nbhkdz.com冰点文库

2013届高考数学第一轮复习教案第31讲 不等式性质及证明


www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育

2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第 31 讲 不等式性质及证明
一.课标要求:

1.不等关系 通过具体情境, 感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等 关系,了解不等式(组)的实际背景; 2.基本不等式: (a,b≥0) ①探索并

了解基本不等式的证明过程; ②会用基本不等式解决简单的最大(小)问题。
二.命题走向
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

不等式历来是高考的重点内容。 对于本将来讲, 考察有关不等 式 性质的基础知识、基本方法,而且还考察逻辑推理能力、分析问题、 解决问题的能力。本将内容在复习时,要在思想方法上下功夫。 预测 2013 年的高考命题趋势: 1.从题型上来看,选择题、填空题都有可能考察,把不等式的 性质与函数、三角结合起来综合考察不等式的性质、函数单调性 等, 多以选择题的形式出现, 解答题以含参数的不等式的证明、 求解为主; 2. 利用基本不等式解决像函数 f ( x) ? x ? , (a ? 0) 的单调性或解决 有关最值问题是考察的重点和热点,应加强训练。
三.要点精讲
a x

1.不等式的性质 比较两实数大小的方法——求差比较法

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育

a ? b ? a ?b ? 0 ; a ? b ? a ?b ? 0 ; a ? b ? a ?b ? 0。

定理 1:若 a ? b ,则 b ? a ;若 b ? a ,则 a ? b .即 a ? b ? b ? a 。 说明: 把不等式的左边和右边交换, 所得不等式与原不等式异向, 称为不等式的对称性。 定理 2:若 a ? b ,且 b ? c ,则 a ? c 。 说明: 此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之 和仍是正数;定理 2 称不等式的传递性。 定理 3:若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c 。 说明: (1)不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不 等式同向; (2)定理 3 的证明相当于比较 a ? c 与 b ? c 的大小,采用的是求差 比较法; (3)定理 3 的逆命题也成立; (4)不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一 边。 定理 3 推论:若 a ? b, 且c ? d , 则a ? c ? b ? d 。 说明: (1)推论的证明连续两次运用定理 3 然后由定理 2 证出; (2) 这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即:两个 或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与 原不等式同向;

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育

(3)同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;异向不等式:两 个不等号方向相反的不等式。 定理 4.如果 a ? b 且 c ? 0 ,那么 ac ? bc ;如果 a ? b 且 c ? 0 ,那么
ac ? bc 。

推论 1:如果 a ? b ? 0 且 c ? d ? 0 ,那么 ac ? bd 。 说明: (1)不等式两端乘以同一个正数,不等号方向不变;乘以 同一个负数,不等号方向改变; (2)两边都是正数的同向不等式的两 边分别相乘,所得不等式与原不等式同向; (3)推论 1 可以推广到任 意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说,两个 或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原 不等式同向。
推论 2:如果 a ? b ? 0 , 那么 a ? b
n n

(n ? N且n ? 1) 。

定理 5:如果 a ? b ? 0 ,那么 n a ? n b (n ? N且n ? 1) 。

2.基本不等式 定理 1: 如果 a, b ? R , 那么 a 2 ? b 2 ? 2ab(当且仅当 a ? b 时取“ ? ”) 。 说明:1) ( 指出定理适用范围: , b ? R ;2) ( 强调取“ ? ”的条件 a ? b 。 a
a?b (当且仅当 a ? b 时取“=”) ? ab 2 a?b 说明: (1)这个定理适用的范围:a, b ? R ? ; (2)我们称 为a, b 2

定理 2: 如果 a, b 是正数, 那么

的算术平均数,称 ab为a, b 的几何平均数。即:两个正数的算术平均 数不小于它们的几何平均数。 3.常用的证明不等式的方法 (1)比较法

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育

比较法证明不等式的一般步骤:作差—变形—判断—结论;为了 判断作差后的符号,有时要把这个差变形为一个常数,或者变形为一 个常数与一个或几个平方和的形式,也可变形为几个因式的积的形 式,以便判断其正负。 (2)综合法 利用某些已经证明过的不等式 (例如算术平均数与几何平均数的 定理)和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这个证明方法叫 综合法; 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们 各自成立的条件。
综合法证明不等式的逻辑关系是:A ? B1 ? B2 ? ? ? Bn ? B , 及从已知条件 A 出 发,逐步推演不等式成立的必要条件,推导出所要证明的结论 B 。

