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2013届乐安二中高三数学数列测试题2012[1].10.04


2013 届乐安二中高三数学数列测试题 2012.10.04
一、选择题(50 分)
1.在等差数列 {an } 中, a2 ? 1 , a 4 ? 5 则 {an } 的前 5 项和 S5 = A.7 B.15 C.20 D.25 )

2.已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10

? (

?

( A) 7

(B) 5

(C ) ??

( D) ??


3.公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则 log2 a16 =(

( A) 4

(B) 5

(C ) ?
?

( D) ?
1 ? ? 的前 100 项和为() ? an an ?1 ?

4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列 ?

(A)

100 101

(B)

99 101

(C)

99 100

(D)

101 100

5.设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列﹛an﹜的前 n 项和,则下列命题错误的是() A.若 d<0,则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项,则 d<0 C.若数列﹛Sn﹜是递增数列,则对任意 n ? N ,均有 Sn ? 0
*

D. 若对任意 n ? N ,均有 Sn ? 0 ,则数列﹛Sn﹜是递增数列
*

6.观察下列各式:a+b=1.a +b =3,a +b =4 ,a +b =7,a +b =11,?,则 a +b =( ) A.28 B.76 C.123 D.199 7.设 a n ? A.25 8. 设 函 数

2

2

3

3

4

4

5

5

10

10

1 n? sin ,S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , S1 , S 2 ,?, S0 中, 在 正数的个数是 ( 1 n 25
B.50 C.75 0 D.100



f ( x) ? ( x ? 3)3 ? x ?1 , {an } 是 公 差 不 为


的 等 差 数

列, f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ? ? ? ? a 7 ( =
--1--

A.0 9. 设 函 数

B.7

C.14

D.21

f ( x) ? 2 x ? cos x , {an } 是 公 差 为


? 的 等 差 数 列 , 8

f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )]2 ? a1a5 ? (
A、 0 B、

1 2 ? 16

2 C、 ?

1 8

D、

13 2 ? 16

10.定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等比数列 {an } , { f (an )} 仍是等比数列,则称 f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的如下 函数:① f ( x) ? x2 ; ② f ( x) ? 2 x ; ③ f ( x) ? | x | ; ④ f ( x) ? ln | x | .则其中

是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 A.① ② B.③ ④ C.① ③ D.② ④

二、填空题(25 分)
11.设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn。若 S2=3a2+2,S4=3a4+2,则 q=______________。

12.数列{an}的通项公式

,前 n 项和为 Sn,则 S2012=___________.

2 13.已知等比数列{an}为递增数列,且 a5 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,则数列{an}的通

项公式 an =_____________ 14.数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 {a n } 的前 60 项和为 15.记 [ x ] 为不超过实数 x 的最大整数,例如, [2] ? 2 , [1.5] ? 1 , [?0.3] ? ?1。设 a 为

xn ? [
正整数,数列 {xn } 满足 x1 ? a , xn ?1 ? [

a ] xn

2

](n ? N ? ) ,现有下列命题:

①当 a ? 5 时,数列 {xn } 的前 3 项依次为 5,3,2; ②对数列 {xn } 都存在正整数 k ,当 n ? k 时总有 xn ? xk ; ③当 n ? 1 时, xn ? a ?1 ; ④对某个正整数 k ,若 xk ?1 ? xk ,则 xn ? [ a ] 。 其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的编号)
--2--

三、解答题(75 分)
16.(12 分)设 ?an ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 a5 , a3 , a4 成等差数 列。 (1)求数列 ?an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列。

17.(12 分)在等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84, a9 ? 73 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N * ,将数列 ?an ? 中落入区间 (9m ,92 m ) 内的项的个数记为 bm ,求数列

?bm? 的前 m 项和 Sm .

18. ( 12 分 ) 已 知 {an } 是 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 Sn , {bn } 是 等 比 数 列 , 且 (Ⅱ) a1 ? b1 ? 2, a4 ? b4 ? 27 , S 4 ? b4 ? 10 .(Ⅰ)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; 记 Tn ? an b1 ? an?1b2 ? ? ? a1bn , n ? N ,证明 Tn ? 12 ? ?2an ? 10bn ( n ? N ).
* *

--3--

19.( 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 an ? S2 ? Sn 对一切正整数 n 都成立。 (Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)设 a1 ? 0 ,数列 {lg 最大值。

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时,Tn 最大?并求出 Tn 的 an

20.(13 分)已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ)求等差数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a 2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和.

21. (14 分)已知 a 为正实数,n 为自然数, 抛物线 y ? ? x ?
2

an 与 x 轴正半轴相交于点 A , 2

设 f ( n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

f (n) ? 1 n3 成立的 a 的最小值; ? 3 f (n) ? 1 n ? 1

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

? f (k ) ? f (2k ) 与
k ?1

n

1

27 f (1) ? f (n) ? 的大小,并说明理由。 4 f (0) ? f (1)

--4--

2013 届乐安二中高三数学数列测试题参考答案 2012.10.04
1. 2012 高考真题重庆理 1】 【 在等差数列 {an } 中,a2 ? 1 ,a 4 ? 5 则 {an } 的前 5 项和 S5 = A.7 B.15 C.20 D.25

【答案】B【解析】因为 a2 ? 1 , a 4 ? 5 ,所以 a1 ? a5 ? a2 ? a4 ? 6 ,所以数列的前 5 项和

S5 ?

5(a1 ? a5 ) 5(a 2 ? a 4 ) 5 ? ? ? 6 ? 15 ,选 B. 2 2 2

2.【2012 高考真题新课标理 5】已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则

?

a1 ? a10 ? (
( A) 7



(B) 5

(C ) ??

( D) ??

【答案】D【解析】因为 {an } 为等比数列,所以 a5 a6 ? a4 a7 ? ?8 ,又 a4 ? a7 ? 2 ,所 以 a4 ? 4,a7 ? ?2 或 a4 ? ?2,a7 ? 4 .若 a4 ? 4,a7 ? ?2 ,解得 a1 ? ?8,a10 ? 1 ,

a1 ? a10 ? ?7 ;若 a4 ? ?2,a7 ? 4 ,解得 a10 ? ?8,a1 ? 1 ,仍有 a1 ? a10 ? ?7 ,综
上选 D. 3.【2012 高考真题安徽理 4】公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 , 则 log2 a16 =( )

( A) 4

(B) 5
2

(C ) ?
9

( D) ?

