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2014高三文科辅导《月考复习2》


2014 高三文科辅导《月考复习 2》
1、以下有关命题的说法错误的是(
2


2

A、命题“若 x ? 3 x ? 2 ? 0 则 x=1”的逆否命题为“若 x ? 1, 则x ? 3 x ? 2 ? 0 ” B、 “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 C、若

p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D、对于命题 p : ?x ? R使得x 2 ? x ? 1 ? 0, 则?p : ?x ? R, 均有x 2 ? x ? 1 ? 0 2、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n ? 2 ,则数列 ?an ? 的通项公式为( A、 an ? 2n ? 3 B、 an ? 2n ? 3 C、 an ? ? )

?1, n ? 1 ?2n ? 3, n ? 2

D、 an ? ? )

?1, n ? 1 ?2n ? 3, n ? 2

3、已知等比数列{ a n }满足: a3 ? a 7 ? A. ?

?2
9

.等,则 cos a5 = (

3 2 4、已知数列 {a n } 是等差数列,且 a1 ? a7 ? a13 ? ? , 则tan( a2 ? a12 ) = (
1 2
B. ?

1 3

C.±

1 2

D.±



3 3 5、 等差数列 {an } 中, 如果 a1 ? a4 ? a7 ? 39 ,a3 ? a6 ? a9 ? 27 , 则数列 {an } 前 9 项的和为 ( A. 3 B. ? 3 C. ? 3 D. ?
A、297 6、已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? 7a1 ,则数列 ?an ? 的公比 q 的值为( A、2 B、3 C、2 或-3 D、2 或 3 7、已知数列 ?an ? 的首项为 3, 数列 ?bn ?为等差数列, bn ? an?1 ? an (n ? N ? ),b3 ? ?2, A、0 B、3 C、8 D、11 b10 ? 12 ,则 a8 等于( ) 1 n? 8、设 a n ? sin , S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,在 S1 , S 2 ,?, S100 中,正数的个数是( n 25 A、25 B、50 C、75 D、100 9、定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x), 且在 [0,1]上是增函数,则有( B、144 C、99 D、66 )







1 1 3 1 1 3 1 3 1 1 3 1 A. f ( ) ? f (? ) ? f ( ) B. f (? ) ? f ( ) ? f ( ) C. f ( ) ? f ( ) ? f (? ) D. f (? ) ? f ( ) ? f ( ) 4 4 2 4 4 2 4 2 4 4 2 4 3 2 10、已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1,若 f ( x) 存在唯一的零点 x 0 ,且 x0 ? 0 ,
则 a 的取值范围是( )

B.(1 , ? ?) C.(??,?2) D.(??,?1) 11、定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f (2 ? x) ? f ( x) ,且在 [?3, ?2] 上是减函数, ? , ? 是钝角
三角形的两个锐角,则下列不等式中正确的是( ) A. f (sin ? ) ? f (cos ? ) B. f (cos ? ) ? f (cos ? ) C. f (cos ? ) ? f (cos ? )
2

A.(2, ? ?)

D. f (sin ? ) ? f (cos ? ) )

12、 点 P 是函数 y ? x ? 2ln x 的图象上任意一点, 则点 P 到直线 y ? 3x ? 1 的最小距离是 ( A.

10 10

B.

? 2 ? 2ln 2 ?
10

10

C.

? 2 ? ln 2 ?
10

10

D.

ln 2 10 10

1

? ? , ) 是减函数,则 a 的取值范围是_____ 6 2 14、已知等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,若 a 4 ? 8 ? a 6 ,则 S 9 =_______ 15、已知各项均为正数的等比数列{ an }的首项为 a1 =2,且 4 a1 是 2 a 2 , a3 等差中项. (1)求数列{ an }的通项公式 an ; (2)若 bn = an log 2 an , Sn =b1+b2+?+ bn ,求 Sn .
13、若函数 f ( x) = cos 2 x ? a sin x 在区间 (

16、已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? n ? 2a n (n ? N *) . (I)证明:数列 {a n ? 1} 为等比数列,并求数列{ a n }的通项公式; (II)数列{ a n }满足 bn ? a n ? log 2 (a n ? 1)(n ? N *) ,其前 n 项和为 Tn ,试求满足

Tn ?

n2 ? n ? 2015 的最小正整数 n. 2

2

17、若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意正整数 n 都有 6Sn ? 1 ? 2an ,记 bn ? log 1 an .
2

(Ⅰ )求 a1 , a2 的值;

(Ⅱ )求数列 {bn } 的通项公式;
*

(Ⅲ )若 cn?1 ? cn ? bn , c1 ? 0, 求证:对任意 n ? 2, n ? N 都有

1 1 ? ? c2 c3

?

