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2014年高考文科数学复习----函数的奇偶性、单调性及周期性练习一


函数的奇偶性、单调性及周期性练习一
1.下列函数为偶函数的是( )A.y=sin x B.y=x3 C.y=ex 2.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( ) 1 A.- 3 1 B. 3 1 C. 2 1 D.- 2 )A.-1 B.0 C.1 D. 2 D.y=ln x2+1

3.已知定义在

R 上的奇函数 f(x),满足 f(x+4)=f(x),则 f(8)的值为(

4.已知 f(x)为奇函数,当 x∈(-∞,0)时,f(x)=x+2,则 f(x)>0 的解集为( A.(-∞,-2) B.(2,+∞) C.(-2,0)∪(2,+∞)

)

D.(-∞,-2)∪(0,2)

5. 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(3)=0,则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围 是( )A.(-∞,3)∪(3,+∞) B.(-∞,3) C.(3,+∞) D.(-3,3)

f?x?+f?-x? 6、设偶函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0,则不等式 >0 的解集为( x

)

A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2)

7. 设 f(x)=ax5+bx3+cx-5(a,b,c 是常数)且 f (?7) ? 7 ,则 f(7)= ______.

8、 (2013 重庆文)已知函数

f ( x) ? ax3 ? b sin x ? 4(a, b ? R) , f (lg(log 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg 2)) ? ( 2
C. 3 D. 4



A. ? 5

B. ?1

1 9、已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f( )的 x 的取值范围是( 3 1 2 1 2 1 2 1 2 A.( , ) B .[ , ) C.( , ) D.[ , ) 3 3 3 3 2 3 2 3 10.设函数 f(x)=x3cos x+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 11.已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)=________.
? ?x +x,x≤0, 12.已知函数 f(x)=? 2 ?ax +bx,x>0 ?
2



为奇函数,则 a+b=________.

13、 已知定义在 R 上的奇函数满足 f(x)=x2+2x(x≥0), 若 f(3-a2)>f(2a), 则实数 a 的取值范围是________. 3? 14.设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则 f? ?2?=________. 15.已知定义在[-2,2]上的奇函数,f (x)在区间[0,2]上单调递减,若 f (m)+f (m-1)>0,实数 m 的取值范___.

1

函数的奇偶性、单调性及周期性练习二
1.下列函数中,既是奇函数又是减函数的是( A.y=-x3 B.y=sin x ) C.y=x 1?x D.y=? ?2? )

5? 2.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f? ?-2?=( 1 A.- 2 1 B.- 4 1 C. 4 ) 1 D. 2

3.已知函数 f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)

B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0) )

?-x2+x,x>0, ? 4.已知函数 f(x)=|x+a|-|x-a|(a≠0),h(x)=? 2 则 f(x),h(x)的奇偶性依次为( ? ?x +x,x≤0,

A.偶函数,奇函数

B.奇函数,偶函数 C.偶函数,偶函数 D.奇函数,奇函数 )

5.已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+m(m 为常数),则 f(-1)的值为 ( A.-3 6.若函数 f(x)= B.-1 C .1 D.3 ) 1 A. 2 2 B. 3 ) 3 C. 4 D.1

x 为奇函数,则 a=( ?2x+1??x-a?

7.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)· f(x+2)=13,f(1)=2,则 f(99)=( A.13 B .2 13 C. 2 2 D. 13

8. 设 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(-3)=0,则 x· f(x)<0 的解集是(

)

A.{x|-3<x<0,或 x>3}B.{x|x<-3,或 0<x<3}C.{x|x<-3,或 x>3}D.{x|-3<x<0,或 0<x<3}

9、已知 f(x)是偶函数,当 x<0 时,f(x)=x2+x,则当 x>0 时,f(x)=________.