【答案】【解析】a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a16 ? a7 ? q ? 32 ? log2 a16 ? 5 . B 4.【2012 高考真题全国卷理 5】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列

的前 100 项和为 (A)

100 101

(B)

99 101

(C)

99 100

(D)

101 100
--5--

【答案】A【解析】由 a5 ? 5, S5 ? 15 ,得 a1 ? 1, d ? 1 ,所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? n ,所以

1 1 1 1 ? ? ? an an?1 n(n ? 1) n n ? 1





1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 ,选 A. ?? ? ? ? ? ??? ? ? 1? ? a1a2 a100 a101 1 2 2 3 100 101 101 101
5. 2012 高考真题浙江理 7】 Sn 是公差为 d 【 设 (d≠0) 的无穷等差数列﹛an﹜的前 n 项和, 则下列命题错误的是 A.若 d<0,则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项,则 d<0 C.若数列﹛Sn﹜是递增数列,则对任意 n ? N ,均有 Sn ? 0
*

D. 若对任意 n ? N ,均有 Sn ? 0 ,则数列﹛Sn﹜是递增数列
*

【答案】C【解析】选项 C 显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,?.满足数列{S n} 是递增数列,但是 S n>0 不成立.故选 C。 6.观察下列各式:a+b=1.a +b =3,a +b =4 ,a +b =7,a +b =11,?,则 a +b =( ) A.28 B.76 C.123 D.199 【答案】C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为 1,3,4,7,11,, 发现从第 3 项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右边依次为 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,, 故 a ? b ? 123.
10 10
2 2 3 3 4 4 5 5 10 10

【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了 解归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理. 7. 【 2012 高 考 真 题 上 海 理 18 】 设 a n ?

1 n? sin , S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , 在 n 25
C.75 D.100

S1 , S 2 ,?, S1 0 0中,正数的个数是(
A.25 B.50



【答案】D【解析】当 1≤ n ≤24 时, an >0,当 26≤ n ≤49 时, an <0,但其绝对值要 小于 1≤ n ≤24 时相应的值,当 51≤ n ≤74 时, an >0,当 76≤ n ≤99 时, an <0,但
--6--

其绝对值要小于 51≤ n ≤74 时相应的值,∴当 1≤ n ≤100 时,均有 S n >0。 8. 设 函 数

f ( x) ? ( x ? 3)3 ? x ?1 , {an } 是 公 差 不 为
a1 ? a2 ? ? ? ? ? a 7

0 ) D.21

的 等 差 数

列, f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则 A.0 B.7

=



C.14

[答案]D [解析]∵ {an } 是公差不为 0 的等差数列,且 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ∴ [(a1 ? 3) 3 ? a1 ? 1] ? [(a2 ? 3) 3 ? a2 ? 1] ? ? ? [(a7 ? 3) 3 ? a7 ? 1] ? 14 ∴ (a1 ? a2 ? ?a7 ) ? 7 ? 14 ∴ a1 ? a2 ? ?a7 ? 21 [点评]本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列 性质的应用,解决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点. 9.【2012 高考真题四川理 12】设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x , {an } 是公差为
2 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )] ? a1a5 ? (

? 的等差数列, 8

) D、

A、 0 【答案】D

B、

1 2 ? 16

2 C、 ?

1 8

13 2 ? 16

【解析】 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? (2a1 ? cos a1 ) ? (2a2 ? cos a2 ) ???? ? (2a5 ? cos a5 ) ? 5? , 即 2(a1 ? a2 ???? ? a5 ) ? (cos a1 ? cos a2 ???? ? cos a5 ) ? 5? ,而 {an } 是公差为 数 列 , 代 入

? 的等差 8

2 a1 ? a2 ? ? ? a5 ) ? ( c ?1o s ( ? a

a2 c o s ? a5 ? 即 ? s ? ? ?, ?c o

)

10 a3 ? [ c a3 ?s ) o ( 4 ? (2 cos

?

?

4

? 2cos

?

? cos( a3 ? ) ? cos a3 ? cos( a3 ? ) ? cos( a3 ? )] ? 5? 8 8 4 ? 1) cos a3

2

?

?

?

, ,

8



?
? ?







?10 a3 ? 5? ,? a3 ? ? 13? ,故选 D. 16

?
2

.?[ f (a3 )] ? a1a5 ? (2 ?

? 0) 2 ? ( ? )( ? ) 2 2 4 2 4

? ?

?

--7--

10.【2012 高考真题湖北理 7】定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定 的等比数列 {an } , { f (an )} 仍是等比数列,则称 f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义 在 (??,0) ? (0, ??) 上的如下函数: ① f ( x) ? x 2 ; ② f ( x) ? 2 x ; ③ f ( x) ? | x | ; ④ f ( x) ? ln | x | .

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 B.① ② 【答案】C B.③ ④ C.① ③ D.② ④

2 2 2 2 【解析】等比数列性质, an an ? 2 ? an ?1 ,① f ?an ? f ?an ? 2 ? ? an an ? 2 ? an ?1

? ?

2

? f 2 ?an ?1 ? ;

② f ?an ? f ?an ? 2 ? ? 2 n 2
a

a n? 2

? 2an ? an?2 ? 22an?1 ? f 2 ?an ?1 ? ;③
an ?1 ? f 2 ?an ?1 ? ;④
2
2

f ?an ? f ?an ? 2 ? ?

an an ? 2 ?

f ?an ? f ?an ? 2 ? ? ln an ln an ? 2 ? ?ln an ?1 ? ? f 2 ?an ?1 ? .选 C
11.【2012 高考真题浙江理 13】设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn。若 S2=3a2+2,S4=3a4+2,则 q=______________。 【答案】
3 2

【解析】将 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 两个式子全部转化成用 a1 ,q 表示的式子. 即 ?
? a1 ? a1q ? 3a1q ? 2 , 两 式 作 差 得 : a1q 2 ? a1q3 ? 3a1q(q 2 ? 1) , 即 : a1 ? a1q ? a1q 2 ? a1q 3 ? 3a1q 3 ? 2 ?

2q 2 ? q ? 3 ? 0 ,解之得: q ?

3 或 q ? ?1 (舍去). 2

12.【2012 高考真题福建理 14】数列{an}的通项公式

,前 n 项和为 Sn,则

S2012=___________. 【答案】3018. 【命题立意】本题考查了数列通项公式的概念和前 n 项和的求法,以及余弦函数的周期 性,同时考查了考生观察分析发现数列规律的能力,难度较大. 【解析】因为函数 y ? cos

?
2

x 的周期是 4,所以数列 {an } 的每相邻四项之和是一个常数

--8--

6,所以 S 2012 ?

2012 ? 6 ? 3018 . 4

13. 【 2012 高 考 真 题 辽 宁 理 14 】 已 知 等 比 数 列 { an } 为 递 增 数 列 , 且
2 a5 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,则数列{an}的通项公式 an =______________。

【答案】 2

n

2 【解析】? a5 ? a10 ,?(a1q4 )2 ? a1q9 ,?a1 ? q,?an ? qn ,

? 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,? 2an (1 ? q 2 ) ? 5an q,? 2(1 ? q 2 ) ? 5q, 解得q ? 2或q ?

