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数学(四星高中)卷·2016届江苏省盐城中学(盐城市)高一下学期期末考试(2014.06)word版


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四星高中使用

2013/2014 学年度第二学期高一年级期终考试 数 学 试 题
注意事项: 1.本试卷考试时间为 120 分钟,试卷满分 160 分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分. 3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米

黑色墨水签字笔填写在试卷及答 题卡上. 参考公式:柱体体积公式: V ? Sh

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.直线 x ? y ? 3 ? 0 在 y 轴上的截距为 ▲ . ▲ . ▲ ▲ . .

2.若角 ? 的终边经过点 P(3, 2) ,则 tan? 的值为

3.已知圆柱的底面半径为 1,母线长与底面的直径相等,则该圆柱的体积为 4.已知点 A(1,2) , B(3,5) ,向量 a = ? x, 6 ? ,若 a // AB ,则实数 x 的值为 5.过点 A(2,1) ,且与直线 2x ? y ? 3 ? 0 平行的直线方程为
?



. ▲ . .

6.已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 | a |? 2 , | b |? 1 ,则 | a ? 2b |? 7.若等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1, a4 ? 8 ,则 S5 = 8.若 sin( x ? ▲

?
6

)?

4 ? ,则 cos( x ? ) ? 5 3



. ▲ .

9.直线 x ? 3 y +1 ? 0 被圆 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 截得的弦长为

10.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,给定下列四个命题: ①若 m ? n , n ? ? ,则 m ? ? ; ③若 m ? ? , n ? ? ,则 m // n ; 其中真命题的序号为
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②若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? ; ④若 m ? ? , n ? ? , ? // ? ,则 m // n .




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11.在平面直角坐标系 xOy 中,若圆 C 的圆心在第一象限,圆 C 与 x 轴相交于 A(1, 0) 、

B(3, 0) 两点,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切,则圆 C 的标准方程为





12.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a, b, c 成等差数列, ?B ? 30 ,

uu r uuu r b ? 3 ? 1 ,则 BA ? BC ?





13.已知点 A? ?5,0? , B ? ?1, ?3? ,若圆 x2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0? 上恰有两点 M , N ,使得 ?MAB 和 ?NAB 的面积均为 5 ,则 r 的取值范围是 ▲ .

14.若单调递增数列 {an } 满足 an ? an?1 ? an?2 ? 3n ? 6 ,且 a2 ? ▲ .

1 a1 ,则 a1 的取值范围是 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,?ABC ? 90 , PA ? 平面 ABC , E , F 分别为 PB , PC 的 中点. (1)求证: EF // 平面 ABC ; (2)求证:平面 AEF ? 平面 PAB .
F E P

A B

C

16. (本小题满分14分) 已知函数 f ? x ? ? 3cos2x ? 2sin x cos x , x ? R . (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)求函数 f ? x ? 在区间 ?0,

? ?? ? 上的值域. ? 4?
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17. (本小题满分14分) 在四边形 ABCD 中,已知 AB ? 9 , BC ? 6 , CP ? 2PD . (1)若四边形 ABCD 是矩形,求 AP ? BP 的值; (2)若四边形 ABCD 是平行四边形,且 AP ? BP ? 6 ,求 AB 与 AD 夹角的余弦值.

18. (本小题满分16分) 为绘制海底地貌图, 测量海底两点 C ,D 间的距离, 海底探测仪沿水平方向在 A ,B 两 点进行测量, A , B , C , D 在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得

?BAC ? 30 , ?DAC ? 45 ,

?ABD ? 45 , ?DBC ? 75 , A , B 两点的距离为 3 海里.
(1)求 ?ABD 的面积; (2)求 C , D 之间的距离.

A

B

D

C

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19. (本小题满分16分) 设 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且 2an ? Sn ? An2 ? Bn ? C . (1)当 A ? B ? 0 , C ? 1 时,求 an ; (2)若数列 {an } 为等差数列,且 A ? 1 , C ? ?2 . ①求 an ; ②设 bn =

1 an an +1 +an +1 an

,且数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 T60 的值.

20. (本小题满分16分)
2 2 已知圆 O 的方程为 x ? y ? 13,直线 l : x0 x +y0 y ? 13 ,设点 A( x0 , y0 ) .