1 3 ? . cn 4

18、设函数 f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n 为正整数,a,b 为常数.曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切 线方程为 x+y=1. (1) 求 a,b 的值; (2) 求函数 f(x)的最大值.

3

-2x+b 是奇函数. + 2x 1+a (1)求 a,b 的值; (2)证明:函数 f(x)在 R 上是减函数; (3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 19、已知定义域为 R 的函数 f(x)=

20、已知函数 f ( x) ? 且 h?( x) 存在零点。 (1)求 a 的值;

1 2 x ? 2 x , g ( x) ? loga x .如果函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 没有极值点, 2

(2)判断方程 f ( x) ? 2 ? g ( x) 根的个数,并说明理由;

( 3 )设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) 是函数 y ? g ( x) 图象上的两点,平行于 AB 的切线以

P( x0 , y0 ) 为切点,求证: x1 ? x0 ? x2 。

4

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16、 【解】 (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 2a1 ? a1 ? 1;

? ? ? an ? 1 ? 2an ? 2an?1 ? an ? 2an ?1 ? 1 ; Sn?1 ? (n ? 1) ? 2an?1 ? 即 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ( n ? 2 ) ,且 a1 ? 1 ? 2 ,故 ?an ?1 ? 为等比数列
当 n ? 2 时,
* an ? 1 ? 2n ? an ? 2n ?1 ( n ? N ).

Sn ? n ? 2an

(Ⅱ) bn ? (2n ?1) ? n ? n ? 2n ? n 设 Kn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? …? n ? 2n ??????①
n?1

2Kn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? …? (n ?1) ? 2 ? n ? 2
2 3 n

????②

① ? ②: ? K n ? 2 ? 2 ? 2 ? … ? 2 ? n ? 2
2 3 n

∴ Kn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 ,

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? (1 ? n) ? 2n ?1 ? 2 1? 2 n(n ? 1) n ?1 ∴ Tn ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 ? , 2
n ?1

?

n2 ? n ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? 2015 ? n ? 8 ,∴满足条件的最小正整数 n ? 8 . 2 1 17、解: (Ⅰ )由 6S1 ? 1 ? 2a1 ,得 6a1 ? 1 ? 2a1 ,解得 a1 ? . …………1 分 8 1 . …………3 分 6S2 ? 1 ? 2a2 ,得 6 ? a1 ? a2 ? ? 1 ? 2a2 ,解得 a2 ? 32 (Ⅱ )由 6Sn ? 1 ? 2an ……① , 当 n ? 2 时,有 6Sn?1 ? 1 ? 2an?1 ……② , 1 1 a 1 ① -② 得: n ? ,? 数列 ?an ? 是首项 a1 ? ,公比 q ? 的等比数列 …6分 4 8 an ?1 4 Tn ?

? cn ? cn?1 ? bn?1 =2 ? n ?1? ?1 , ? n ? 2 ? ……(1)

1 ?1? ?1? ? an ? a1q n?1 ? ? ? ? ? ? ? 8 ? 4? ? 2? (Ⅲ ) cn?1 ? cn ? bn =2n ? 1,

n ?1

2 n ?1

, ? bn ? log 1 an ? log 1 ?
2

?1? ? 2 ?2?

2 n ?1

? 2n ? 1 .

cn?1 ? cn?2 ? bn?2 =2 ? n ? 2? ?1 ,
…………,

……(2)

(1)+(2)+ ……+( n ? 1 )得 cn ? c1 ? bn?1 =2 ?1+2+3+

c3 ? c2 ? b2 =2 ? 2 ? 1 , c2 ? c1 ? b1 =2 ?1 ? 1,

…………( n ? 1 )

+n ?1? ? n ?1=n2 ?1 , ? n ? 2 ? ……10 分
1 1? ? 1 ? ? ?, 2 ? 1 ? n ?1 ? n 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? n ? 2 n n ?1 n ? 1 ?
5

? cn = ? n ?1?? n ?1? , ? n ? 2 ? ,当 n ? 1 时, c1 ? 0 也满足上式,
所以 cn = ? n ?1?? n ?1?

?

1 1 ? ? cn ? n? 1?? n ?1 ?