1 (舍去), an ? 2 n ? 2

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题。 14. 2012 高考真题新课标理 16】 【 数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 , {a n } 的前 60 则 项和为 【答案】1830 【解析】由 an?1 ? (?1) n an ? 2n ? 1得,

an?2 ? (?1) n an?1 ? 2n ? 1 ? (?1) n [(?1) n?1 an ? 2n ? 1] ? 2n ? 1 ? ?an ? (?1) n (2n ? 1) ? 2n ? 1,
n n 即 an?2 ? an ? (?1)(2n ? 1 ? 2n ? 1 ,也有 an?3 ? an?1 ? ?(?1)(2n ? 1 ? 2n ? 3 ,两 ) )

式相加得 an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? ?2(?1) n ? 4n ? 4 ,设 k 为整数, 则 a4k ?1 ? a4k ?2 ? a4k ?3 ? a4k ?4 ? ?2(?1) 4k ?1 ? 4(4k ? 1) ? 4 ? 16k ?` , 10 于是 S 60 ?

K ?0

? (a4k ?1 ? a4k ?2 ? a4k ?3 ? a4k ?4 ) ? ? (16k ?`10) ? 1830
K ?0

14

14

15. 【2012 高考真题四川理 16】 [ x ] 为不超过实数 x 的最大整数, 记 例如, ? 2 , [2] [1.5] ? 1 ,

xn ? [
[?0.3] ? ?1。设 a 为正整数,数列 {xn } 满足 x1 ? a , xn ?1 ? [
下列命题: ①当 a ? 5 时,数列 {xn } 的前 3 项依次为 5,3,2;
--9--

a ] xn

2

](n ? N ? ) ,现有

②对数列 {xn } 都存在正整数 k ,当 n ? k 时总有 xn ? xk ; ③当 n ? 1 时, xn ? a ?1 ; ④对某个正整数 k ,若 xk ?1 ? xk ,则 xn ? [ a ] 。 其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的编号) 【答案】①③④ 【命题立意】本题属于新概念问题主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力,难度 较大. 【解析】当 a ? 5 时, x1 ? a ? 5 x2 ? 验证可得③④正确,②错误.

5?

5 5 3?[ ] 5 ? 3, x ?[ 3 ] ? 2 ,故①正确;同样 3 2 2

16. 【答案】

- - 10 - -

17.【答案】

18.【答案】

- - 11 - -

19.【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前 n 项和公式,以及对数运算等 基础知识,考查逻辑推理能力,基本运算能力,以及方程与函数、化归与转化等数学思 想

- - 12 - -

20.【答案】 (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a1 ? 3d ? ?3, ?a ? 2, ?a ? ?4, 由题意得 ? 解得 ? 1 或? 1 ?d ? ?3, ?d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8. 所以由等差数列通项公式可得 an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 .

故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, 故 | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3. 记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n .

当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时, Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7)

?5?

(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2
- - 13 - -

n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 ? 2 n ? 2 n ? 10, n ? 1. ?
21.【答案】本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识,考查基本运算能力、 逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识,考查函数与方程、数形结合、 分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想

- - 14 - -

- - 15 - -

数列训练题
1. 已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ? (1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 {

1 2 n ? kn , k ? N * ,且 Sn 的最大值为 8. 2

9 ? 2a n } 的前 n 项和 Tn。 2n

2 2. 数列 {xn } 满足: x1 ? 0, xn?1 ? ? xn ? xn ? c(n ? N * )

(I)证明:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 ; (II)求 c 的取值范围,使数列 {xn } 是单调递增数列。

- - 16 - -

3.已知数列{an}的各项均为正数,记 A(n)=a1+a2+??+an,B(n)=a2+a3+??+an+1,C(n) =a3+a4+??+an+2,n=1,2,?? (1) 若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N﹡,三个数 A(n) B(n) C(n)组成等差数列, , , 求数列{ an }的通项公式. (2) 证明:数列{ an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ,三 个数 A(n) B(n) C(n)组成公比为 q 的等比数列. , ,
?

4. 已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

,n? N *,

(1)设 bn ?1

?? b ? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? an ? ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn?1 ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

- - 17 - -

5. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1,n∈N ,且 a1,a2+5,a3 成等


差数列. (1) 求 a1 的值; (2) 求数列{an}的通项公式. (3) 证明:对一切正整数 n,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

6. 函数 f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1 是过两点 P(4,5) n(xn,f(xn))的直线 、Q PQn 与 x 轴交点的横坐标. (Ⅰ)证明:2 ? xn<xn+1<3; (Ⅱ)求数列{xn}的通项公式.

- - 18 - -

7.对于数集 X ? {?1 x1,x2, ,xn } ,其中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 ,定义向量 , ? 集 Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X } ,若对任意 a1 ? Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 , 则称 X 具有性质 P .例如 {?1,1,2} 具有性质 P . (1)若 x ? 2 ,且 {?1,1,2, x} 具有性质 P ,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P ,求证: 1 ? X ,且当 xn ? 1 时, x1 ? 1 ; (3)若 X 具有性质 P ,且 x1 ? 1 、 x2 ? q ( q 为常数) ,求有穷数列 x1,x2, ,xn 的 ? 通项公式.

- - 19 - -

30.【2012 高考真题江西理 17】 (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ? (1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 { 【答案】

1 2 n ? kn , k ? N * ,且 Sn 的最大值为 8. 2

9 ? 2a n } 的前 n 项和 Tn。 2n

【点评】本题考查数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用. 利用 an ? ?

? S1 (n ? 1), 来实现 an 与 Sn 的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注 Sn ? Sn ?1 ?

意 an ? Sn ? Sn?1 不能用来求解首项 a1 ,首项 a1 一般通过 a1 ? S1 来求解.运用错位相减法 求数列的前 n 项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、 另一项是等比数列. 31.【2012 高考真题安徽理 21】 (本小题满分 13 分)
- - 20 - -

2 数列 {xn } 满足: x1 ? 0, xn?1 ? ? xn ? xn ? c(n ? N * )

(I)证明:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 ; (II)求 c 的取值范围,使数列 {xn } 是单调递增数列。 【答案】本题考查数列的概念及其性质,不等式及其性质,充要条件的意义,数列 与函数的关系等基础知识,考查综合运用知识分析问题的能力,推理论证和运算求解能 力。 【解析】 (I)必要条件
2 当 c ? 0 时, xn?1 ? ? xn ? xn ? c ? xn ? 数列 {xn } 是单调递减数列。

充分条件
2 2 数列 {xn } 是单调递减数列 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x1 ? c ? c ? x1 ? 0 ,

得:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 。 (II)由(I)得: c ? 0 , ①当 c ? 0 时, an ? a1 ? 0 ,不合题意; ②当 c ? 0 时, x2 ? c ? x1 , x3 ? ?c2 ? 2c ? x2 ? c ? 0 ? c ? 1,
2 2 xn?1 ? xn ? c ? xn ? 0 ? xn ? c ? 1 ? 0 ? x1 ? xn ? c ,
2 2 xn?2 ? xn?1 ? ?( xn?1 ? xn ) ? ( xn?1 ? xn ) ? ?( xn?1 ? xn )( xn?1 ? xn ?1) 。

当c ?

