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高二下学期期中理科数学综合检测题(四)


高二下学期期中综合检测题(四)

数学(理科)
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 2.请用 0.5mm 黑色签字笔将答案直接写在答题纸上. A.↓→ B.→↑ C.↑→ D.→↓ 7.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 12x ,若 f (x) 在区间 (2m, m ? 1) 上单调递减,则

实数 m 的取值范围是 ( )A. ? 1 ? m ? 1 B. ? 1 ? m ? 1 C. ? 1 ? m ? 1 D. ? 1 ? m ? 1

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

8.已知点 P 在曲线 y ? A. ?0,

一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的) 1.下列运算正确的是( ) A. (sin x)? ? ? cos x C. (? )? ? 5?
5 4

? ?? ? ? 3?

4 3 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 取值范围( ) ex ?1 ?? ? ? ? ? 2? ? ? 2? ? B. ? , ? C. ? , D. ? ,? ? ? ?3 2 ? ?2 3 ? ? 3 ?

B. (lg x ) ? ? D. (log 2 x)? ?

1 x

9. 函数 y ? f (x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x ? (??,0) 时, xf ' ( x) ? f (? x) 成立,若

1 x ln 2
).

1 1 a ? 3 f ( 3) , b ? (lg 3) f (lg 3), c ? (log 2 ) f (log 2 ) ,则 a, b, c 大小关系( ) 4 4 A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. a ? c ? b
10.若函数 f(x)=2x2-lnx 在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数 k 的取值范 .. 围是( ) 3 B.[1, ) 2 C.[1,2) ) 3 D.[ ,2) 2

2 2 2.设复数 z ? 1 ? (其中 i 为虚数单位, z 为 z 的共轭复数),则 z ? 3 z 的虚部为( i A. 2i B. 0 C. ?10 D. 2 ) ? x (0 ? x ? 1 2 ? 3.已知 f ( x) ? ? 1 ,则 ? f ( x)dx ? ( ). 0 ) ? x (x ? 1 ? 1 1 B. ? 2 ln 2 C. ? ln 2 2 2 4 、已知直线 y ? kx 是 y ? ln x 的切线,则 k 的值为( )
(A)

A.[1,+∞)

11. 由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成的平面图形的面积为( 32 A. 9 B.2-ln3 C.4+ln3 D.4-ln3

9 A. 2
1 e

5 D. ? ln 2 4

12 、 已 知 函 数 f ( x), g ( x) 是 定 义 在 R 上 可 导 函 数 , 满 足 f ' ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ' ( x) ? 0 , 且

(B) ?

1 e

(C)

2 e

(D) ?

2 e

f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 ,对 a ? c ? b 时。下列式子正确的是(
A. f (c) ? g (a) ? f (a) ? g (c) C. f (b) ? g (a) ? f (a) ? g (b)



B. f (a) ? g (a) ? f (b) ? g (b) D. f (c) ? g (b) ? f (b) ? g (c)

5.若函数 f ( x) ? A.3

1 3 x ? f ?(1) ? x 2 ? 2 x ? 5 ,则 f ?(2) ? ( ). 3
B.-6 C. 2 D.

7 3

6. n 个连续自然数按规律排成下表,根据规律,2011 到 2013,箭头的方向依次为( )

(2)若 f (x) 与 g (x) 的图象恰有两个交点,求实数 m 的取值范围。 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ?

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

a ? 3 ln x 。 x

(1) a ? 2 时,求 f (x) 的最小值; (2)若 a ? 0 且 f (x) 在 [1,2] 上是单调函数,求实数 a 的取值范围。

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13、函数 y=x+2cosx 在区间[0,

1 ]上的最大值是 2



20.(本小题满分 12 分) 若 xi ? 0(i ? 1,2,3,?, n) ,观察下列不等式:

14、观察圆周上 n 个不同点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3 个点可以连 3 条弦,4 个点可 以连 6 条弦,5 个点可以连 10 条弦,即 f (2) ? 1, f (3) ? 3, f (4) ? 6, f (5) ? 10 ……,由此规律可归纳得出
f ( n) ? (n ? 2) 。

( x1 ? x2 )(

1 1 ? )?4 x1 x2



( x1 ? x2 ? x3 )(

1 1 1 ? ? )?9 x1 x2 x3















( x1 ? x2 ? ? ? xn )(

1 1 1 ? ? ? ? ) 将满足的不等式,并用数学归纳法加以证明。 x1 x2 xn

15 、已 知函数 f

? x ? ? x 3 ? ax 2 ? 2 x ? 5 在 ? ? 2 ,1? 上 单调递 减, 在 ?1, ?? ? 上单 调递 增,且 函数 ? ?
? 3 ?
.(填序号)

21.(本小题满分 13 分) 两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外,以 AB 为直径的半圆弧 AB 上选择一点 C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城 A 和城 B 的总 影响度为对城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 xkm ,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y ,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方 成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比例系数为 k,当垃 圾处理厂建在 AB 的中点时,对 A 和城 B 的总影响度为 0.065。 (1)将 y 表示成 x 的函数;

f ? x ? 的导数记为 f ? ? x ? ,则下列结论正确的是
① ?