(3)分析法 证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等 式成立的充分条件, 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备 的问题,如果能够肯定这些充分条件都已具备,那么就可以断定原不 等式成立,这种方法通常叫做分析法。 (1)“分析法”是从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立 的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问 题,即“执果索因”; (2)综合过程有时正好是分析过程的逆推,所以常用分析法探 索证明 的途径,然后用综合法的形式写出证明过程。
四.典例解析
题型 1:考查不等式性质的题目

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育

例 1. (1)如果 a ? 0, b ? 0 ,那么,下列不等式中正确的是( (A) ?
| a |?| b |

) (D)

1 a

1 b

(B) ?a ? b

(C) 2 ? b2 a

(2)设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的 .... 是 (A) | a ? b |?| a ? c | ? | b ? c |
(C) | a ? b | ?
1 ?2 a?b

(B) a 2 ?

1 a
2

?a?

1 a

(D) a ? 3 ? a ? 1 ? a ? 2 ? a

解析: (1)答案:A;显然 a ? 0, b ? 0 ,但无法判断 ? a, b 与 | a |, | b | 的大小;

(2)运用排除法,C 选项 a ? b ?

1 ? 2 ,当 a-b<0 时不成立, a?b

运 用 公 式 一 定 要 注 意 公 式 成 立 的 条 件 , 如 果
a, b ? R, 那么a 2 ? b 2 ? 2ab(当且仅当a ? b时取" ?"号) ,如果 a,b 是正数,那么

a?b ? ab (当且仅当a ? b时取" ?"号). 2

点评:本题主要考查.不等式恒成立的条件,由于给出的是不完 全提干,必须结合选择支,才能得出正确的结论。 例 2. (1)设 a,b,c,d∈R,且 a>b,c>d,则下列结论中正确 的是( ) B.a-c>b-d C.ac>bd ) D.
a b ? d c

A.a+c>b+d

(2)若 a<b<0,则下列结论中正确的命题是( A ? 和 B.
1 a 1 b
1 1 ? 均不能成立 |a| |b|

1 1 1 1 ? ? 和 均不能成立 |a| |b| a ?b b

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育

C.不等式 D.不等式

1 1 1 1 ? 和(a+ )2>(b+ )2 均不能成立 b a?b a a 1 1 1 1 ? 和(a+ )2>(b+ )2 均不能成立 |a| |b| b a

解析: (1)答案:A;∵a>b,c>d,∴a+c>b+d; (2)答案:B 解析: ∵b<0, ∴-b>0, ∴a-b>a, 又∵a-b<0, a<0, ∴ 故
1 1 ? 不成立。 a ?b a
1 1 1 1 ? ? 故 不成立。由此可选 B。 |a| |b| |a| |b|

1 1 ? 。 a ?b a

∵a<b<0,∴|a|>|b|,∴
1 a 1 b

另外,A 中 ? 成立.C 与 D 中(a+ )2>(b+ )2 成立。 其证明如下: ∵a<b<0, ? <0, ∴a+ <b+ <0, ∴|a+ |>|b+ |, 故(a+ )2>(b+ )2。 点评:本题考查不等式的基本性质。 题型 2:基本不等式 例 3. “a>b>0”是“ab < (A)充分而不必要条件 条件 (C)充分必要条件 不必要条件 (D)既不允分也
a2 ? b2 ”的( 2

1 b

1 a

1 b

1 a

1 b

1 a

1 b

1 a

1 b

1 a

) (B)必要而不充分

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育

解析:A; a 2 ? b 2 ? 2ab 中参数的取值不只是指可以取非负数。均 值不等式满足
a?b ? ab , (a ? 0, b ? 0) 。 2

点评:该题考察了基本不等式中的易错点。 例 4. (1)若实数 a、b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是( A.18 B.6 C.2 3
1 2



D.2 4 3
a?b ) , 2

(2) a>b>1, 若 P= lg a ? lg b , Q= (lga+lgb) R=lg , ( 则( ) B.P<Q<R D.P<R<Q

A.R<P<Q C.Q<P<R

解析: (1)答案:B;3a+3b≥2 3a ? 3b ? 2 3a ?b =6,当且仅当 a=b=1 时取等号。故 3a+3b 的最小值是 6; (2)答案:B;∵lga>lgb>0,∴ (lga+lgb)> lg a ? lg b , 即 Q>P, 又∵a>b>1,∴ ∴ lg(
a?b ? ab , 2