1 1 时, xn ? c ? ? xn ? xn ?1 ? 1 ? 0 ? xn ? 2 ? xn ?1 与 xn?1 ? xn 同号, 4 2

由 x2 ? x1 ? c ? 0 ? xn?2 ? xn ? 0 ? xn?1 ? xn ,
2 lim xn?1 ? lim(? xn ? xn ? c) ? lim xn ? c 。 n?? n?? n??

当c ?

1 1 时,存在 N ,使 xN ? ? xN ? xN ?1 ? 1 ? xN ? 2 ? xN ?1 与 xN ?1 ? xN 异号, 4 2

与数列 {xn } 是单调递减数列矛盾, 得:当 0 ? c ?

1 时,数列 {xn } 是单调递增数列。 4
- - 21 - -

33.【2012 高考真题湖南理 19】 (本小题满分 12 分)

已知数列{an}的各项均为正数,记 A(n)=a1+a2+??+an,B(n)=a2+a3+??+an+1,C(n) =a3+a4+??+an+2,n=1,2,?? (3) 若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N﹡,三个数 A(n) B(n) C(n)组成等差数列, , , 求数列{ an }的通项公式. (4) 证明:数列{ an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ,三 个数 A(n) B(n) C(n)组成公比为 q 的等比数列. , , 【答案】解(1)对任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 是等差数列,所以
? ?

B(n) ? A(n) ? C (n) ? B(n),
即 an?1 ? a1 ? an?2 , 亦即 an?2 ? an?1 ? a2 ? a1 ? 4. 故数列 ?an ? 是首项为1,公差为4的等差数列.于是 an ? 1 ? (n ?1) ? 4 ? 4n ? 3. (Ⅱ) (1)必要性:若数列 ?an ? 是公比为q的等比数列,则对任意 n ? N ,有
?

an?1 ? anq . 由 an ? 0 知, A(n), B(n), C (n) 均大于0,于是
B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 q(a1 ? a2 ? ... ? an ) ? ? ? q, A(n) a1 ? a2 ? ... ? an a1 ? a2 ? ... ? an C (n) a3 ? a4 ? ... ? an?2 q(a2 ? a3 ? ... ? an?1) ? ? ? q, B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 a2 ? a3 ? ... ? an?1


B (n) C (n) = = q ,所以三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列. A( n ) B ( n )
?

(2)充分性:若对于任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列, 则

B( n) ?

q A n , ? ( n) , B n ( ) C q ( )

于是 C(n) ? B(n) ? q ? B(n) ? A(n)?, 得 an?2 ? a2 ? q(an?1 ? a1 ), 即

an?2 ? qan? 1? a ? a . 2

1

由 n ? 1 有 B(1) ? qA(1), 即 a2 ? qa1 ,从而 an?2 ? qan?1 ? 0 .
- - 22 - -

因为 an ? 0 ,所以

an ? 2 a2 ? ? q ,故数列 ?an ? 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列, an ?1 a1

综上所述,数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n∈N﹡,三个数

A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列.
【解析】 【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数 列定义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易 得证. 21【2012 高考江苏 20】 (16 分)已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足:

a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

,n? N *,

(1)设 bn ?1 ? 1 ? (2)设 bn?1 ?

?? b ? bn ? , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? an ? ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an bn an ? bn ,∴ an ?1 ? = an an 2 ? bn 2
bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2

【答案】解: (1)∵ bn ?1 ? 1 ?



?b ? b ∴ n ?1 ? 1 ? ? n ? 。 an ?1 ? an ?
2 2 2 ? 2 ? ?b ? ?b ? ?b ? ?b ? ∴ ? n ?1 ? ? ? n ? ? ? 1 ? ? n ? ? ? ? n ? ? 1? n ? N *? ? ? ? an?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? ? 2

2



?? b ? 2 ? ? ? ∴数列 ?? n ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 ?? an ? ? ? ?
(2)∵ an > 0,bn > 0 ,∴

? an ? bn ?
2
- - 23 - -

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? 。
2

∴ 1 < an?1 ?

an ? bn an 2 ? bn 2

(﹡) ? 2。

设等比数列 {an } 的公比为 q , an > 0 知 q > 0 , 由 下面用反证法证明 q =1 若 q > 1, 则 a1 =

a2 2 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn > 2 ,与(﹡)矛盾。 q a1 a2 1 > a2 > 1 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn <1 ,与(﹡) q a1

若 0 < q < 1, 则 a1 = 矛盾。

∴综上所述, q =1 。∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 。 又∵ bn?1 ? 2 ?

bn 2 2 的等比数列。 = ? bn ? n ? N *? ,∴ {bn } 是公比是 an a1 a1 2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 。 a1
即 a1 ?

若 a1 ? 2 ,则

又由 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1



∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾。∴ a1 = 2 。

∴ bn =

2?

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2。

∴ a1 =b2 = 2 。 【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。 【解析】 (1)根据题设 a n ?1 ?
2 2

a n ? bn a n ? bn
2 2

和 bn ?1

b ?b ? b ? 1 ? n ,求出 n ?1 ? 1 ? ? n ? ,从 an ?1 an ? an ?

2

?b ? ?b ? 而证明 ? n ?1 ? ? ? n ? ? 1 而得证。 ? an ?1 ? ? an ?
- - 24 - -

(2)根据基本不等式得到 1 < an?1 ?

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 ,用反证法证明等比数列

{an } 的公比 q =1 。
从而得到 an ? a1 ? n ? N *? 的结论,再由 bn?1 ? 2 ? 比数列。最后用反证法求出 a1 =b2 = 2 。 23.【2012 高考真题广东理 19】 (本小题满分 14 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1,n∈N ,且 a1,a2+5,a3 成等差数


bn 2 2 的等 = ? bn 知 {bn } 是公比是 an a1 a1

列. (4) 求 a1 的值; (5) 求数列{an}的通项公式. (6) 证明:对一切正整数 n,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式,不等式证明问题,考查了学生的运算 求解能力与推理论证能力,难度一般.

