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高中数学北师大版必修2:第二章综合能力检测(含答案)


第二章综合能力检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 若直线 l 的倾斜角是直线 y=x-3 的倾斜角的两倍,且经过点(2,4),则直线 l 的方 程

为( ) B.x=4 D.y=2x-3

A.y=2x C.x=2 [答案] C

[解析] 直线 y=x-3 的斜率为 1,其倾斜角等于 45° ,于是直线 l 的倾斜角等于 90° , 其斜率不存在,又因为它过点(2,4),故 l 的方程为 x=2. 2.若点 P(3,4)和点 Q(a,b)关于直线 x-y-1=0 对称,则( A.a=1,b=-2 C.a=4,b=3 [答案] D b-4 ? ?a-3=-1, 由? a+3 b+4 ? 2 - 2 -1=0, ?
? ?a=5, 解得? ?b=2. ?

)

B.a=2,b=-1 D.a=5,b=2

[解析]

3.方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是( A.a<-2 C.-2<a<0 [答案] D [解析] 由 D2+E2-4F>0,得 a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0, 2 解得-2<a< . 3 4.若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x2+y2-2x=0 相切,则 a 的值为( A.1,-1 C.1 [答案] D [解析] 将圆 x2+y2-2x=0 的方程化为标准式 B.2,-2 D.-1 ) 2 B.- <a<0 3 2 D.-2<a< 3

)

(x-1)2+y2=1,∴其圆心为(1,0),半径为 1. 若直线(1+a)x+y+1=0 与该圆相切,则圆心到直线的距离 d 等于圆的半径 r, ∴ |1+a+1| =1,∴a=-1. ?1+a?2+1 )

5.已知 A(2,5,-6),点 P 在 y 轴上,|PA|=7,则点 P 的坐标是( A.(0,8,0) C.(0,8,0)或(0,2,0) [答案] C [解析] 点 P 在 y 轴上,可设为(0,y,0), 因为|PA|=7,A(2,5,-6), 所以 22+?y-5?2+62=7, 解得 y=2 或 8.故选 C. B.(0,2,0) D.(0,-8,0)

6.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A、B 两点, 则弦 AB 的长等于( A.3 3 C. 3 [答案] B [解析] 本题考查了直线与圆位置关系处理方法,弦长等知识,如图所示. ) B.2 3 D.1

设 AB 的中点为 D,则 OD⊥AB,由点到直线距离公式得|OD|= ∴AD2=OA2-OD2=4-1=3,∴|AD|= 3, ∴弦长|AB|=2 3.

|-5| 32+42

=1.

7. 已知 A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|(x-5)2+(y-5)2=4},则 A∩B 等于( A.? C.{(5,5)} [答案] A B.{(0,0)} D.{(0,0),(5,5)}

)

[解析] 集合 A 是圆 O:x2+y2=1 上所有点组成的,集合 B 是圆 C:(x-5)2+(y-5)2 =4 上所有点组成的.又 O(0,0),r1=1,C(5,5),r2=2,|OC|=5 2, ∴|OC|>r1+r2=3.

∴圆 O 和圆 C 相离,无公共点.∴A∩B=?. 8. 若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx-y=0 的两个交点恰好关于 y 轴对称, 则 k=( A.0 C.2 [答案] A
?y=kx+1 ? [解析] 由? 2 2 得(1+k2)x2+2kx=0, ? x + y + kx - y = 0 ?

)

B.1 D.3

∵两交点恰好关于 y 轴对称,∴- 9.从原点向圆 x2+y2-6x+ 2 A. π 3 3 C. π 2 [答案] B

2k =0,∴k=0. 1+k2 )

27 =0 作两条切线,则两条切线间圆的劣弧长为( 4 B.π 4 D. π 3

[解析] 如图所示,数形结合,圆心 C(3,0)

3 3 半径 r= ,在 Rt△OCA 中,OC=3,CA= , 2 2 ∴∠OCA=60° 120π 3 从而∠ACB=120° ,劣弧 AB 长 l= × =π. 180 2 10.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( A.10 6 C.30 6 [答案] B [解析] 考题分析:本题考查圆的相关知识. 圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0 得圆心(3,4),半径为 5. 由题意知,AC 为圆的直径且 BD⊥AC, ∴|BD|=2 52-12=4 6,|AC|=10. 1 ∴S 四边形 ABCD= ×4 6×10=20 6,故选 B. 2 ) B.20 6 D.40 6