10. 若函数
取值范围是

是定义在 R 上的偶函数,在

上是减函数,且

,则使得

的x的

3 ? 11.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,其最小正周期为 3,且 x∈? ?-2,0?时,f(x)=log2(-3x+1),则 f(2 011)=________. 12、已知奇函数 f ?x ? 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 x ? (0,1) 时, f ? x ? ? 2 ,则 则 f (log 1 5) ? ______ 。
x
2

2

函数的奇偶性及周期性练习一(教师版)
1.下列函数为偶函数的是( D )A.y=sin x B.y=x3 C.y=ex D.y=ln x2+1 2.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( B ) 1 A.- 3 1 B. 3 1 C. 2 1 D.- 2

3.已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x+4)=f(x),则 f(8)的值为( B ) A.-1 B .0 C.1 D.2 )

4.已知 f(x)为奇函数,当 x∈(-∞,0)时,f(x)=x+2,则 f(x)>0 的解集为( A.(-∞,-2) B.(2,+∞) C.(-2,0)∪(2,+∞)
3

D.(-∞,-2)∪(0,2)

5. 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(3)=0,则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围 是( )A.(-∞,3)∪(3,+∞) B.(-∞,3) C.(3,+∞) D.(-3,3) )

f?x?+f?-x? 6、设偶函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0,则不等式 >0 的解集为( B x

A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2) ∵f(x)为偶函数,∴
? ?x>0, f?x?+f?-x? 2f?x? = >0.∴xf(x)>0.∴? x x ?f?x?>0 ?

或?

? ?x<0, ?f?x?<0. ?

又 f(-2)=f(2)=

0,f(x)在(0,+∞)上为减函数,故 x∈(0,2)或 x∈(-∞,-2). 7.(2013 年重庆(文) )已知函数 f ( x) ? ax ? b sin x ? 4(a, b ? R) , f (lg(log 2 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg 2)) ?
3



C )A. ?5

B. ?1

C. 3

D. 4

8、若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析:法一:∵f(-x)=f(x)对于 x∈R 恒成立,∴|-x+a|=|x+a|对于 x∈R 恒成立,两边平方整理得 ax=0,对于 x∈R 恒成立,故 a=0.法二:由 f(-1)=f(1),得|a-1|=|a+1|,故 a=0. 9.设函数 f(x)=x3cos x+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 解析:观察可知,y=x3cos x 为奇函数,且 f(a)=a3cos a+1=11,故 a3cos a=10.则 f(-a)=-a3cos a +1=-10+1=-9. 10.已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)=________. ∵y=f(x)+x2 是奇函数,且 x=1 时,y=2,∴当 x=-1 时,y=-2,即 f(-1)+(-1)2=-2, 得 f(-1)=-3,所以 g(-1)=f(-1)+2=-1.
?x2+x,x≤0, ? 11.已知函数 f(x)=? 2 为奇函数,则 a+b=________. ? ?ax +bx,x>0

解析:当 x<0 时,则-x>0,所以 f(x)=x2+x,f(-x)=ax2-bx,而 f(-x)=-f(x),即-x2-x=ax2- bx,所以 a=-1,b=1,故 a+b=0. 12. 设 f(x)=ax5+bx3+cx-5(a,b,c 是常数)且 f (?7) ? 7 ,则 f(7)= ______. 13、 已知定义在 R 上的奇函数满足 f(x)=x2+2x(x≥0), 若 f(3-a2)>f(2a), 则实数 a 的取值范围是________. 因为 f(x)=x2+2x 在[0, +∞)上是增函数, 又因为 f(x)是 R 上的奇函数, 所以函数 f(x)是 R 上的增函数, 要使 f(3-a2)>f(2a),只需 3-a2>2a,解得-3<a<1. 3? 14.设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则 f? ?2?=________. 3? ? 1? ?1? 1 3 依题意得,f(2+x)=f(x),f(-x)=f(x),则 f? ?2?=f?-2?=f?2?=2+1=2. 15.已知定义在[-2,2]上的奇函数,f (x)在区间[0,2]上单调递减,若 f (m)+f (m-1)>0,实数 m 的取值范___. 16、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式. 解:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).∴f(x)是周期为 4 的周期函数.
4

(2)∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],∴4-x∈[0,2],∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8. 又∵f(4-x)=f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x2+6x-8,即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].