- - 25 - -

- - 26 - -

35.【2012 高考真题全国卷理 22】 (本小题满分 12 分) (注意:在试卷上作答无效) ........ 函数 f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1 是过两点 P(4,5) n(xn,f(xn))的直线 、Q PQn 与 x 轴交点的横坐标. (Ⅰ)证明:2 ? xn<xn+1<3; (Ⅱ)求数列{xn}的通项公式. 【答案】

- - 27 - -

28.【2012 高考真题上海理 23】 (4+6+8=18 分)对于数集 X ? {?1 x1,x2, ,xn } ,其 , ? 中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 ,定义向量集 Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X } ,若对任 意 a1 ? Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X 具有性质 P .例如 {?1,1,2} 具有性质

P.
(1)若 x ? 2 ,且 {?1,1,2, x} 具有性质 P ,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P ,求证: 1 ? X ,且当 xn ? 1 时, x1 ? 1 ; (3)若 X 具有性质 P ,且 x1 ? 1 、 x2 ? q ( q 为常数) ,求有穷数列 x1,x2, ,xn 的 ? 通项公式. 【答案】
- - 28 - -

- - 29 - -

- - 30 - -

【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识,本题属 于信息给予题,通过定义“ X 具有性质 P ”这一概念,考查考生分析探究及推理论证的 能力.综合考查集合的基本运算,集合问题一直是近几年的命题重点内容,应引起足够 的重视.

2012 高考真题分类汇编:数列
一、选择题
1. 2012 高考真题重庆理 1】 【 在等差数列 {an } 中,a2 ? 1 ,a 4 ? 5 则 {an } 的前 5 项和 S5 = A.7 【答案】B 【解析】因为 a2 ? 1 , a 4 ? 5 ,所以 a1 ? a5 ? a2 ? a4 ? 6 ,所以数列的前 5 项和 B.15 C.20 D.25

S5 ?

5(a1 ? a5 ) 5(a 2 ? a 4 ) 5 ? ? ? 6 ? 15 ,选 B. 2 2 2

2. 2012 高考真题浙江理 7】 Sn 是公差为 d 【 设 (d≠0) 的无穷等差数列﹛an﹜的前 n 项和, 则下列命题错误的是 A.若 d<0,则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项,则 d<0 C.若数列﹛Sn﹜是递增数列,则对任意 n ? N ,均有 Sn ? 0
*

D. 若对任意 n ? N ,均有 Sn ? 0 ,则数列﹛Sn﹜是递增数列
*

【答案】C 【解析】选项 C 显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,?.满足数列{S n}是递增数
- - 31 - -

列,但是 S n>0 不成立.故选 C。 3.【2012 高考真题新课标理 5】已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则

?

a1 ? a10 ? (
( A) 7
【答案】D



(B) 5

(C ) ??

( D) ??

【 解 析 】 因 为 {an } 为 等 比 数 列 , 所 以 a5 a6 ? a4 a7 ? ?8 , 又 a4 ? a7 ? 2 , 所 以

a4 ? 4,a7 ? ?2 或 a4 ? ?2,a7 ? 4 . 若 a4 ? 4,a7 ? ?2 , 解得 a1 ? ?8,a10 ? 1 ,
a1 ? a10 ? ?7 ;若 a4 ? ?2,a7 ? 4 ,解得 a10 ? ?8,a1 ? 1 ,仍有 a1 ? a10 ? ?7 ,综
上选 D. 4. 【 2012 高 考 真 题 上 海 理 18 】 设 a n ?

1 n? sin , S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , 在 n 25
C.75 D.100

S1 , S 2 ,?, S1 0 0中,正数的个数是(
A.25 【答案】D B.50



【解析】当 1≤ n ≤24 时, an >0,当 26≤ n ≤49 时, an <0,但其绝对值要小于 1≤ n ≤24 时相应的值,当 51≤ n ≤74 时, an >0,当 76≤ n ≤99 时, an <0,但其绝对值 要小于 51≤ n ≤74 时相应的值,∴当 1≤ n ≤100 时,均有 S n >0。 5.【2012 高考真题辽宁理 6】在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11= (A)58 【答案】B 【解析】在等差数列中,? a1 ? a11 ? a4 ? a8 ? 16,? s11 ? (B)88 (C)143 (D)176

11? (a1 ? a11 ) ? 88 ,答案为 B 2

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前 n 项和公式,同时考查运算求 解能力,属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。

- - 32 - -

6.【2012 高考真题四川理 12】设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x , {an } 是公差为
2 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )] ? a1a5 ? (

? 的等差数列, 8

) D、

A、 0

B、

1 2 ? 16

2 C、 ?

1 8

13 2 ? 16

【答案】D 【解析】 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? (2a1 ? cos a1 ) ? (2a2 ? cos a2 ) ???? ? (2a5 ? cos a5 ) ? 5? , 即

2(a1 ? a2 ???? ? a5 ) ? (cos a1 ? cos a2 ???? ? cos a5 ) ? 5? ,而 {an } 是公差为
列 , 代 入

? 的等差数 8
s,a5 即 ? ? ? ? ? c o

2 a1(?

a2 ?

?

? a5 )?

?(

ca1 ? o

s

a2 ? c ? o

10 a3 ? [

c a3o s) ( ? 4

?

? cos( a3 ? ) ? cos a3 ? cos( a3 ? ) ? cos( a3 ? )] ? 5? 8 8 4 ? (2 cos

?

?

?

, 的 倍 数 ,

?

4

? 2cos

?

8

? 1) cos a3


2



?
? ?

?10 a3 ? 5? ,? a3 ? 13? ? ,故选 D. 16

?
2

.?[ f (a3 )] ? a1a5 ? (2 ?

? 0) 2 ? ( ? )( ? ) 2 2 4 2 4

? ?

?

7.【2012 高考真题湖北理 7】定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定 的等比数列 {an } , { f (an )} 仍是等比数列,则称 f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义 在 (??,0) ? (0, ??) 上的如下函数: ①f ( x) ? x2 ; ②f ( x) ? 2 x ; ③f ( x) ? | x | ; ④f ( x) ? ln | x | .

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 C.① ② 【答案】C B.③ ④ C.① ③ D.② ④

2 2 2 2 【解析】等比数列性质, an an ? 2 ? an ?1 ,①f ?an ? f ?an ? 2 ? ? an an ? 2 ? an ?1

? ?

2

? f 2 ?an ?1 ? ;

②f ?an ? f ?an ? 2 ? ? 2 n 2
a

a n? 2

? 2an ? an?2 ? 22an?1 ? f 2 ?an ?1 ? ;
- - 33 - -

③f ?an ? f ?an ? 2 ? ?

an an ? 2 ?

an ?1 ? f 2 ?an ?1 ? ;
2

④f ?an ? f ?an ? 2 ? ? ln an ln an ? 2 ? ln an ?1

?

?

2

? f 2 ?an ?1 ? .选 C

8.【2012 高考真题福建理 2】等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B. 【解析】由等差中项的性质知 a3 ?

a1 ? a5 ? 5 ,又? a4 ? 7,? d ? a4 ? a3 ? 2 .故选 B. 2

9.【2012 高考真题安徽理 4】公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 , 则 log2 a16 =( )

( A) 4
【答案】B

(B) 5

(C ) ?

( D) ?

2 【解析】 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a16 ? a7 ? q9 ? 32 ? log2 a16 ? 5 .

