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云南省楚雄一中、昆明三中、玉溪一中2012届高三数学第二次统一考试试题 文


2012 届第二次统一考试(玉溪一中、楚雄一中、 云南省部分名校高 2012 届第二次统一考试(玉溪一中、楚雄一中、 昆明三中)文科数学 昆明三中)
注意事项: 注意事项: 本次考试的试卷分为试题卷和答题卷,本卷为试题卷, 1、 本次考试的试卷分为试题卷和答题卷,本卷为试题卷,请将答案和解答写在答题卷 指定的位置,在试题卷和其它位置解答无效。 指定的位置,在试题卷和其它

位置解答无效。 分钟。 2、 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 参考公式: 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,? x n 的标准差 锥体体积公式

s=

1 [( x1 ? x) 2 + ( x2 ? x)2 + ? + ( xn ? x) 2 ] n

1 V = Sh 3
为底面面积, 其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积, 球的表面积,体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

V = Sh

S = 4π R 2

4 V = π R3 3

为底面面积, 其中 R 为球的半径 其中 S 为底面面积, h 为高 本试卷分第Ⅰ 选择题)和第Ⅱ 非选择题)两部分. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第 I 卷(60 分) 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题: 项是符合题目要求的.) 项是符合题目要求的 1.设 z = 1 ? i (i 为虚数单位) ,则 z +
2

A. ? 1 ? i

B. ? 1 + i

2 =( z

) D. 1 ? i )

2.已知向量 m, n 的夹角为

π

C. 1 + i

6

,且 | m |=

3 , | n |= 2, 则 | m ? n |= (

A.4 B.3 C.2 D.1 3. 如图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB,其中点 O,A,B 的 坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则 f( A. 1 B. 2 C.0
1 )的值为( f ( 3)

)

D.

3

4. 已知 {a n } 是等差数列, 4 = 15 , 5 = 55 , a S 则过点 P (3, a3 ), Q (4, a4 ) 的直线的斜率为 ( ) A.4 B.

1 4

C.-4

D.-14

5. 为研究变量 x 和 y 的线性相关性,甲、乙二人分别作了 研究,利用线性回归方法得到回归直线方程 l1 和 l 2 ,两 人计算知 x 相同, y 也相同,下列正确的是( A. l1 与 l 2 重合 B. l1 与 l 2 一定平行 )

C. l1 与 l 2 相交于点 ( x , y ) D. 无法判断 l1 和 l 2 是否相交

用心

爱心

专心

1

6. 已知程序框图如图所示,则该程序框图的功能是(

)

1 * n 1 * B 求数列 { } 的前 10 项和 (n ∈ N ) 2n 1 * C 求数列 { } 的前 11 项和 (n ∈ N ) n 1 * D 求数列 { } 的前 11 项和 (n ∈ N ) 2n
A 求数列 { } 的前 10 项和 (n ∈ N )

7. 已知 cos (α-

π 4 7π ) +sinα= 3, 则 sin(α + )的值是 ( 6 5 6
B .



A.-

2 3 5

2 3 5

C. -

4 5

D.

4 5

8. 一个体积为 12 3 的正三棱柱的三视图如图所示, 则这个三棱柱的 侧(左)视图的面积为( ) A. 12 B. 8 C. 8 3 D. 6 3 ) D. ) 9. ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 1,若 AB + AC = 2 AO , 且 | OA |=| AC | ,则向量 BA 在向量 BC 方向上的投影为( A. B. C. 3

10.设 a ∈ R ,若函数 y = e x + ax( x ∈ R ) 的极值点小于零,则( A、 0 < a < 1 11.已知椭圆 B、 a > ?1 C、 a > 1

D、 ?1 < a < 0

x2 + y 2 = 1 的焦点为 F1 , F2 ,在长轴 A1 A2 上任取一点 M ,过 M 作垂直于 4


A1 A2 的直线交椭圆于点 P ,则使得 PF1 ? PF2 < 0 的点 M 的概率为(
A.

2 3

B. .

6 3

C.