(1)若点 A 在圆 O 外,试判断直线 l 与圆 O 的位置关系; (2) 若点 A 在圆 O 上, 且 x0 ? 2 ,y0 ? 0 , 过点 A 作直线 AM , AN 分别交圆 O 于 M , N 两点,且直线 AM 和 AN 的斜率互为相反数; ① 若直线 AM 过点 O ,求 tan ?MAN 的值; ② 试问:不论直线 AM 的斜率怎样变化,直线 MN 的斜率是否为定值?若是,求出该 定值;若不是,说明理由.

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四星高中使用 高一数学参考答案
一、填空题:每小题 5 分,共计 70 分. 1.3 9. 2 3 2.

2 3

3. 2 ?

4. 4

5.2x ? y ? 3 ? 0 12. 3 3

6. 2 13. 5? ?1,

7. 31

10. ②③

11. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2

4 5 12 3 (? , ? ) 14. 5 2
8.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.证明:(1)在 ?PBC 中,? E , F 分别为 PB, PC 的中点? EF // BC ………………3 分 又 BC ? 平面 ABC , EF ? 平面 ABC ? EF // 平面 ABC …………………………………7 分 (2)由条件, PA ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ? PA ? BC ? ?ABC ? 90? ,即 AB ? BC ,………………………………………………10 分 由 EF //BC ,? EF ? AB , EF ? PA 又 PA ? AB ? A , PA, AB 都在平面 PAB 内

? EF ? 平面 PAB

又? EF ? 平面 AEF ? 平面 AEF ? 平面 PAB ………………………………………………14 分 16.解: (1)由条件可得 y ? 3 cos2x ? sin 2x ? 2sin(2 x ? ) ,……………………………4 分

?

3

所以该函数的最小正周期 T ? (2)? x ? ?0, 当x ?

2? ? ? ………………………………………………………6 分 2

? ? ? 5? ? ? ?? ,? 2 x ? ? ? , ,……………………………………………………8 分 ? 3 ?3 6 ? ? 4? ?
?
4
时,函数 y 取得最小值为 1

?
12

时,函数 y 取得最大值为 2 ,当 x ?

? 函数 y 的值域为 ?1,2? …………………………………………………………………………14 分
17.解: (1)因为四边形 ABCD 是矩形,所以 AD ? DC ? 0 由 CP ? 2PD 得: DP ?

1 2 2 DC , CP ? CD ? ? DC .………………………………3 分 3 3 3 1 2 ∴ AP ? BP ? ( AD ? DP) ? (BC ? CP) ? ( AD ? DC ) ? ( AD ? DC ) 3 3

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2 1 2 2 AD ? DC ? DC ? 36 ? ? 81 ? 18 .………………………………7 分 3 9 9 1 1 (2)由题意, AP ? AD ? DP ? AD ? DC ? AD ? AB 3 3 2 2 BP ? BC ? CP ? BC ? CD ? AD ? AB 3 3 2 1 2 1 2 2 ∴ AP ? BP ? ( AD ? AB ) ? ( AD ? AB ) ? AD ? AB ? AD ? AB 3 3 3 9

? AD ?

2

1 1 ? 36 ? AB ? AD ? 18 ? 18 ? AB ? AD ………………………………………………10 分 3 3 1 又 AP ? BP ? 6 ,∴ 18 ? AB ? AD ? 6 , ∴ AB ? AD ? 36 . 3
又 AB ? AD ? AB ? AD cos? ? 9 ? 6 ? cos? ? 54cos? ∴ 54 cos ? ? 36 ,即 cos? ?

2 . (利用坐标法求解,同样给分)………………………14 分 3

18.解: (1)如图所示,在 ?ABD 中

? ?BAD ? ?BAC ? ?DAC ? 30? ? 45? ? 75? ? ?ADB ? 60?
由正弦定理可得, 则 ?ABD 的面积

AB AD 3 sin 45? ? , AD ? ? 2 …………………4 分 sin ?ADB sin ?ABD sin 60?

S?

1 1 6 ? 2 3? 3 (平方海里)…………8 分 AB ? AD sin ?BAD ? ? 3 ? 2 ? ? 2 2 4 4

(2)? ?ABC ? ?ABD ? ?DBC ? 45? ? 75? ? 120 ? , ?BAC ? ?BCA ? 30?