10.【2012 高考真题全国卷理 5】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数 列?

?

1 ? ? 的前 100 项和为 ? an an ?1 ?
100 101
(B)

(A)

99 101

(C)

99 100

(D)

101 100

【答案】A 【 解 析 】 由 a5 ? 5, S5 ? 15 , 得 a1 ? 1, d ? 1 , 所 以 an ? 1 ? (n ? 1) ? n , 所 以

1 1 1 1 ? ? ? an an?1 n(n ? 1) n n ? 1





1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 ?? ? ? ? ? ??? ? ? 1? ? ,选 A. a1a2 a100 a101 1 2 2 3 100 101 101 101
11.(2012 年高考(江西理) 观察下列各式:a+b=1.a +b =3,a +b =4 ,a +b =7,a +b =11,, )
? 2 3 3 4 4 5 5

则 a +b =( A.28

10

10

) B.76 C.123
- - 34 - -

D.199

12 . (2012 年高考(四川文) 设函数 )

f ( x) ? ( x ? 3)3 ? x ?1 , {an } 是公差不为 0 的等差数
) D.21

列, f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ?a7 ? ( A.0 B.7 C.14

二、填空题
11.【2012 高考真题浙江理 13】设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn。若 S2=3a2+2,S4=3a4+2,则 q=______________。 【答案】
3 2

【解析】将 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 两个式子全部转化成用 a1 ,q 表示的式子. 即 ?
? a1 ? a1q ? 3a1q ? 2 , 两 式 作 差 得 : a1q 2 ? a1q3 ? 3a1q(q 2 ? 1) , 即 : a1 ? a1q ? a1q 2 ? a1q 3 ? 3a1q 3 ? 2 ?

3 或 q ? ?1 (舍去). 2 12. 【2012 高考真题四川理 16】 [ x ] 为不超过实数 x 的最大整数, 记 例如, ? 2 , [2] [1.5] ? 1 ,
2q 2 ? q ? 3 ? 0 ,解之得: q ?

xn ? [
[?0.3] ? ?1。设 a 为正整数,数列 {xn } 满足 x1 ? a , xn ?1 ? [
下列命题: ①当 a ? 5 时,数列 {xn } 的前 3 项依次为 5,3,2; ②对数列 {xn } 都存在正整数 k ,当 n ? k 时总有 xn ? xk ; ③当 n ? 1 时, xn ? a ?1 ; ④对某个正整数 k ,若 xk ?1 ? xk ,则 xn ? [ a ] 。 其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的编号) 【答案】①③④

a ] xn

2

](n ? N ? ) ,现有

【命题立意】本题属于新概念问题主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力,难度 较大.

- - 35 - -

【解析】当 a ? 5 时, x1 ? a ? 5 x2 ? 验证可得③④正确,②错误.

5?

5 5 3?[ ] 5 ? 3, x ?[ 3 ] ? 2 ,故①正确;同样 3 2 2

13. 2012 高考真题新课标理 16】 【 数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 , {a n } 的前 60 则 项和为 【答案】1830 【解析】由 an?1 ? (?1) n an ? 2n ? 1得,

an?2 ? (?1) n an?1 ? 2n ? 1 ? (?1) n [(?1) n?1 an ? 2n ? 1] ? 2n ? 1 ? ?an ? (?1) n (2n ? 1) ? 2n ? 1,
n n 即 an?2 ? an ? (?1)(2n ? 1 ? 2n ? 1 ,也有 an?3 ? an?1 ? ?(?1)(2n ? 1 ? 2n ? 3 ,两 ) )

式相加得 an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? ?2(?1) n ? 4n ? 4 ,设 k 为整数, 则 a4k ?1 ? a4k ?2 ? a4k ?3 ? a4k ?4 ? ?2(?1) 4k ?1 ? 4(4k ? 1) ? 4 ? 16k ?` , 10 于是 S 60 ?

K ?0

? (a

14

4 k ?1

? a 4 k ? 2 ? a 4 k ?3 ? a 4 k ? 4 ) ? ? (16k ?` ) ? 1830 10
K ?0

14

14. 【 2012 高 考 真 题 辽 宁 理 14 】 已 知 等 比 数 列 { an } 为 递 增 数 列 , 且
2 a5 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,则数列{an}的通项公式 an =______________。

【答案】 2

n

2 【解析】? a5 ? a10 ,?(a1q4 )2 ? a1q9 ,?a1 ? q,?an ? qn ,

? 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,? 2an (1 ? q 2 ) ? 5an q,? 2(1 ? q 2 ) ? 5q, 解得q ? 2或q ?

1 (舍去), an ? 2 n ? 2

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题。 15. 【2012 高考真题江西理 12】 设数列{an},{bn}都是等差数列, a1 ? b1 ? 7 , 3 ? b3 ? 21, 若 a 则 a5 ? b5 ? __________。 【答案】35
- - 36 - -

【命题立意】本题考查等差数列的概念和运算。 【 解 析 】 设 数 列 {an },{bn } 的 公 差 分 别 为 d, b , 则 由 a3 ? b3 ? 21 , 得

a1 ? b1 ? 2(b ? d ) ? 21 ,即 2(b ? d ) ? 21? 7 ? 14 ,所以 b ? d ? 7 ,
所以 a5 ? b5 ? a1 ? b1 ? 4(b ? d ) ? 7 ? 4 ? 7 ? 35 。 16. 2012 高考真题北京理 10】 【 已知 {an } 等差数列 Sn 为其前 n 项和。 a1 ? 若 则 a2 =_______。 【答案】 a2 ? 1 , Sn ?

1 ,S2 ? a3 , 2

1 2 1 n ? n 4 4
1 , 2

【解析】因为 S2 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a1 ? d ? a1 ? 2d ? d ? a1 ? 所以 a2 ? a1 ? d ? 1, S n ? na1 ? n(n ? 1)d ?

1 2 1 n ? n。 4 4
2

17.【2012 高考真题广东理 11】已知递增的等差数列{an}满足 a1=1, a3 ? a2 ? 4 ,则 an=____. 【答案】 2n ? 1 【解析】由 a3 ? a2 ? 4 得到 1 ? 2d ? (1 ? d )2 ? 4 ,即 d ? 4 ,应为{an}是递增的等差数
2
2

列,所以 d ? 2 ,故 an ? 2n ? 1。 18.【2012 高考真题重庆理 12】 lim
n ??

1 n 2 ? 5n ? n

?

.

【答案】

2 5

【解析】 lim
n ??

1 n 2 ? 5n ? n

? lim
n ??

n 2 ? 5n ? n ( n 2 ? 5n ? n)( n 2 ? 5n ? n)

? lim
n ??

n ? 5n ? n ? lim n ?? 5n
2

1?

5 ?1 1?1 2 n ? ? 5 5 5
- - 37 - -

19.【2012 高考真题上海理 6】有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、 列,体积分别记为 V1,V2, ,Vn, ,则 lim(V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ? ? ?
n ??