2 6 3

D.

1 2

12.定义方程 f ( x ) = f ′( x ) 的实数根 x 0 叫做函数 f ( x ) 的“新驻点” ,如果函数 g ( x ) = x ,

π h( x) = ln( x + 1) ,? ( x) = cos x ( x ∈ ( , ) )的“新驻点”分别为 α , β , γ ,那么 π 2

α , β , γ 的大小关系是(
A. α < β < γ

) C. γ < α < β D. β < α < γ

B. α < γ < β

第Ⅱ卷 (90 分) 填空题: 小题, 把答案填在题中横线上. 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. ( )

用心

爱心

专心

2

13.命题“ ?x ∈ R , + 2ax + a ≤ 0 ”的否定是 x
2

14. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20-80 mg/100ml(不含 80)之间,属于酒后驾 频率 车;血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 组距 80)以上时,属醉酒驾车.据《法制晚 0.02 报》 报道,2010 年 3 月 15 日至 3 月 28 0.015 日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800 人,如图是对这 28800 人酒后驾 0.01 车血液中酒精含量进行检测所得结果 0.005 酒精含量 的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的 0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 mg/100ml 人数约为___________.
图1

15. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表: 性别 男 女 专业 非统计专业 统计专业

a = 13 c =7

b = 10 d = 20
(保留

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,计算得到 K 2 = 三位小数) ,所以判定 别有关系。 (参考公式: )

(填“有”或“没有” )95%的把握认为主修统计专业与性

n(ad ? bc) 2 P( K 2 ≥ k ) 0.050 0.010 K = ; (a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) k 3.841 6.625
2

16. 如右图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角 形”, 它们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且 两端的数均为

1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 12 1 20 1 2 1 3 1 12 1 30 1 4 1 20 1 5

1 ( n≥2 ) ,每个数是它下一行左右相邻两 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 数的和,如 = + , = + , = + ,…, 1 2 2 2 3 6 3 4 12

则 第 10 行 第 3 个 数 ( 从 左 往 右 数 ) 为 _________________.

………………………………………

(本大题共 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: ( ) (本小题满分 17. 本小题满分 12 分) ( 如图某河段的两岸可视为平行, 为了测量该河段的宽度, 在河段的一岸边选取两点 A, B ,

用心

爱心

专心

3

观察对岸的点 C ,测得 ∠CAB = 75 , ∠CBA = 45 ,且 AB = 100 米. (1)求 sin 75 ; (2)求该河段的宽度.

18. (本小题满分 18. 本小题满分 12 分) ( 下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图. (1)若 F 为 PD 的中点,求证: AF ⊥ 面 PCD ; (2)求 A 到面 PEC 的距离; P 4 E
4 主视图 左视图

2 2

A B C 19.( 19.(本题满分 12 分) 调查某初中 1000 名学生的肥胖情况,得下表: 女生( 女生(人) 男生( 男生(人) 偏瘦 100 正常 173 177 肥胖 D
4 俯视图

4

x

y z

已知从这批学生中随机抽取 1 名学生,抽到偏瘦男生的概率为 0.15。 (1)求 x 的值; (2) 若用分层抽样的方法, 从这批学生中随机抽取 50 名, 问应在肥胖学生中抽多少名? (3)已知 y ≥ 193 , z ≥ 193 ,肥胖学生中男生不少于女生的概率。

20.( 20.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = px ?
p ? 2ln x . x

⑴若 p = 2 ,求曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; ⑵若函数 f ( x) 在其定义域内为增函数,求正实数 p 的取值范围;

21.( 21.(本题满分 12 分) 给定椭圆 C :

x2 y2 + = 1(a > b >0 ) , 称圆心在原点 O , 半径为 a 2 + b2 的圆是椭圆 C 的 a 2 b2

用心

爱心

专心

4

“伴随圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F1 ( 2,0) ,其短轴上的一个端点到 F1 的距离为 3 . (1)求椭圆 C 的方程及其“伴随圆”方程; (2)若倾斜角为 450 的直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点,且与椭圆 C 的“伴随圆”相交 于 M、N 两点,求弦 MN 的长; (3)点 P 是椭圆 C 的“伴随圆”上的一个动点,过点 P 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只有一个公共点,求证: l1 ⊥ l 2 。

24.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 ;不等式选讲 设函数 f ( x) = 2 x + 1 ? x ? 4 . (1)解不等式 f ( x ) > 2 ; (2)求函数 y = f ( x) 的最小值.

