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人教A版高中数学选修1-2 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

时间:2017-02-25


课题: §3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义导学案
一【学习目标】 1.知识目标:掌握复数的加减法运算及理解其几何意义, 2.能力目标: 通过类比实数的四则运算的规律或向量的运算规律, 得到复数加减运算的法则, 同时了解复数加减法运算的几何意义. 3.情感态度价值观: 通过探究复数加减运算法则的过程, 感悟由特殊到一般的思想, 同时由 向量的加减法与复数的类比,理解复数加减的运算法则,知道事物之间是普遍联系的哲学规律. 二、 【重点难点】 1.【重点】 复数加减法运算及其应用.. 2.【难点】复数加减法运算的几何意义. 三、 【学习新知】 (A 级) 阅读课本 P56 ? P58 页, 找出疑惑之处,并自主探究下列问题: 1. 复数加减法运算的法则? 2.复数加法满足的运算律? 3. 复数加减法运算的几何意义? 四、 【合作探究】 【活动一】 :探究复数代数形式的加法运算(B 级) 问题 1:复数的加法法则是如何规定的? 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di ,是任意两个复数,那么其和为? 问题 2:两个复数的和仍然是复数吗? 问题 3:复数的加法满足交换律、结合律吗? 对于任意 z 1 , z2 , z3 ? C ,有
z 1 ? z2 ? z2 ? z1 ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ?( z2 ? z ) 吗? 3

你能给出证明吗?

例 1 计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)() (B 级)

例 2 计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2002+2003i)+(2003-2004i) (C 级) 你有几种方法计算该题?

点评:

【活动二】 :探究复数加法的几何意义(B 级) 阅读教材第 56-57 页的内容,思考以下问题: 问题 4:复数与复平面内的向量有一一对应的关系,.我们讨论过向量加法的几何意义,你能由此 出发讨论复数加法的几何意义吗?

由平面向量的坐标运算,有 OZ = OZ1 ? OZ2 =( 问题:5:复数加法的几何意义是什么呢?

??? ?

???? ? ???? ?



【活动三】 :探究复数的减法(B 级) 问题 6:复数是否有减法?如何理解复数的减法? 类比实数集中减法的意义,我们怎样规定复数的减法? . 复数的减法法则是什么? 问题 7:两个复数的差是一个确定的复数吗?. 【活动四】 :探究复数减法的几何意义(B 级) : 问题 8 类比复数加法的几何意义,你能给出复数减法的几何意义吗?

例 3 已知复数 z1=2+i,z2=1+2i 在复平面内对应的点分别为 A、B,求 AB 对应的复数 z,z 在平面内所对应的点在第几象限?(C 级)

点评:任何向量所对应的复数,总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数 所得的差. 即 AB 所表示的复数是 zB-zA. ,而 BA 所表示的复数是 zA-zB,故切不可把被减数 与减数搞错, 尽管向量 AB 的位置可以不同,只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同,
王新敞
奎屯 新疆

那么向量 AB 所对应的复数是惟一的, 因此我们将复平面上的向量称之自由向量, 即它只与其方 向和长度有关,而与位置无关 例 4 复数 z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个 顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数. (C 级) 请用两种方法计算,哪种思路好?
王新敞
奎屯 新疆

点评:根据题意画图得到的结论,不能代替论证,然而通过对图 形的观察,往往能起到启迪解题思路的作用
王新敞
奎屯 新疆

例2 图

●随堂练习(B 级) :计算
(1) (1 ? 4i)+(7 ? 2i) = (2) (7 ? 2i)+(1 ? 4i) = (3)[(3 ? 2i)+(?4 ? 3i)] ? (5 ? i) = (4) (3 ? 2i)+[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] =

五、 【达标自测】 1(A 级).已知复数 z1=2+i,z2=1+2i,则复数 z=z2-z1 在复平面内所表示的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. (A 级)在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i 所对应的点分别是 A、B、C,则平行四边形 ABCD 的对角线 BD 所对应的复数是 A.5-9i B.-5-3i C.7-11i D.-7+11i 3. (A 级)已知复平面上△AOB 的顶点 A 所对应的复数为 1+2i,其重心 G 所对应的复数为 1+i,则以 OA、OB 为邻边的平行四边形的对角线长为 A.3 2 是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 5(B 级).一个实数与一个虚数的差( ) A.不可能是纯虚数 B.可能是实数 C.不可能是实数 D.无法确定是实数还是虚数 6. (B 级)计算(- 2 ? 3i) ? ( 3 ? 2i) ? [( 3 ? 2 ) ? ( 3 ? 2 )i] =____. 7. (B 级)计算:(2x+3yi)-(3x-2yi)+(y-2xi)-3xi=________(x、y∈R). 8. (B 级)计算(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…-(2002-2003i). 9. (C 级) 已知复数 z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a∈R)分别对应向量 OZ1 、 OZ 2(O 为原点) ,若向量 Z1 Z 2 对应的复数为纯虚数,求 a 的值. B.2 2 C.2 D. 5

4(A 级).复平面上三点 A、B、C 分别对应复数 1,2i,5+2i,则由 A、B、C 所构成的三角形

10(D 级) .已知复平面上正方形的三个顶点是 A(1,2) 、B(-2,1) 、C(-1,-2) ,求 它的第四个顶点 D 对应的复数.

六、归纳提升(D 级) 1.复数的加减法运算法则:

2. 复数的加减法运算满足的运算律有: 3.理解复数的加减法运算的几何意义有:

4.本节课中所含有的数学思想方法有哪些?

练习答案:

1.B 2.C 3.A 4.A 5.C

6.-2 2 i

7.(y-x)+5(y-x)i

8.解:原式=(1-2+3-4+…+2001-2002)+(-2+3-4+…-2002+2003)i =-1001+1001i
王新敞
奎屯 新疆

9 解: Z1Z 2 对应的复数为 z2-z1,则 z2-z1=a-1+(a2+2a-1)i-[a2-3+(a+5)i]=(a-a2+2)+(a2+a-6)i ∵z2-z1 是纯虚数
2 ? ?a ? a ? 2 ? 0 ∴? 2 ? ?a ? a ? 6 ? 0

解得 a=-1.

10 解:设 D(x,y),则

AD ? OD ? OA 对应的复数为(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i BC ? OC ? OB 对应的复数为:(-1-2i)-(-2+i)=1-3i
∵ AD ? BC ∴(x-1)+(y-2)i=1-3i

?x ? 1 ? 1 ?x ? 2 ∴? ,解得 ? ? y ? 2 ? ?3 ? y ? ?1
∴D 点对应的复数为 2-i。


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