? BC ? AB ? 3 ? AC ? 3 …………………………………………………………………12 分
在 ?ACD 中,由余弦定理得, CD ? AC ? AD ? 2 AC ? AD cos?DAC ? 5
2 2 2

即 CD ? 5 (海里) 答: ?ABD 的面积为 分 19.解:(1)由题意得, 2an ? Sn ? 1 ,? 2an?1 ? Sn?1 ? 1(n ? 2) , 两式相减,得 an ?

3? 3 平方海里, C , D 间的距离为 5 海里 .……………………16 4

2 an ?1 ,……………………………………………………………………3 分 3
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又当 n ? 1 时,有 3a1 ? 1,即 a1 ?

1 , 3
n ?1

1? 2? ? 数列 {an } 为等比数列,? an = ? ? .………………………………………………5 分 3? 3? (2)① Q 数列 {an } 为等差数列,由通项公式与求和公式, d 2 d d 2 3d )n ? 2a1 ? 2d , 得 2an ? S n ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? n ? (a1 ? )n ? n ? (a1 ? 2 2 2 2 d Q A ? 1, C ? ?2 , ? ? 1 ,a1 ? d ? ?2 ,? d ? 2 ,a1 ? 1 ,? an ? 2n ? 1.………10 2
分 ②

bn =

1 an an +1 +an +1 an
=

=

1

? 2n ? 1?

2n+1+ ? 2n ? 1? 2n+1

=

2n ? 1 2n+1
?

?

1 2n ? 1+ 2n+1

?

? 2n ? 1?

? 2n+1 ? 2n+1 ? 2n ? 1+

? 2n+1 ??
2n ? 1

2n ? 1 ? 2n+1

?

?

2n+1 ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2n+1

?

1? 1 1 ? ? ? ? ? …………………………………………………………………………13分 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
则 Tn = ? ?

1 ?1 2 ?1

1 1 1 + ? + 3 3 5

+

1 1 ? 1? 1 ? ? ? = 2 ?1 ? ?, 2n ?1 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? ?

1 ?1 1 ? 1? 1? 5 = ?1 ? ? = ……………………………………………………16分 ? T60 = ? ? ? ? 2 ?1 121 ? 2 ? 11 ? 11
2 2 20.解: (1)当点 A 在圆 O 外时,得 x0 ? y0 ? 13,即 x0 ? y 0 ? 13
2 2

∴ 圆心到直线 l 的距离 d ?

13
2 2 x0 ? y0

? 13 ? r ,

∴ 直线 l 与圆 O 相交.…………………………………………………………………………5分 (2)①由点 A 在圆 O 上,且 x0 ? 2 , y0 ? 0 ,得 y0 ? 3 ,即 A(2,3) . 记直线 AM 的倾斜角为 ? ,则 tan ? ? 又∵ k AM ? k AN ? 0 ,

3 ,…………………………………………………7 分 2

∴ 直线 AN 的倾斜角为 ? ?? ,

∴ tan ?MAN ? tan(? ? 2? ) ? ? tan 2? ? ?

2 tan ? 3 12 ?? ? .…………10 分 2 9 5 1 ? tan ? 1? 4

②记直线 AM 的斜率为 k ,则直线 AM 的方程为: y ? kx ? 3 ? 2k .
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将 y ? kx ? 3 ? 2k 代入圆 O 的方程得: x2 ? (kx ? 3 ? 2k )2 ? 13 , 化简得: (k 2 ? 1) x2 ? 2k (3 ? 2k ) x ? (3 ? 2k )2 ? 13 ? 0 , ∴ 2 xM ?

∵ 2 是方程的一个根,

(3 ? 2k )2 ? 13 , k 2 ?1

∴ xM ?

2k 2 ? 6k ? 2 , k 2 ?1

由题意知: k AN ? ?k ,同理可得, xN ?

2k 2 ? 6k ? 2 ,…………………………………13 分 k 2 ?1

∴ kMN ?

yM ? yN kxM ? 3 ? 2k ? (?kxN ? 3 ? 2k ) x ? xN ? 4 , ? ?k? M xM ? xN xM ? xN xM ? xN

2k 2 ? 6k ? 2 2k 2 ? 6k ? 2 ?8 ? ?4 2 2 2 2 k ?1 k ?1 ∴ kMN ? k ? ? k ? k ?1 ? , 2 2 ?12k 3 2k ? 6k ? 2 2k ? 6k ? 2 ? 2 2 k 2 ?1 k ?1 k ?1 2 ∴ 不论直线 AM 的斜率怎样变化,直线 MN 的斜率总为定值 .………………………16 分 3

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