函数的奇偶性及周期性练习二
1.下列函数中,既是奇函数又是减函数的是( A.y=-x3 B.y=sin x ) C.y=x 1?x D.y=? ?2? )

5? 2.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f? ?-2?=( 1 A.- 2 1 B.- 4 1 C. 4 1 D. 2

5? 1 ? 1 ? 1?? ?5? ?5 ? ?1? 解析:选 A 由题意得 f? ?-2?=-f?2?=-f?2-2?=-f?2?=-?2×2×?1-2??=-2. 3.已知函数 f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) 解析:选 C )

B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)

2 ? ?x -2x,x≥0, ? 将函数 f(x)=x|x|-2x 去掉绝对值得 f(x)= 画出函数 f(x)的图象,如图, 2 ?-x -2x,x<0, ?

观察图象可知,函数 f(x)的图象关于原点对称,故函数 f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.
?-x2+x,x>0, ? 4.已知函数 f(x)=|x+a|-|x-a|(a≠0),h(x)=? 2 则 f(x),h(x)的奇偶性依次为( ?x +x,x≤0, ?

)

A.偶函数,奇函数 解析:选 D

B.奇函数,偶函数 C.偶函数,偶函数 D.奇函数,奇函数

f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-f(x),故 f(x)为奇函数.

画出 h(x)的图象可观察到它关于原点对称或当 x>0 时, -x<0, 则 h(-x)=x2-x=-(-x2+x)=-h(x), 当 x<0 时-x>0,则 h(-x)=-x2-x=-(x2+x)=-h(x).x=0 时,h(0)=0,故 h(x)为奇函数. 5.已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+m(m 为常数), 则 f(-1)的值为 ( 6.若函数 f(x)= 1 A. 2 )A.-3 B.-1 ) 3 C. 4 D.1 C.1 D.3

x 为奇函数,则 a=( ?2x+1??x-a? 2 B. 3

解析:选 A 函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,则 f(0)=0,即 f(0)=20+m=0,解得 m=-1. 则 f(x)=2x+2x-1,f(1)=21+2×1-1=3,f(-1)=-f(1)=-3. 7.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)· f(x+2)=13,f(1)=2,则 f(99)=( A.13 B .2 13 C. 2 2 D. 13 )

解析: 由 f(x)· f(x+2)=13, 知 f(x+2)· f(x+4)=13, 所以 f(x+4)=f(x), 即 f(x)是周期函数, 周期为 4.所以 f(99) 13 13 =f(3+4×24)=f(3)= = . 答案:C f(1) 2 8. 设 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(-3)=0,则 x· f(x)<0 的解集是(
5

)

A.{x|-3<x<0,或 x>3}B.{x|x<-3,或 0<x<3}C.{x|x<-3,或 x>3}D.{x|-3<x<0,或 0<x<3}
?x>0, ?x<0, ?x>0, ?x<0, ? ? ? ? 解析: 选 D 由 x· f(x)<0, 得? 或? 而 f(-3)=0, f(3)=0, 即? 或? ?f?x?>0 ?f?x?<0, ?f?x?>f?-3? ?f?x?<f?3?, ? ? ? ?

所以 x· f(x)<0 的解集是{x|-3<x<0,或 0<x<3}. 9、已知 f(x)是偶函数,当 x<0 时,f(x)=x2+x,则当 x>0 时,f(x)=________.