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11.直线 l 过点(-5,-10)且在圆 x2+y2=25 上截得的弦长为 5 2,则直线 l 的方程为 ________________. [答案] x-y-5=0 或 7x-y+25=0 [解析] 若直线 l 的斜率不存在,则其直线方程为 x=-5,此时直线 l 与圆相切,不符 合题意. 故设直线 l 的斜率为 k, 其方程为 y+10=k(x+5),即 kx-y+5k-10=0 |5k-10| 2 5 2 2 由( ) +( ) =25 可得 k=1 或 k=7. 2 1+k2 即 x-y-5=0 或 7x-y+25=0 为所求. 12.光线从点 M(3,-2)照射到 y 轴上一点 P(0,1)后,被 y 轴反射,则反射光线所在的 直线方程为________. [答案] x-y+1=0 [解析] 点 M(3,-2)关于 y 轴的对称点为 M′(-3,-2),故反射光线所在的直线方 1-?-2? 程为直线 M′P,其方程为 y-1= x=x,即 x-y+1=0. 0-?-3? 13.若圆 x2+y2+2x-4y-4=0 的圆心 C 到直线 l 的距离为 2,且 l 与直线 3x+4y-1 =0 平行,则直线 l 的方程为________. [答案] 3x+4y+5=0 或 3x+4y-15=0 [解析] 圆心为(-1,2).设所求的直线方程为 3x+4y+D=0(D≠-1),由点到直线的距 |3×?-1?+4×2+D| |5+D| 离公式,得 =2,即 =2,解得 D=5 或-15.故所求的直线方程为 2 2 5 3 +4 3x+4y+5=0 或 3x+4y-15=0. 14.以点 A(2,-1)为圆心,在直线 3x-4y+10=0 上截得的弦长为 6 的圆的一般方程 是________. [答案] x2+y2-4x+2y-20=0 |6+4+10| [解析] 点 A 到直线的距离 d= =4. 5 又弦长为 6,∴圆的半径为 5. 故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=25, 即 x2+y2-4x+2y-20=0. 15.已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l∶y=x-1 被该圆所截得的 弦长为 2 2,则圆 C 的标准方程为________.

[答案] (x-3)2+y2=4 [解析] 设圆心 C(a,0), 由已知 a>0 作 CD⊥AB, 则由|AB|=2 2?AD= 2, |CD|= |a-1| . 2

|CA|=|a-1|, |a-1| 2 由勾股定理得:( 2)2+( ) =(|a-1|)2 2 ?a=3 或 a=-1, 又 a>0,∴a=3,∴r=3-1=2, ∴⊙C 的方程为(x-3)2+y2=4. 三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) 16.(本小题满分 12 分)设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. [解析] (1)当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距都为零,当然相等. 则(a+1)×0+0+2-a=0, ∴a=2,方程即 3x+y=0; 若 a≠2,由题设 l 在两轴上的截距存在, ∴ a-2 =a-2,即 a+1=1, a+1

∴a=0,方程即 x+y+2=0. ∴l 的方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0. (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, ∴欲使 l 不经过第二象限,当且仅当
?-?a+1?≥0 ? ? ,∴a≤-1. ?a-2≤0 ?

综上可知,a 的取值范围是 a≤-1. 17.(本小题满分 12 分)一束光线 l 自 A(-3,3)发出,射到 x 轴上,被 x 轴反射后与圆 C: x2+y2-4x-4y+7=0 有公共点.求: (1)反射光线通过圆心 C 时,光线 l 所在直线的方程; (2)在 x 轴上,反射点 M 的横坐标的取值范围.

[解析] 圆 C 的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1. (1)圆心 C 关于 x 轴的对称点为 C′(2,-2),过点 A,C′的直线方程为 x+y=0,此即 为光线 l 所在直线的方程. (2)点 A 关于 x 轴的对称点为 A′(-3,-3),设过点 A′的直线为 y+3=k(x+3).当该 |2k-2+3k-3| 4 3 直线与圆 C 相切时,有 =1,解得 k= 或 k= .所以过点 A′的圆 C 的两条切 3 4 1+k2 4 3 3 线方程分别为 y+3= (x+3),y+3= (x+3).分别令 y=0,得 x1=- ,x2=1,所以在 x 3 4 4 3 轴上反射点 M 的横坐标的取值范围是[- ,1]. 4 18.(本小题满分 12 分)已知圆 C 的圆心在直线 x-3y=0 上,且圆 C 与 y 轴相切,若圆 C 截直线 y=x 得弦长为 2 7,求圆 C 的方程. [解析] 设 C(a,b),半径为 r>0,点 C 在 x-3y=0 上, ∴a-3b=0, 又 C 与 y 轴相切, ∴r=|a|, 又圆 C 在 y=x 上截弦长为 2 7, |a-b| 则圆心到 y=x 的距离 d= , 2 a-3b=0, ? ?r =a , ∴? ?a-b? ? ? 2 +7=r .
2 2 2 2

a=3, ? ? ∴?b=1, ? ?r=3,

a=-3, ? ? 或?b=-1, ? ?r=3.