?

1 1 ? ? c2 c3

?

1 1? 1 1 1 1 1 = ?1 ? ? ? ? ? ? cn 2 ? 3 2 4 3 5

1? 1 1 1 ? 3 1?1 1 ? = ?1+ ? ? ?? ? ? ? ?, 2 ? 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 对任意 n ? 2, n ? N * 均成立.

1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? 0 ,? ? ? c2 c3 2 ? n n ?1 ?

?

1 3 ? cn 4

18、解:(1)因为 f(1)=b,由点(1,b)在 x+y=1 上,可得 1+b=1,即 b=0. - 因为 f′(x)=anxn 1-a(n+1)xn,所以 f′(1)=-a. 又因为切线 x+y=1 的斜率为-1, 所以-a=-1,即 a=1.故 a=1,b=0. n n + - (2)由(1)知,f(x)=xn(1-x)=xn-xn 1,f′(x)=(n+1)xn 1?n+1-x?. 令 f′(x)=0,解得 x= , ? ? n+1 n n 即 f′(x)在(0,+∞)上有唯一零点 x0= . 在?0,n+1?上,f′(x)>0,故 f(x)单调递增; ? ? n+1 n 而在?n+1,+∞?上,f′(x)<0,f′(x)单调递减. ? ? n n n nn 故 f(x)在(0,+∞)上的最大值为 f?n+1?=?n+1?n?1-n+1?= ? ? ? ?? ? (n+1)n+1. -1+b -2x+1 19、 (1)解 因为 f(x)是 R 上的奇函数, 故 f(0)=0, 即 =0, 解得 b=1, 从而有 f(x)= x+1 . 2+a 2 +a 1 - +1 x 2 -2+1 1?1-2 ? 又由 f(1)=-f(-1)知 =- ,解得 a=2. ∴f(x)= ? x ?. ∴a=2,b=1. 2?2 +1? 4+a 1+a 1-2x1 1-2x2 (1-2x1)(1+2x2)-(1-2x2)(1+2x1) (2)证明 设 x1<x2,f(x1)-f(x2)= - = 2(2x1+1) 2(2x2+1) 2(2x1+1)(2x2+1) 2x2-2x1 = . ∵x1<x2,则 2x2-2x1>0,∴f(x1)>f(x2). 故 f(x)是 R 上的减函数. (2x1+1)(2x2+1) (3)解 由(2)知 f(x)在 R 上为减函数,又因为 f(x)是奇函数,从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等 价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).因为 f(x)是 R 上的减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+k. 1 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0 恒成立,从而 Δ=4+12k<0,解得 k<- . 3

1 2 1 x 2 ln a ? 2 x ln a ? 1 ' 20、解: (1)由题意 h( x) ? x ? 2 x ? log a x ,? h ( x) ? x ? 2 ? 2 x ln a x ln a 2 ' h( x) 无极值, h ( x) 存在零点? x ln a ? 2 x ln a ? 1 ? 0 的 ? ? 0

g ( x)? l oag x ? a ? 1 所以 a ? e ? a ? 1或 a ? e 1 2 (2)方程 f ( x) ? 2 ? g(x) 可变形为 x ? 2 x ? 2 ? ln x 。在同一坐标系中作出函数 2 1 y ? x 2 ? 2 x ? 2 和函数 y ? ln x 的图象, 如右图, 观察图象, 有两个交点, 所以 f ( x) ? 2 ? g(x) 2
即 4(ln a) ? 4ln a ? 0
2

有两个不相等的实数根。

6

法(2)由 x0 ?

x2 ? x1 ln x2 ? ln x1

下证 x1 ?

x2 ? x1 (?) ln x2 ? ln x1

x2 ?1 x1 t ?1 x ? 1 ? t ? 1 ? ln t ? 0 。 ? 1 ,设 t ? 2 ,则 t ? 1 。从而(*) ? (*) ? x2 ln t x 1 ln x1 1 令 h(t ) ? t ? 1 ? ln t (t ? 1) ,则 h?(t ) ? 1 ? ? 0 ,所以 h(t ) 在 [1, ??) 为增函数,又 h(1) ? 0 , t x2 ? x1 所以,当 t ? 1 时, h(t ) ? 0 ,即 t ? 1 ? ln t ? 0 ,从而 x0 ? x1 得到证明。对于 x2 ? ln x2 ? ln x1 同理可证。所以 x1 ? x0 ? x2

7


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