1 为公比的等比数 2


【答案】

8 。 7 1 为公比的等比数列, 8

【解析】由题意可知,该列正方体的体积构成以 1 为首项,

1 8 n = 8 (1 ? 1 ) ,∴ lim(V ? V ? ? ? V ) ? 8 。 ∴ V1 + V2 +?+ Vn = 1 2 n n ?? 1 7 7 8n 1? 8 1?
20.【2012 高考真题福建理 14】数列{an}的通项公式 ,前 n 项和为 Sn,则

S2012=___________. 【答案】3018. 【命题立意】本题考查了数列通项公式的概念和前 n 项和的求法,以及余弦函数的周期 性,同时考查了考生观察分析发现数列规律的能力,难度较大. 【解析】因为函数 y ? cos 6,所以 S 2012 ?

?
2

x 的周期是 4,所以数列 {an } 的每相邻四项之和是一个常数

2012 ? 6 ? 3018 . 4

三、解答题
21【2012 高考江苏 20】 (16 分)已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足:

a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

,n? N *,

(1)设 bn ?1

?? b ? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? an ? ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn?1 ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

- - 38 - -

【答案】解: (1)∵ bn ?1 ? 1 ?

bn an ? bn ,∴ an ?1 ? = an an 2 ? bn 2

bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2





?b ? bn ?1 ? 1? ? n ? 。 an ?1 ? an ?
2

2

2 2 2 ? 2 ? ? bn ?1 ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? bn ? ∴ ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? N *? ? ? an?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? ?



?? b ? 2 ? ? ? ∴数列 ?? n ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 ?? an ? ? ? ?
(2)∵ an > 0,bn > 0 ,∴ ∴ 1 < an?1 ?

? an ? bn ?
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? 。
2

an ? bn an 2 ? bn 2

(﹡) ? 2。

设等比数列 {an } 的公比为 q , an > 0 知 q > 0 , 由 下面用反证法证明 q =1 若 q > 1, 则 a1 =

a2 2 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn > 2 ,与(﹡)矛盾。 q a1 a2 1 > a2 > 1 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn <1 ,与(﹡) q a1

若 0 < q < 1, 则 a1 = 矛盾。

∴综上所述, q =1 。∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 。 又∵ bn?1 ? 2 ?

bn 2 2 的等比数列。 = ? bn ? n ? N *? ,∴ {bn } 是公比是 an a1 a1 2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 。 a1

若 a1 ? 2 ,则

- - 39 - -

又由 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

即 a1 ?

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1



∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾。∴ a1 = 2 。

∴ bn =

2?

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2。

∴ a1 =b2 = 2 。 【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。 【解析】 (1)根据题设 a n ?1 ?
2 2

a n ? bn a n ? bn
2 2

和 bn ?1

b ?b ? b ? 1 ? n ,求出 n ?1 ? 1 ? ? n ? ,从 an ?1 an ? an ?

2

?b ? ?b ? 而证明 ? n ?1 ? ? ? n ? ? 1 而得证。 ? an ?1 ? ? an ?
(2)根据基本不等式得到 1 < an?1 ?

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 ,用反证法证明等比数列

{an } 的公比 q =1 。
从而得到 an ? a1 ? n ? N *? 的结论,再由 bn?1 ? 2 ? 比数列。最后用反证法求出 a1 =b2 = 2 。 22.【2012 高考真题湖北理 18】 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ )求等差数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )若 a 2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和. 【答案】 (Ⅰ )设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a1 ? 3d ? ?3, ?a ? 2, ?a ? ?4, 由题意得 ? 解得 ? 1 或? 1 ?d ? ?3, ?d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8. 所以由等差数列通项公式可得 an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 .
- - 40 - -

bn 2 2 的等 = ? bn 知 {bn } 是公比是 an a1 a1

故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (Ⅱ )当 an ? ?3n ? 5 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, 故 | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3. 记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n .

当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时, Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7)

(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2 n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 ? 2 n ? 2 n ? 10, n ? 1. ? 23.【2012 高考真题广东理 19】 (本小题满分 14 分) ?5?
设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1,n∈N ,且 a1,a2+5,a3 成等差数


列. (7) 求 a1 的值; (8) 求数列{an}的通项公式. (9) 证明:对一切正整数 n,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式,不等式证明问题,考查了学生的运算 求解能力与推理论证能力,难度一般.

- - 41 - -

- - 42 - -

24.【2012 高考真题陕西理 17】 (本小题满分 12 分) 设 ?an ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 a5 , a3 , a4 成等差数列。 (1)求数列 ?an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N ? , Sk ? 2 , 【答案】

Sk , Sk ?1 成等差数列。

25.【2012 高考真题四川理 20】(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且

a2 an ? S2 ? Sn 对一切正整数 n 都成立。
(Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)设 a1 ? 0 ,数列 {lg 最大值。 【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前 n 项和公式,以及对数运算等基 础知识,考查逻辑推理能力,基本运算能力,以及方程与函数、化归与转化等数学思想

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时,Tn 最大?并求出 Tn 的 an

- - 43 - -

26.【2012 高考真题四川理 22】(本小题满分 14 分) 已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x ?
2

an 与 x 轴正半轴相交于点 A ,设 2

f (n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。
(Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

f (n) ? 1 n3 ? 3 成立的 a 的最小值; f (n) ? 1 n ? 1

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

? f (k ) ? f (2k ) 与
k ?1

n

1

27 f (1) ? f (n) ? 的大小,并说明理由。 4 f (0) ? f (1)

【答案】本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识,考查基本运算能力、逻 辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识,考查函数与方程、数形结合、分 类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想

- - 44 - -

- - 45 - -

27.【2012 高考真题广东理 19】 (本小题满分 14 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1,n∈N ,且 a1,a2+5,a3 成等差数


列. (10) 求 a1 的值; (11) 求数列{an}的通项公式. (12) 证明:对一切正整数 n,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式,不等式证明问题,考查了学生的运算 求解能力与推理论证能力,难度一般.

- - 46 - -

- - 47 - -

28.【2012 高考真题上海理 23】 (4+6+8=18 分)对于数集 X ? {?1 x1,x2, ,xn } ,其 , ? 中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 ,定义向量集 Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X } ,若对任 意 a1 ? Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X 具有性质 P .例如 {?1,1,2} 具有性质

P.
(1)若 x ? 2 ,且 {?1,1,2, x} 具有性质 P ,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P ,求证: 1 ? X ,且当 xn ? 1 时, x1 ? 1 ; (3)若 X 具有性质 P ,且 x1 ? 1 、 x2 ? q ( q 为常数) ,求有穷数列 x1,x2, ,xn 的 ? 通项公式. 【答案】

- - 48 - -

- - 49 - -

【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识,本题属 于信息给予题,通过定义“ X 具有性质 P ”这一概念,考查考生分析探究及推理论证的 能力.综合考查集合的基本运算,集合问题一直是近几年的命题重点内容,应引起足够 的重视. 29.【2012 高考真题重庆理 21】 (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分.) 设数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? a2 Sn ? a1 ,其中 a2 ? 0 . (I)求证: an 是首项为 1 的等比数列; (II)若 a2 ? ?1 ,求证: S n ? 【答案】
- - 50 - -

n (a1 ? a2 ) ,并给出等号成立的充要条件. 2

- - 51 - -

30.【2012 高考真题江西理 17】 (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ?