1 2

a?b 1 , ) ? lg ab ? (lga+lgb) 2 2

即 R>Q,∴有 P<Q<R,选 B。 点评:本题考查不等式的平均值定理,要注意判断等号成立的条 件。 题型 3:不等式的证明 例 5.已知 a>0,b>0,且 a+b=1 求证 (a+ 1 )(b+ 1 )≥ 25 。
a b 4

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育

证法一: (分析综合法) 欲证原式,即证 4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0, 即证 4(ab)2-33(ab)+8≥0,即证 ab≤ 1 或 ab≥8
4

∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≥8 不可能成立 ∵1=a+b≥2
ab ,∴ab≤

1 ,从而得证。 4

证法二: (均值代换法) 设 a= 1 +t1,b= 1 +t2。
2 2
[来源:学科网]

∵a+b=1,a>0,b>0,∴t 1+t2=0,|t1|< 1 ,|t2|< 1 ,
2 2

1 1 a ?1 b ?1 ? (a ? )(b ? ) ? ? a b a b 1 1 1 1 2 2 ( ? t1 ) 2 ? 1 ( ? t 2 ) 2 ? 1 ( ? t1 ? t1 ? 1)( ? t 2 ? t 2 ? 1) 4 ? 2 ? 2 ? 4 1 1 1 1 ? t1 ? t2 ( ? t1 )( ? t 2 ) 2 2 2 2 1 1 5 2 2 2 2 ( ? t1 ? t1 ? 1)( ? t 2 ? t 2 ? 1) ( ? t 2 ) 2 ? t 2 4 ? 4 ? 4 1 1 2 2 ? t2 ? t2 4 4 25 3 2 25 4 ? t2 ? t2 25 ? 16 2 ? 16 ? . 1 1 2 4 ? t2 4 4
2 2

显然当且仅当 t=0,即 a=b= 1 时,等号成立。
2

证法三:(比较法) ∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2
ab ,∴ab≤

1 , 4

1 1 25 a 2 ? 1 b 2 ? 1 25 4a 2b 2 ? 33ab ? 8 (1 ? 4ab)(8 ? ab) (a ? )(b ? ) ? ? ? ? ? ? ?0 a b 4 a b 4 4ab 4ab 1 1 25 ? (a ? )(b ? ) ? a b 4

证法四:(综合法) ∵a+b=1, a>0,b>0,∴a+b≥2
ab ,∴ab≤

1 , 4

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育

25 ? 2 ?(1 ? ab) ? 1 ? 16 (1 ? ab) 2 ? 1 25 1 3 9 ? ?1 ? ab ? 1 ? ? ? (1 ? ab) 2 ? ? ? ? ? 4 4 16 ? 1 ab 4 ?4 ? ab ?
1 1 25 。 即(a ? )(b ? ) ? a b 4

证法五:(三角代换法) ∵ a>0,b>0,a+b=1,故令 a=sin2α,b=cos2α,α∈(0, ? ),
2
1 1 1 1 ( a ? )(b ? ) ? (sin 2 ? ? )(cos 2 ? ? ) 2 a b sin ? cos 2 ? sin 4 ? ? cos 4 ? ? 2 sin 2 ? cos 2 ? ? 2 ( 4 ? sin 2 ? ) 2 ? 16 ? ? 4 sin 2 2? 4 sin 2 2? ? sin 2 2? ? 1,? 4 ? sin 2 2? ? 4 ? 1 ? 3. 4 ? 2 sin 2 2? ? 16 ? 25? ? ( 4 ? sin 2 2? ) 2 25 ? ?? 1 1 4 4 sin 2 2? ? ? 2 sin 2? 4 ? 1 1 25 即得( a ? )(b ? ) ? . a b 4

点评:比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形 的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述:如果作差以 后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式, 则考虑用判别式法 证。 例 6.求使
x ? y ≤a x ? y

(x>0,y>0)恒成立的 a 的最小值。

分析:本题解法三利用三角换元后确定 a 的取值范围,此时我们 习惯是将 x、 与 cosθ、 来对应进行换元, y sinθ 即令
2
x

=cosθ, y =sinθ(0

<θ< ? =,这样也得 a≥sinθ+cosθ,但是这种换元是错误的 其原因 是: (1)缩小了 x、 的范围; y (2)这样换元相当于本题又增加了“x、 y=1” 这样一个条件,显然这是不对的。 除了解法一经常用的重要不等式外,解法二的方法也很典型,即