2 3

是方程 f ? ? x ? ? 0 的根;②1 是方程 f ? ? x ? ? 0 的根;③ 有极小值 f ?1? ;

1 ? 2? ④有极大值 f ? ? ? ; ⑤ a ? ? 。 2 ? 3?
16、若三角形的内切圆的半径为 r ,三边长为 a, b, c ,则三角形的面积 s ? r (a ? b ? c) ;根据类比的思 想 , 若 四 面 体 的 内 切 球 的 半 径 为 R , 四 个 面 的 面 积 为 s1 , s2 , s3 , s4 , 则 四 面 体 的 体 积 V = 。
1 2

(2)判断弧 AB 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存 在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由。

三.解答题(本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) z 17(本小题满分 12 分)设 z ? C , z ? 2i , 均为实数。 2?i
求 ? ? z ? 3z ? 4 ( z是z 的共轭复数)
2

22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln( ax ? 1) ?

2 ? 1( x ? 0, a ? 0) 。 x ?1 (1)若 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (2)求 f (x) 的单调区间; 1 3 bx ? bx , 若 对 于 ?x1 ? (0,1) , 总 ? x2 ? (0,1) 使 得 3

( 3 ) 若 a ? 1 且 b ? 0 , 函 数 g ( x) ? 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? e , g ( x) ? ? x ? 2 x ? m 。
x 2

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围。

(1)求函数 f (x) 的单调区间;

高二下学期期中理科综合检测题(四)

? f ( x)在(??,?1)是减函数 在 1,+?)是增函数-------------6 (-
(2)由(1)得 f ( x) ? f (?1) ? ?
min

数学答案
一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1-5.DDCAC 6-10.DBDA B 11-12. D D

1 …………………7 e

g ( x) ? ?( x ? 1) ? m ? 1 ? g ( x)在(??,?1)是增函数 在(- +?)是减函数 1,
2

? g ( x) ? g (?1) ? m ? 1
max

…………………10

二、 填空题(每小题 4 分,共 16 分 13. + 3
R 3

? 6

14.f(n)=

n( n ? 1) 2

由 f ( x)与g ( x)单调性可知, m ? 1 ? ? 即m ? ?

15.①②③④⑤

1 e

1 ? 1时 e

f ( x)与g ( x)图象恰有2个交点
19.解: (1) a ? 2 得 f ( x) ? 2 x ?

…………………12

16.V= ?S1 ? S 2 ? S 3 ? S 4 ? 三、解答题
17.解:设 z ? x ? yi( x, y ? R) …………………1

2 ? 3 ln x( x ? 0) x

? f ' ( x) ? 2 ?

? z ? 2i ? x ? ( y ? 2)i ? z ? 2i是实数 ? y ? 2 ? 0即y ? ?2
又 …………………4

2 3 2 x 2 ? 3x ? 2 ? ? x2 x x2

令 f ' ( x) ? 0得x ? 2或x ? ?

z x ? yi ( x ? yi)(2 ? i) ? ? 2 ? i (2 ? i ) 5
? 2x ? y x ? 2 y ? i 5 5
…………………8

1 (舍去) ………………3 2 x (0,2) f ' ( x) - f (x)
…………………5

2 0

(2,??)


? f ( x) ? f (2) ? 5 ? 3 ln 2
min

…………………7

?

z x ? 2y 是实数 ? ? 0即x ? ?2 y ? 4 2?i 5

? z ? 4 ? 2i

z ? 4 ? 2i

? w ? z 2 ? 3z ? 4 ? (4 ? 2i) 2 ? 3(4 ? 2i) ? 4 ? 12 ? 16i ? 12 ? 6i ? 4 ? 20 ? 10i
18.解: (1) f ' ( x) ? e ? xe ? ( x ? 1)e
x x x

a 3 ax2 ? 3x ? a ? ? x2 x x2 若 a ? 0, x ? [1,2]时f ' ( x) ? 0 ? f (x)在[1,2]递减
(2) f ' ( x) ? a ? 若 a ? 0,由f ' (1) ? 0, 且f ( x)在[1,2]是单调函数

----------8

? f ' ( x) ? 0对x ? [1,2]恒成立
………12 …………………2
(??,?1)

…………………10

即 gx) ) ? ax ?? 3x ? a ? 时,x x ? [1,2]恒成立 对 g ( ( x ? ax 3x ? a ? 00时,? [1,2]恒成立
22

令 f ' ( x) ? 0得x ? ?1

x
f ' ( x)

?1
0

(?1,??)