1 2 n ? kn , k ? N * ,且 Sn 的最大值为 8. 2
- - 52 - -

(1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 { 【答案】

9 ? 2a n } 的前 n 项和 Tn。 2n

【点评】本题考查数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用. 利用 an ? ?

? S1 (n ? 1), 来实现 an 与 Sn 的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注 Sn ? Sn ?1 ?

意 an ? Sn ? Sn?1 不能用来求解首项 a1 ,首项 a1 一般通过 a1 ? S1 来求解.运用错位相减法 求数列的前 n 项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、 另一项是等比数列. 31.【2012 高考真题安徽理 21】 (本小题满分 13 分) 数列 {xn } 满足: x1 ? 0, xn?1 ? ? xn ? xn ? c(n ? N )
2 *

(I)证明:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 ; (II)求 c 的取值范围,使数列 {xn } 是单调递增数列。 【答案】本题考查数列的概念及其性质,不等式及其性质,充要条件的意义,数列 与函数的关系等基础知识,考查综合运用知识分析问题的能力,推理论证和运算求解能 力。 【解析】 (I)必要条件 当 c ? 0 时, xn?1 ? ? xn ? xn ? c ? xn ? 数列 {xn } 是单调递减数列。
2

- - 53 - -

充分条件
2 2 数列 {xn } 是单调递减数列 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x1 ? c ? c ? x1 ? 0 ,

得:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 。 (II)由(I)得: c ? 0 , ①当 c ? 0 时, an ? a1 ? 0 ,不合题意; ②当 c ? 0 时, x2 ? c ? x1 , x3 ? ?c2 ? 2c ? x2 ? c ? 0 ? c ? 1,
2 2 xn?1 ? xn ? c ? xn ? 0 ? xn ? c ? 1 ? 0 ? x1 ? xn ? c ,
2 2 xn?2 ? xn?1 ? ?( xn?1 ? xn ) ? ( xn?1 ? xn ) ? ?( xn?1 ? xn )( xn?1 ? xn ?1) 。

当c ?

1 1 时, xn ? c ? ? xn ? xn ?1 ? 1 ? 0 ? xn ? 2 ? xn ?1 与 xn?1 ? xn 同号, 4 2

由 x2 ? x1 ? c ? 0 ? xn?2 ? xn ? 0 ? xn?1 ? xn ,
2 lim xn?1 ? lim(? xn ? xn ? c) ? lim xn ? c 。 n?? n?? n??

当c ?

1 1 时,存在 N ,使 xN ? ? xN ? xN ?1 ? 1 ? xN ? 2 ? xN ?1 与 xN ?1 ? xN 异号, 4 2

与数列 {xn } 是单调递减数列矛盾, 得:当 0 ? c ?

1 时,数列 {xn } 是单调递增数列。 4

32.【2012 高考真题天津理 18】 (本小题满分 13 分) 已 知 {an } 是 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 Sn , {bn } 是 等 比 数 列 , 且

a1 ? b1 ? 2, a4 ? b4 ? 27 , S 4 ? b4 ? 10 .
(Ⅰ)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; ( Ⅱ ) 记 Tn ? an b1 ? an?1b2 ? ? ? a1bn , n ? N , 证 明 Tn ? 12 ? ?2an ? 10bn
*

( n ? N ).
*

- - 54 - -

【答案】

- - 55 - -

33.【2012 高考真题湖南理 19】 (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的各项均为正数,记 A(n)=a1+a2+??+an,B(n)=a2+a3+??+an+1,C(n) =a3+a4+??+an+2,n=1,2,?? (5) 若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N﹡,三个数 A(n) B(n) C(n)组成等差数列, , , 求数列{ an }的通项公式. (6) 证明:数列{ an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ,三 个数 A(n) B(n) C(n)组成公比为 q 的等比数列. , , 【答案】解(1)对任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 是等差数列,所以
? ?

B(n) ? A(n) ? C (n) ? B(n),
即 an?1 ? a1 ? an?2 , 亦即 an?2 ? an?1 ? a2 ? a1 ? 4. 故数列 ?an ? 是首项为1,公差为4的等差数列.于是 an ? 1 ? (n ?1) ? 4 ? 4n ? 3. (Ⅱ) (1)必要性:若数列 ?an ? 是公比为q的等比数列,则对任意 n ? N ,有
?

an?1 ? anq . 由 an ? 0 知, A(n), B(n), C (n) 均大于0,于是
B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 q(a1 ? a2 ? ... ? an ) ? ? ? q, A(n) a1 ? a2 ? ... ? an a1 ? a2 ? ... ? an C (n) a3 ? a4 ? ... ? an?2 q(a2 ? a3 ? ... ? an?1) ? ? ? q, B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 a2 ? a3 ? ... ? an?1
- - 56 - -



B (n) C (n) = = q ,所以三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列. A( n ) B ( n )
?

(2)充分性:若对于任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列, 则

B( n) ?

q A n , ? ( n) , B n ( ) C q ( )

于是 C(n) ? B(n) ? q ? B(n) ? A(n)?, 得 an?2 ? a2 ? q(an?1 ? a1 ), 即

an?2 ? qan? 1? a ? a . 2

1

由 n ? 1 有 B(1) ? qA(1), 即 a2 ? qa1 ,从而 an?2 ? qan?1 ? 0 . 因为 an ? 0 ,所以

an ? 2 a2 ? ? q ,故数列 ?an ? 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列, an ?1 a1

综上所述,数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n∈N﹡,三个数

A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列.
【解析】 【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数 列定义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易 得证. 34.【2012 高考真题山东理 20】本小题满分 12 分) 在等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84, a9 ? 73 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N * ,将数列 ?an ? 中落入区间 (9 ,9 ) 内的项的个数记为 bm ,求数列
m 2m

?bm? 的前 m 项和 Sm .
【答案】

- - 57 - -

35.【2012 高考真题全国卷理 22】 (本小题满分 12 分) (注意:在试卷上作答无效) ........ 函数 f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1 是过两点 P(4,5) n(xn,f(xn))的直线 、Q PQn 与 x 轴交点的横坐标. (Ⅰ)证明:2 ? xn<xn+1<3; (Ⅱ)求数列{xn}的通项公式. 【答案】

- - 58 - -

- - 59 - -