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育

若 参数 a 满 足不等 关系, a≥f(x),则 amin=f(x)max

若 a≤f(x), 则

amax=f(x)min,利用这一基本事实,可以较轻松地解决这一类不等式中 所含参数的值域问题。还有三角换元法求最值用的恰当好处,可以把 原问题转化。 解法一:由于 a 的值为正数,将已知不等式两边平方, 得:x+y+2
xy

≤a2(x+y),即 2
xy

xy

≤(a2-1)(x+y), ②



∴x,y>0,∴x+y≥2



当且仅当 x=y 时,②中有等号成立。 比较①、②得 a 的最小值满足 a2-1=1, ∴a2=2,a=
2

(因 a>0),∴a 的最小值是
x? y x? y ?

2



解法二:设 u ?

( x ? y )2 x ? y ? 2 xy 2 xy ? ? 1? x? y x? y x? y
xy

∵x>0,y>0,∴x+y≥2 ∴
2 xy x? y

(当 x=y 时“=”成立),

≤1,

2 xy x? y

的最大值是 1。
1?1 ? 2 , 2

从而可知,u 的最大值为

又由已知,得 a≥u,∴a 的最小值为 解法三:∵y>0, ∴原不等式可化为 设
x y x y



+1≤a

x ?1 , y

=tanθ,θ∈(0, ? )。
2
tan 2 ? ? 1 ,即

[来源:Z。xx。k.Com]

∴tanθ+1≤a

tanθ+1≤asecθ ), ③

∴a≥sinθ+cosθ=

2 sin(θ+

? 4

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育

又∵sin(θ+ ? )的最大值为 1(此时 θ= ? )。
4 4

由③式可知 a 的最小值为

2



点评:本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分 析能力。该题实质是给定条件求最值的题目,所求 a 的最值蕴含于恒 成立的不等式中,因此需利用不等式的有关性质把 a 呈现出来,等价 转化的思想是解决题目的突破口, 然后再利用函数思想和重要不等式 等求得最值。 题型 4:不等式证明的应用 例 7. 已知函数 f(x)=x 3 + x 3 , 数列|x n |(x n >0)的第一项 x n = 1,以后各项按如下方式取定:曲线 x=f(x)在 ( xn?1 , f ( xn?1 )) 处的切线与 经过(0,0)和(x n ,f (x n ))两点的直线平行(如图)

.
2 求 证 : 当 n ? N * 时 , (Ⅰ)x 2 ? xn ? 3xn?1 ? 2 xn?1 ; ( Ⅱ ) n

1 1 ( ) n ?1 ? x n ? ( ) n ?2 。 2 2

证明: (I)因为 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2 x, 所以曲线 y ? f ( x) 在 ( xn?1 , f ( xn?1 )) 处的切线斜率 kn?1 ? 3x 2 ? 2 xn?1.
n?1

因为过 (0, 0) 和 ( xn , f ( xn )) 两点的直线斜率是 xn2 ? xn ,
2 所以 xn ? xn ? 3xn?12 ? 2 xn?1 .

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育

(II)因为函数 h( x) ? x 2 ? x 当 x ? 0 时单调递增,
2 而 xn ? xn ? 3xn?12 ? 2 xn?1 ? 4 xn?12 ? 2 xn?1 ? (2 xn?1 )2 ? 2 xn?1 ,

所以 xn ? 2 xn?1 ,即 因此 xn ?

xn ?1 1 ? , xn 2

xn xn ?1 x 1 ? ????? 2 ? ( )n ?1. xn ?1 xn ? 2 x1 2 yn ?1 1 ? . yn 2

2 2 又因为 xn ? xn ? 2( x 2 ? xn?1 ), 令 yn ? xn ? xn , 则
n?1

因为 y1 ? x12 ? x1 ? 2, 所以 yn ? ( )n?1 ? y1 ? ( )n?2 .
2 因此 xn ? xn ? xn ? ( )n?2 , 故 ( )n?1 ? xn ? ( )n?2 .