用心

爱心

专心

5

2012 云南省部分名校高 2012 届第二次统一考试 文科数学试题答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D B A C B C D A D B D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13. ?x ∈ R, x 2 + 2ax + a > 0 14. 4320 15.

4.844 ,有

16.

1 360

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17. 解: (1) sin 75 = sin(30 + 45 ) = sin 30 cos 45 + cos 30 sin 45
1 2 3 2 6+ 2 …4 分 = × + × = 2 2 2 2 4 (2)∵ ∠CAB = 75 , , ∠CBA = 45 ∴ ∠ACB = 180 ? ∠CAB ? ∠CBA = 60 ,

由正弦定理得:

AB BC ∴ BC = AB sin 75 …8 分 = sin ∠ACB sin ∠CAB sin 60 如图过点 B 作 BD 垂直于对岸,垂足为 D ,则 BD 的长就是该河段的宽度。
BC

在 Rt ?BDC 中,∵ ∠BCD = ∠CBA = 45 , sin ∠BCD = BD ,
100 × 6+ 2 2 = 25(6 + 2 3) (米) 4 × 3 2 3 2

BD = BC sin 45 = AB sin 75
sin 60

? sin 45 =

∴该河段的宽度 25(6 + 2 3) 米。 …12 分 3 18. 解: (1)由几何体的三视图可知,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, PA ⊥ 面 ABCD , ∴ PA ∥ EB , PA = 2 EB = 4 .∵ PA = AD, F 为 PD 的中点 , PD ⊥ AF , 又∵ CD ⊥ DA, CD ⊥ PA ∴ CD ⊥ AF ∴ AF ⊥ 面 PCD (2)有已知可得 ……… 6 分

PC = PE = 2 5 PC = 4 3 ……… 6 分 1 1 S ?PCE = i4 3 i2 2 = 4 6 , S ?PEA = i4i4 = 8 2 2 1 1 由 VC ? PEA = VA? PEC ,得 × 8 × 4 = × h × 4 6 ; 3 3 8 4 6 解得, h = = 3 6
x = 0.15 ,∴ x =150(人) ; 1000

……… 12 分

19. (1)由题意可知,

……………4 分

。设应在肥胖学生中抽取 m (2)由题意可知,肥胖学生人数为 y + z = 400 (人)
用心 爱心 专心 6

人,则

50 m = ,∴ m = 20 (人) 400 1000
………………………………8 分

答:应在肥胖学生中抽 20 名。

(3)由题意可知, y + z = 400 ,且 y ≥ 193 , z ≥ 193 ,满足条件的 ( y , z )有(193,207)(194,206) , ,…, (207,193) ,共有 15 组。 设事件 A: “肥胖学生中男生不少于女生” ,即 y ≤ z ,满足条件的( y , z ) 有(193,207)(194,206) , ,…, (200,200) ,共有 8 组,所以

P( A) =

8 。 15 8 。 15
数 ………………12 分
f ( x) = 2 x ? 2 ? 2 ln x x

答:肥胖学生中女生少于男生的概率为 20.⑴ 当
p=2









2 2 ? , 曲 线 f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 的 斜 率 为 x2 x f ′(1) = 2 + 2 ? 2 = 2 . 从 而 曲 线 f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为 y ? 0 = 2( x ? 1) , 即

f (1) = 2 ? 2 ? 2 ln1 = 0 . f ′( x) = 2 +

y = 2 x ? 2 .………………………………………………5 分

⑵ f ′( x) = p +

p 2 px 2 ? 2 x + p ? = .令 h( x) = px 2 ? 2 x + p ,要使 f ( x) 在定义域 (0, + ∞) 内 2 2 x x x

