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第2课时 类比推理


第 2 课时

类比推理

双基达标
1.下面使用类比推理恰当的是

?限时20分钟?
( ).

A.“若 a· 3=b· 3,则 a=b”类推出“若 a· 0=b· 0,则 a=b” B.“(a+b)c=ac+bc”类推出“(a· b)c=ac· bc” a+b a b C.“

(a+b)c=ac+bc”类推出“ c = c+ c(c≠0)” D.“(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn” 解析 答案 由实数运算的知识易得 C 项正确. C

2.下面几种推理是类比推理的是 ( ).

A. 因为三角形的内角和是 180° ×(3-2), 四边形的内角和是 180° ×(4-2), ?, 所以 n 边形的内角和是 180° ×(n-2) B.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质 C.某校高二年级有 20 个班,1 班有 51 位团员,2 班有 53 位团员,3 班有 52 位团员,由此可以推测各班都超过 50 位团员 D.4 能被 2 整除,6 能被 2 整除,8 能被 2 整除,所以偶数能被 2 整除 答案 B

1 3.三角形的面积为 S= (a+b+c)r,a、b、c 为三角形的边长,r 为三角形内切圆 2 的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为 ( 1 A.V=3abc 1 B.V=3Sh ).

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1 C.V=3(S1+S2+S3+S4)r,(S1、S2、S3、S4 为四个面的面积,r 为内切球的半 径) 1 D.V=3(ab+bc+ac)h,(h 为四面体的高) 解析 △ABC 的内心为 O,连结 OA、OB、OC,将△ABC 分割为三个小三角

形, 这三个小三角形的高都是 r, 底边长分别为 a、 b、 c; 类比: 设四面体 ABCD 的内切球球心为 O,连接 OA、OB、OC、OD,将四面体分割为四个以 O 为顶 1 点,以原来面为底面的四面体,高都为 r,所以有 V=3(S1+S2+S3+S4)r. 答案 C

4.平面内正三角形有很多性质,如三条边相等,类似地写出空间中正四面体的两 个性质. 性质①____________________________________________________; 性质②_______________________________________________________. 答案 六条棱长相等 四个面都全等 a1+a2+a3+?+an (n∈N*)也是 n

5.若数列{an}(n∈N*)是等差数列,则有数列 bn=

等差数列.类比上述性质,相应地有,若数列{cn}(n∈N*)是等比数列,且 cn>0, 则数列 dn=________(n∈N*)也是等比数列. 解析 由等差、等比数列的性质易知,等差数列、等比数列在运算上具有相似

性.等差与等比类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比.由此猜想 dn= n c1c2c3?cn. n c1c2c3?cn

答案

6.如图,在长方形 ABCD 中,对角线 AC 与两邻边所成的角分别为 α、β,则 cos2α +cos2β=1,则在立体几何中,给出类比猜想.

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2 2 2 ?a?2 ?b?2 a +b c 在长方形 ABCD 中,cos α+cos β=?c? +?c? = c2 =c2=1. ? ? ? ? 2 2

于是类比到长方体中, 猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 α、 β、 γ,

则 cos2α+cos2β+cos2γ=1.
2 2 2 2 ?m? ?n? ?g? m +n +g l 证明如下:cos2α+cos2β+cos2γ=? l ?2+? l ?2+? l ?2= = 2 l l2=1. ? ? ? ? ? ?

综合提高
7.下列推理正确的是

?限时25分钟?
( ).

A.把 a(b+c)与 loga(x+y)类比,则有:loga(x+y)=logax+logay B.把 a(b+c)与 sin(x+y)类比,则有:sin(x+y)=sin x+sin y C.把(ab)n 与(a+b)n 类比,则有:(x+y)n=xn+yn D.把(a+b)+c 与(xy)z 类比,则有:(xy)z=x(yz) 解析 A 错误,因为 logax+logay=logaxy(x>0,y>0);B 错误,因为 sin(x+y)

0 n n-1 =sin xcos y+cos xsin y;对于 C,则有(x+y)n=Cn x +C1 · y+?+Cr xn-r· yr nx n· n n +?+Cn y ;D 正确,为加乘法的结合律,故选 D.

答案

D

8.已知{bn}为等比数列,b5=2,则 b1· b2· b3· b4· b5· b6· b7· b8· b9=29.若{an}为等差数列, a5=2,则{an}的类似结论为 ( A.a1a2a3?a9=29 B.a1+a2+a3+?+a9=29 C.a1a2a3?a9=2×9 D.a1+a2+a3+?+a9=2×9 答案 D ).

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9. 已知等差数列{an}中, 有

a11+a12+?+a20 a1+a2+?+a30 = , 则在等比数列{bn} 10 30

中,会有类似的结论________. 解析 ∴ 10 由等比数列的性质可知,b1b30=b2b29=?=b11b20, b11b12?b20= 10 30 b1b2?b30. 30 b1b2?b30

答案

b11b12?b20=

10.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8—S4,S12—S8,S16-S12 成等差数 列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________, T16 ________,T 成等比数列.
12

解析

等差数列类比于等比数列时,和类比于积,减法类比于除法,可得类比
4 8 12

T8 T12 T16 结论为:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,T , T ,T 成等比数列. 答案 T8 T12 T4 T8
10 20 30

T20 T30 T40 11. 在公比为 4 的等比数列{bn}中, 若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积, 则有T , T , T 也成等比数列,且公比为 4100;类比上述结论,相应地在公差为 3 的等差数列 {an}中,若 Sn 是{an}的前 n 项和. (1)写出相应的结论,判断该结论是否正确?并加以证明; (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明). 解 (1)数列 S20-S10,S30-S20,S40-S30 也是等差数列,且公差为 300.

该结论是正确的.(证明略) (2)对于 k∈N*,都有 数列 S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k 是等差数列,且公差为 k2d. 12. (创新拓展)如图(1), 在三角形 ABC 中, AB⊥AC, 若 AD⊥BC, 则 AB2=BD· BC; 若类比该命题,如图(2),三棱锥 ABCD 中,AD⊥平面 ABC,若 A 点在三角形 BCD 所在平面内的射影为 M, 则可以得到什么命题?命题是否是真命题并加以 证明.

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命题是:三棱锥 ABCD 中,AD⊥平面 ABC,若 A 点在三角形 BCD 所在

平面内的射影为 M,则有 S2 S△BCD 是一个真命题. △ABC=S△BCM· 证明如下: 在图(2)中,连结 DM,并延长交 BC 于 E,连结 AE,则有 DE⊥BC. 因为 AD⊥平面 ABC,所以 AD⊥AE. 又 AM⊥DE,所以 AE2=EM· ED. ?1 ?2 ?1 ? ?1 ? AE BC · EM ED?=S△BCM· ? ? ?· ? BC· 于是 S2 = S△BCD. △ABC=? BC· ?2 ? ?2 ? ?2 ?

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