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

点评:本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识,以 及不等式的证明,同时考查逻辑推理能力。 例 8.已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx2。 (1)当 b>0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1,证明 a≤2 b ; (2)当 b>1 时,证明:对任意 x∈[0,1] ,|f(x)|≤1 的充要 条件是 b-1≤a≤2 b ; (3)当 0<b≤1 时,讨论:对任意 x∈[0,1] ,|f(x)|≤1 的充 要条件。 (Ⅰ)证明:依设,对任意 x∈R,都有 f(x)≤1, ∵f(x)= ? b( x ?
a 2 a2 ) ? , 2b 4b

a a2 ∴ f ( ) ? ≤1,∵a>0,b>0,∴a≤2 b . 2b 4b

(Ⅱ)证明:必要性:对任意 x∈[0,1] ,|f(x)|≤1 ? -1≤f

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育

(x) ,据此可以推出-1≤f(1) , 即 a-b≥-1,∴a≥b-1; 对任意 x∈[0,1] ,|f(x)|≤1 ? f(x)≤1,因为 b>1,可以推 出 f(
1 1 )≤1,即 a· -1≤1,∴a≤2 b ; b b
[来源:学科网 ZXXK]

∴b-1≤a≤2 b .

充分性:因为 b>1,a≥b-1,对任意 x∈[0,1] , 可以推出:ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1,即 ax-bx2≥-1; 因为 b>1,a≤2 b ,对任意 x∈[0,1] , 可以推出 ax-bx2≤2 b x-bx2≤1, 即 ax-bx2≤1。 ∴-1≤f(x)≤1。 综上,当 b>1 时,对任意 x∈[0,1] ,|f(x)|≤1 的充要条件是 b-1≤a≤2 b .
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

(Ⅲ)解:因为 a>0,0<b≤1 时,对任意 x∈[0,1] : f(x)=ax-bx2≥-b≥-1,即 f(x)≥-1; f(x)≤1 ? f(1)≤1 ? a-b≤1,即 a≤b+1, a≤b+1 ? f(x)≤(b+1)x-bx2≤1,即 f(x)≤1。 所以,当 a>0,0<b≤1 时,对任意 x∈[0,1] ,|f(x)|≤1 的充 要条件是 a≤b+1. 22.解:原式 ? (x-a) (x-a2)<0,∴x1=a,x2=a2。 当 a=a2 时,a=0 或 a=1,x∈ ? ,当 a<a2 时,a>1 或 a<0,a

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育

<x<a2, 当 a>a2 时 0<a<1,a2<x<a, ∴当 a<0 时 a<x<a2,当 0<a<1 时,a2<x<a,当 a>1 时, a<x<a2,当 a=0 或 a=1 时,x∈ ? 。 点评:此题考查不等式的证明及分类讨论思想。 题型 5:课标创新题 例 9.三个同学对问题“关于 x 的不等式 x 2 +25+| x 3 -5 x 2 |≥ ax 在 [1,12]上恒成立,求实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路。 甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”; 乙说:“把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求 函数的最值”; 丙说:“把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图像”; 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即 a 的取值范围是 答案:a≤10。 点评:该题通过设置情景,将不等式知识蕴含在一个对话情景里 面,考查学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力。 例 10.在 m(m≥2)个不同数的排列 P1P2…Pn 中,若 1≤i<j≤m 时 Pi>Pj (即前面某数大于后面某数) 则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序. 一 , 个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列
(n ? 1)n(n ? 1) ?321的逆序数为



an,如排列 21 的逆序数 a1 ? 1 ,排列 321 的

逆序数 a3 ? 6 。

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育

(Ⅰ)求 a4、a5,并写出 an 的表达式; (Ⅱ)令 bn ? 解
an a ? n ?1 a n ?1 an

,证明 2n ? b1 ? b2 ? ?bn ? 2n ? 3 ,n=1,2,…。
2

(Ⅰ)由已知得 a 4 ? 10, a5 ? 15 , a n ? n ? (n ?1) ? ? ? 2 ? 1 ? n(n ? 1) 。
an a n n?2 n n?2 ? n ?1 ? ? ?2 ? ? 2, n ? 1,2, ? , a n ?1 an n?2 n n?2 n

(Ⅱ)因为 bn ?