?a ? 0 ? ? ? g (1) ? 0 即0 ? a ? 2 ? g ( 2) ? 0 ?

综上得 0 ? a ? 2

-------12

f (x)

20.解:将满足的不等式为 ( x1 ? x2 ? ? ? xn )(

1 1 1 ? ? ? ? ) ? n 2 (n ? 2) ,证明如下: x1 x2 xn 1 1 1 ? ??? ) ? k 2 x1 x2 xk

? x ? 4 10时y即最小值

1 16

…………………13

1 0 当 n ? 2 时,结论成立; 2 0 假设 n ? k 时,结论成立,即 ( x1 ? x2 ? ? ? xk )(
那么,当 n ? k ? 1 时, ( x1 ? x2 ? ? ? xk ? xk ?1 )(

答:在弧 AB 存在 C 点使得交点在此处的垃圾处厂对 A、B 影响最小,该点距 A 的距离是 4 10 km。

a 2 a( x ? 1) 2 ? 2(ax ? 1) 22.解:(1) f ' ( x) ? ? ? ax ? 1 ( x ? 1) 2 (ax ? 1)(x ? 1) 2 ax2 ? a ? 2 ? (ax ? 1)(x ? 1) 2 ? f ' (1) ? 0即2a ? 2 ? 0,? a ? 1
(2)? f ' ( x) ?

1 1 1 1 ? ??? ? )? x1 x2 xk xk ?1

( x1 ? x2 ? ? ? xk )(

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ) ? ( x1 ? x2 ? ? ? xk ) ? ? x k ?1 ( ? ?? x1 x2 xk xk ?1 x1 x 2

… ………3

?

1 1 1 1 ) ? 1 ? k 2 ? 2 ( x1 ? x2 ? ? ? xk )( ? ? ? ? ) ? 1 ? k 2 ? 2k ? 1 ? (k ? 1) 2 xk x1 x2 xk
所以,当 n ? k ? 1 时,结论成立。 由 1 、 2 知对于大于 2 的整数 n , ( x1 ? x2 ? ? ? xn )(
0 0

ax2 ? a ? 2 (a ? 0, x ? 0) (ax ? 1)(x ? 1) 2 若 a ? 2, x ? 0得f ' ( x) ? 0 即f (x)在( +?)单调递增 0,
若 0 ? a ? 2令f ' ( x) ? 0得x ?

…………6

2?a 或 ? a

2?a (舍去) a
2?a ) a
2?a a

1 1 1 ? ? ? ? ) ? n 2 成立。 x1 x2 xn

x
f ' ( x)
f (x)

(0,

(

2?a ,??) a

21.解:(1)如图由题意知 AC ? BC, BC 2 ? 400? x 2



0



y?

4 k ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2

其中当 x ? 10 2时y ? 0.065? k ? 9

? f ( x)在(0,

?y ?

4 9 ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2

2?a 2?a )上是减函数, 在( ,+?)上是增函数 …………9 a a (3) a ? 1 由(2)得 f (x)在( )上是减函数 0,1 ? ln 2 ? f ( x) ? 1即f ( x)值域A=(ln 2,1) ………………10
又 g ' ( x) ? bx2 ? b ? b( x ? 1)(x ? 1)

4 9 (2) y ? 2 ? x 400 ? x 2 8 9 ? (?2 x) ? y' ? ? 3 ? x (400 ? x 2 ) 2

?b ? 0

? x ? (0,1)时g ' ( x) ? 0 ? g ( x)在(0,1)上递增
… ………9
2

18x 4 ? 8(400 ? x 2 ) 2 ? x 3 (400 ? x 2 ) 2
令 y' ? 0即 x ? 8(400? x ) 18
4

2 ? g ( x)的值域 B=(0,- b) 3 2 3 ? A ? B, 即 ? b ? 1,? b ? ? 3 2

…………………11

? x 2 ? 160

由 ?x1 ? (0,1), ?x2 ? (0,1)使得f ( x1 ) ? g ( x2 ) …………………13

…………………11 (舍去) ? x ? 4 10或x ? ?4 10 x (0,4 10) 4 10 (4 10,20) y' 0 - +

y


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