∴圆 C 方程为(x-3)2+(y-1)2=9, 或(x+3)2+(y+1)2=9. 19.(本小题满分 12 分)(1)已知直线 l: 3x-y+1=0,求 l 关于 x 轴对称的直线方程; (2)已知圆 M:x2+y2=4,求过点 P(2,4)与圆 M 相切的切线方程. [解析] (1)方法一:∵所求直线与 l 关于 x 轴对称, 又 k1= 3, ∴所求直线斜率为- 3. ∵直线 l 与 x 轴交于点?-

?

1 ,0?, 3 ?

∴所求直线为 y=- 3?x+

?

1? , 3?

即 3x+y+1=0. 方法二:在直线 l 上取两点(0,1),( 3,4), ∵所求直线与 l 关于 x 轴对称, ∴点(0,-1)和( 3,-4)在所求直线上. ∴所求直线的斜率为 k=- 3, ∴所求直线为 y+1=- 3x, 即 3x+y+1=0. (2)∵点 P(2,4)不在圆 O 上, ∴可设切线 PT 为 y=k(x-2)+4, |-2k+4| 3 ∵d=r,∴ 2 =2,解得 k=4. 1+k 3 ∴y= (x-2)+4,即 3x-4y+10=0. 4 ∵过圆外一点作圆的切线应该有两条, ∴另一条直线的斜率不存在,易求另一条切线为 x=2. 20. (本小题满分 13 分)直线 y=kx 与圆 x2+y2-6x-4y+10=0 相交于两个不同点 A, B, 当 k 取不同的实数值时,求 AB 中点的轨迹. [解析] 方法一:联立方程,得
2 2 ? ?x +y -6x-4y+10=0, ? ?y=kx, ?

消去 y,得(1+k2)x2-(6+4k)x+10=0. 设此方程的两根为 x1,x2,AB 的中点坐标为 P(x,y), 由根与系数的关系和中点坐标公式得 x1+x2 6+4k 3+2k x= = = ,① 2 2?1+k2? 1+k2 又∵P 点在直线 y=kx 上, y ∴y=kx,即 k= .② x y 3+2? ? x 将②代入①,得 x= (x≠0), y 1+? ?2 x

整理得 x2+y2-3x-2y=0. ∵点 P 始终在圆 x2+y2-6x-4y+10=0 的内部, ∴点 P 的轨迹是圆 x2+y2-3x-2y=0 位于圆 x2+y2-6x-4y+10=0 内的部分弧. 方法二:∵直线 y=kx 过坐标原点,圆 x2+y2-6x-4y+10=0 的圆心为 C(3,2), 设 AB 的中点为 M,则 MC⊥AB, ∴点 M 在以 OC 为直径的圆上, 3 13 此圆的圆心为( ,1),半径为 , 2 2 3 13 其方程为(x- )2+(y-1)2= , 2 4 即 x2+y2-3x-2y=0. 又∵点 M 在圆 x2+y2-6x-4y+10=0 的内部, ∴轨迹是圆 x2+y2-3x-2y=0 位于圆 x2+y2-6x-4y+10=0 内的部分弧. 21.(本小题满分 14 分)已知点 P(2,0)及圆 C:x2+y2-6x+4y+4=0. (1)若直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1,求直线 l 的方程. (2)设过点 P 的直线 l1 与圆 C 交于 M,N 两点,当|MN|=4 时,求以线段 MN 为直径的 圆 Q 的方程. (3)设直线 ax-y+1=0 与圆 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直 线 l2 垂直平分弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. [解析] (1)直线 l 斜率存在时,设直线 l 的斜率为 k,则方程为 y-0=k(x-2),即 kx-y -2k=0. |3k+2-2k| 3 又圆 C 的圆心为(3,-2),半径 r=3,由 =1,解得 k=- . 2 4 k +1 3 所以直线方程为 y=- (x-2),即 3x+4y-6=0. 4 当 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=2,经验证 x=2 也满足条件. 即直线 l 的方程为 3x+4y-6=0 或 x=2. (2)由于|CP|= 5,而弦心距 d= 所以 d=|CP|= 5. 所以 P 恰为 MN 的中点. |MN| 2 r2-? ? = 5, 2

故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为(x-2)2+y2=4. (3)把直线 y=ax+1 代入圆 C 的方程,消去 y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0. 由于直线 ax-y+1=0 交圆 C 于 A,B 两点, 故 Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0, 即-2a>0,解得 a<0. 则实数 a 的取值范围是(-∞,0). 设符合条件的实数 a 存在, 由于 l2 垂直平分弦 AB,故圆心 C(3,-2)必在 l2 上.所以 l2 的斜率 kPC=-2,而 kAB= 1 a=- , kPC 1 1 所以 a= .由于 ?(-∞,0), 2 2 故不存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直线 l2 垂直平分弦 AB.


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