所以 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n . 又因为 bn ? 所 = 2n ? 3 ?
n n?2 2 2 ? ? 2? ? , n ? 1,2, ? , n?2 n n n?2


2 2 ? ? 2n ? 3 。 n ?1 n ? 2

1 1 1 1 1 1 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 1 3 2 4 n n?2

综上, 2n ? b1 ? b2 ? ?bn ? 2n ? 3, n ? 1,2, ? 。 点评:该题创意新,知识复合到位,能很好的反映当前的高考趋 势。
五.思维总结

1 .不等式证明常用的方法有:比较法、综合法和分析法,它们 是证明不等式的最基本的方法。 (1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形 的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述:如果作差以 后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则考虑用判别式法 证; (2)综合法是由因导果,而分析法是执果索因,两法相互转换, 互相渗透,互为前提,充分运用这一辩证关系,可以增加解题思路, 开扩视野。 2.不等式证明还有一些常用的方法:换元法、放缩法、反证法、

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育

函数单调性法、判别式法、数形结合法等。换元法主要有三角代换, 均值代换两种,在应用换元法时,要注意代换的等价性。放缩性是不 等式证明中最重要的变形方法之一,放缩要有的放矢,目标可以从要 证的结论中考查。有些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑 反证法 凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定词的命题,适宜用 反证法。 证明不等式时,要依据题设、题目的特点和内在联系,选择适当 的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤、技 巧和语言特点。 3.几个重要不等式
2 (1) 若a ? R, 则 | a |? 0, a ? 0
2 2 2 2 (2) 若a、b ? R , 则a ? b ? 2ab(或a ? b ? 2 | ab |? 2ab) (当仅

当 a=b 时取等号) (3)如果 a,b 都是正数,那么 最值定理:若 x, y ? R
?
ab ? a ? b (当仅当 . 2

a=b 时取等号)

, x ? y ? S , xy ? P, 则:

1 S 2 ○如果 P 是定值, 那么当 x=y 时, 的值最小; 如果 S 是定值, 那 ○ 么当 x=y 时,P 的值最大; 1 注意:○前提:“一正、二定、三相等”,如果没有满足前提,则 2 应根据题目创设情境;还要注意选择恰当的公式;○“和定 积最大, 3 积定 和最小”,可用来求最值;○均值不等式具有放缩功能,如果有 多处用到,请注意每处取等的条件是否一致。

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育

(4)若a、b、c ? R ? , 则

a?b?c 3 ? abc (当仅当 a=b=c 时取等号) ; 3

b a (5) 若ab ? 0, 则 ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) 。 a b

文章来源:福州五佳教育网 www.wujiajiaoyu.com(中小学直线提分,就上福州五佳教育)


第31讲 不等式性质及证明

第31讲 不等式性质及证明_高三数学_数学_高中教育_教育专区。普通高中课程标准实验...普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案(讲座 ...

高三数学第一轮复习单元讲座 第31讲 不等式性质及证明教案 新人教版

高三数学第一轮复习单元讲座 第31讲 不等式性质及证明教案 新人教版_数学_高中教育_教育专区。普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习...

2013届高三数学一轮复习教案(不等式)

2013届高三数学一轮复习教案(不等式)_数学_高中教育_教育专区。不等式的概念和性质〖考纲要求〗掌握不等式性质及其证明,能正确使用这些概念解决一些简单问题. 〖...

2017年普通高考数学科一轮复习精品学案 第31讲 不等式性质及证明

本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网 www.21cnjy.com 2017 年普通高考数学一轮复习精品学案第 31 讲 不等式性质及证明一.课标要求: 1.不等关系 通过具体...

第31讲不等式性质及证明

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 老苗汤 老苗汤泡脚 老苗汤官网 www.laomiaotan400315.com 高三数学第一轮复习教案(讲座 31)—不等式性质及证明...

第31讲 不等式性质及证明

2013届高考数学第一轮复习... 15页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心...第31讲 不等式性质及证明 精品第31讲 不等式性质及证明 精品隐藏>> 2009~2010...

第31讲 不等式性质及证明

( 高三数学第一轮复习教案(讲座 31)—不等式性质及证明 数学第一轮复习教案 ) 一.课标要求: 课标要求: 1.不等关系 通过具体情境,感受在现实世界和日常生活...

高考数学一轮专题精讲31:不等式性质及证明

1/2 相关文档推荐 2013届高考数学第一轮复习... 13页 免费 2013届高考数学...第31 讲一. 【课标要求】 1.丌等关系 不等式性质及证明 通过具体情境,感受在...

2012届高考数学第一轮复习教案31

2012届高考数学第一轮复习教案31_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。会考...就说 f(x)在这个区间上是增(减)函数 注:1、函数的单调性是函数的局部性质...