………………6 分 设 OM ? x , ON ? y , MN ? c , 在△ OMN 中,由 得

1 1 MN ? OC ? OM ? ON ? sin120? , 2 2

1 1 ? 3c ? xy sin120? ,即 xy ? 2 3c , …………………………… …8 分 2 2
2 2 2 ? 2 2

由余弦定理得, c ? x ? y ? 2 xy cos120 ? x ? y ? xy ? 3xy , 所以 c ? 6 3c ,解得 c ? 6 3 ,
2

……………………………10 分

………………………………………11 分

当且仅当 x ? y ? 6 时, c 取得最小值 6 3 . 所以码头 M , N 与集镇 O 的距离均为 6 km 时, M , N 之间的直线航线最短,最短距离为 6 3 km.…12 分 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)依题意得,直线 MN 必与圆 O 相切.设切点为 C ,连接 OC ,则 OC ? MN .

? ? 设 ?OMN ? ? ,则 ? ? (0, ) , ?ONM ? ? ? ,………………………………………6 分
3 3 OC OC 3cos ? 在 Rt?OCM 中, tan ? ? ,所以 CM ? , ? CM tan ? sin ?
在 Rt?OCN 中, tan( ………………………7 分

?
3

??) ?

OC ,所以 CN ? CN

3cos( ? ? ) 3cos ? 3 所以 MN ? CM ? CN ? ? ? sin ? sin( ? ? ) 3

?

OC ?? ? tan ? ? ? ? 3 ? ?

?? ? 3cos ? ? ? ? 3 ? ? ,……………8 分 ? ? ? ? sin ? ? ? ? 3 ? ?

? ? ? ? 3 ?cos ? sin( ? ? ) ? sin ? cos( ? ? ) ? 3 3 ? ? ?
sin ? sin( ? ? ) 3

?

3 3 1 sin ? ( cos ? ? sin ? ) 2 2 3 3 . ………………………10 分 ? ? 1 sin(2? ? ) ? 6 2 ? ? ? 5? ? ? ? ? 1 因为 ? ? (0, ) ,所以 2? ? ? ( , ) ,因此当 2? ? ? ,即 ? ? 时, sin(2? ? ) ? 有最大 6 6 3 6 6 2 6 6 2 1 值 ,故 MN 有最小值 6 3 ,此时 OM ? ON ? 6 . 2 ?
所以码头 M , N 与集镇 O 的距离均为 6 km 时, M , N 之间的直线航线最短,最短距离为 6 3 km. …12 分 22.本小题主要考查函数的单调性、函数的最值、导数及其应用等基础知识,考查推理论证能力、运 算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.满 分 14 分. 解: (Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域为 (0, ??) ,且 f ?( x) ?

3sin

?

1 a x?a ? ? 2 .…………2 分 x x2 x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ? x ? 在区间 (0, ??) 单调递增;…………3 分 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? a ;由 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? a . 所以 f ? x ? 的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为 (0, a) .…………4 分 综上述: a ? 0 时, f ? x ? 的单调递增区间是 (0, ??) ;

a ? 0 时, f ? x ? 的单调递减区间是 (0, a) ,单调递增区间是 (a, ??) .…………5 分
(Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)知,当 a ? 0 时, f ? x ? 无最小值,不合题意;…………6 分 当 a ? 0 时, [ f ( x)]min ? f (a) ? 1 ? a ? ln a ? 0. 令 h( x) ? 1 ? x ? ln x( x ? 0) ,则 h?( x) ? ?1 ? …………7 分

1 1? x , ? x x

由 h?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ;由 h?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 所以 h ? x ? 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 (1, ??) .…………8 分 故 [h( x)]max ? h(1) ? 0 ,即当且仅当 x ? 1 时, h ? x ? =0.

因此, a ? 1 .

…………9 分

(ⅱ)因为 g ( x) ? xf ( x) ? x ln x ? x ? 1( x ? 0) ,所以 g ?( x) ? ln x 直线 AB 的斜率 k AB ?

g ( x2 ) ? g ( x1 ) x2 ln x2 ? x1 ln x1 ? ? 1, g ?(t ) ? ln t .……10 分 x2 ? x1 x2 ? x1

依题意,可得 k AB ? g ?(t ) ,即

x2 ln x2 ? x1 ln x1 x ? 1 ? ln t .令 ? ? 2 ? 1 , x1 x2 ? x1

x2 x1 x ln x2 ? x1 ln x1 x ln x2 ? x2 ln x1 于是 ln t ? ln x1 ? 2 ? 1 ? ln x1 ? 2 ?1 = ?1 x1 x2 ? x1 x2 ? x1 1? x2 ln

1 ln ? ? (1 ? )
=

1?

1

? .

…………11 分

?
1

由(ⅰ)知,当 ? ? 1 时, ln ? ? 1 ?

?

,于是 ln t ? ln x1 ? 0 ,即 t ? x1 成立. ………12 分

ln x2 ? ln t ? ln x2 ? (

x2 ln x2 ? x1 ln x1 x ln x1 ? x1 ln x2 ? 1) ? 1 ?1 ? ?1 x2 x2 ? x1 x2 ? x1 ?1 x1

ln

x1 x2

ln
=

? ? ?1 ? ln ? ? ? ? 1 ? = . ? ?1 ? ?1

1

由(ⅰ)知,当 ? ? 1 时, ln ? ? ? ? 1,即 ? ln ? ? ? ?1 ? 0 ,于是 ln x2 ? ln t ? 0 , 即 x2 ? t 成立. 综上, x1 ? t ? x2 成立. …………14 分


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