10. 若函数
取值范围是

是定义在 R 上的偶函数,在

上是减函数,且

,则使得

的x的

3 ? 11.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,其最小正周期为 3,且 x∈? ?-2,0?时,f(x)=log2(-3x+1),则 f(2 011)=________.解析:f(2 011)=f(3×670+1)=f(1)=-f(-1)=-log2(3+1)=-2. 12、已知奇函数 f ?x ? 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 x ? (0,1) 时, f ? x ? ? 2 ,则 则 f (log 1 5) ? ______ 。
x
2

0 1 ,) 分析: 设 x ? (?1, 0) , 则 ?x ? (

, 由题意知 f ? ? x ? ? 2 , 因为 f ?x ? 是奇函数, 所以 f ? x ? ? ?2 ,
?x ?x

x ? (?1, 0) 。 设 x ? (?3, ?2) , 则 x ? 2 ? ( ?1 , 0 ) 从 而 f ? x ? 2? ? ?2? x?2 。 又 函 数 f ?x ? 满 足 , f ( x? 2 ) ? f ( x ), 所 以

f ? x ? ? ?2? x?2 , x ? (?3, ?2) 由 于 log 1 5 ? (?3, ?2) , 所 以
2
5 4

f (log 1 5) ? ?2
2

? log 1 5? 2
2

? ?2

log2

5 ?? 。 4

1?x 13.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 f(x)-g(x)=? ?2? ,则 f(1),g(0),g(-1)之间的 大小关系是______________. 1?x x 解析:在 f(x)-g(x)=? ?2? 中,用-x 替换 x,得 f(-x)-g(-x)=2 ,由于 f(x),g(x)分别是定义在 R 上 2 x-2x 的奇函数和偶函数,所以 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)=2x.于是解得 f(x)= ,g(x) 2


2 x+2x 3 5 =- ,于是 f(1)=- ,g(0)=-1,g(-1)=- ,故 f(1)>g(0)>g(-1). 2 4 4


14.关于 y=f(x),给出下列五个命题: ①若 f(-1+x)=f(1+x),则 y=f(x)是周期函数; ②若 f(1-x)=-f(1+x),则 y=f(x)为奇函数; ③若函数 y=f(x-1)的图象关于 x=1 对称,则 y=f(x)为偶函数; ④函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称; ⑤若 f(1-x)=f(1+x),则 y=f(x)的图象关于点(1,0)对称. 填写所有正确命题的序号________.解析:由 f(-1+x)=f(1+x)可知,函数周期为 2,①正确;由 f(1 -x)=-f(1+x)可知,y=f(x)的对称中心为(1,0),②错;y=f(x-1)向左平移 1 个单位得 y=f(x),故 y=f(x) 关于 y 轴对称,③正确;两个函数对称时,令 1+x=1-x 得 x=0,故应关于 y 轴对称,④错;由 f(1-x)
6

=f(1+x)得 y=f(x)关于 x=1 对称,⑤错,故正确的应是①③. -x +2x,x>0, ? ? 15、已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0 单调递增,求实数 a 的取值范围. 解:(1)设 x<0,则-x>0,所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增, 结合 f(x)的图象知?
? ?a-2>-1, ?a-2≤1, ?
2

是奇函数.(1)求实数 m 的值;(2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3].

16.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= x(0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式. 解:(1)证明:由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,得 f(x+1)=f(1-x),即有 f(-x)=f(x+2).又函 数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,故有 f(-x)=-f(x).故 f(x+2)=-f(x).从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0.x∈[-1,0)时,-x∈(0,1], f(x)=-f(-x)=- -x,又 f(0)=0,故 x∈[-1,0]时, f(x)=- -x. x∈[-5,-4],x+4∈[-1,0],f(x)=f(x+4)=- -x-4. 从而,x∈[-5,-4]时,函数 f(x)=- -x-4. 1 ? 17、已知 f(x)是偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,如果 f(ax+1)≤f(x-2)在 x∈? ?2,1?上恒成立, 求实数 a 的取值范围. 解:由于 f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,则在(-∞,0]上为减函数,由 f(ax+1)≤f(x-2), 1 ? 则|ax+1|≤|x-2|,又 x∈? ?2,1?,故|x-2|=2-x, 1 ? 3 1 即 x-2≤ax+1≤2-x.故 x-3≤ax≤1-x,1- ≤a≤ -1,在? ?2,1?上恒成立. x x 1 ? ? 3? 由于? ?x-1?min=0,?1-x?max=-2,故-2≤a≤0.

7


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