是增函数,只需 h( x) ≥ 0 在 (0, + ∞) 内恒成立.由题意 p > 0 ,h( x) = px 2 ? 2 x + p 的图象为开
口向上的抛物线, 对称轴方程为 x = 时, h( x) ≥ 0, f ′( x) ≥ 0 ∴ f ( x) 在 (0, + ∞) 内为增函数,正实数 p 的取值范围是[1, + ∞) .…………12 分 21. (1)因为 c = 2, a = 3 ,所以 b = 1 所以椭圆的方程为 1 1 1 ∈ (0 , + ∞) , h( x)min = p ? , ∴ 只需 p ? ≥ 0 , p ≥ 1 即 p p p

x2 + y 2 = 1 ,伴随圆方程 x 2 + y 2 = 4 ……………2 分 3

?y = x + b ? (2)设直线 l 的方程 y = x + b ,由 ? x 2 得 4 x 2 + 6bx + 3b 2 ? 3 = 0 2 ? + y =1 ?3
由 ? = (6b)2 ? 16(3b2 ? 3) = 0 圆 心 到 直 线
l

得 b2 = 4 的 距

b2 = 4 离 为

d=

|b| = 2 2





| MN |= 2 r 2 ? d 2 = 2 2 ………………………………………6 分

(3)①当 l1 , l2 中有一条无斜率时,不妨设 l1 无斜率, 因为 l1 与椭圆只有一个公共点,则其方程为 x = 3 或 x = ? 3 ,

用心

爱心

专心

7

当 l1 方程为 x = 3 时,此时 l1 与伴随圆交于点 ( 3,1), ( 3, ?1), 此时经过点 ( 3,1) (或 3, ?1) 且与椭圆只有一个公共点的直线是 y = 1 (或 y = ?1) ,即 l 2 为 y = 1 (或 y = ?1) ,显然直线 l1 , l2 垂直; 同理可证 l1 方程为 x = ? 3 时,直线 l1 , l2 垂直……………………7 分
2 2 ②当 l1 , l2 都有斜率时,设点 P ( x0 , y0 ), 其中 x0 + y0 = 4 ,

设经过点 P ( x0 , y0 ), 与椭圆只有一个公共点的直线为 y = k ( x ? x0 ) + y0 ,

? y = kx + ( y0 ? kx0 ) ? 由 ? x2 ,消去 y 得到 x 2 + 3(kx + ( y0 ? kx0 ))2 ? 3 = 0 , + y2 = 1 ? ?3
即 (1 + 3k 2 ) x 2 + 6k ( y0 ? kx0 ) x + 3( y0 ? kx0 )2 ? 3 = 0 ,……………8 分
? = [ 6k ( y0 ? kx0 )] ? 4 ? (1 + 3k 2 ) ?3( y0 ? kx0 ) 2 ? 3? = 0 , ? ?
2

2 2 经过化简得到: (3 ? x0 )k 2 + 2 x0 y0 k + 1 ? y0 = 0 ,





2 2 x0 + y0 = 4









2 2 (3 ? x0 )k 2 + 2 x0 y0 k + ( x0 ? 3) = 0 ,…………………………10 分

设 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 ,因为 l1 , l2 与椭圆都只有一个公共点,
2 2 所以 k1 , k2 满足方程 (3 ? x0 )k 2 + 2 x0 y0 k + ( x0 ? 3) = 0 ,

因而 k1 ? k2 = ?1 ,即 l1 , l2 垂直.……………………………………………………12 分 22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 解:(Ⅰ)连结OF.∵DF切⊙O于F, ∴∠OFD=90°.∴∠OFC+∠CFD=90°. ∵OC=OF,∴∠OCF=∠OFC. ∵CO⊥AB于O,∴∠OCF+∠CEO=90°. ∴∠CFD=∠CEO=∠DEF,∴DF=DE. 2 ∵DF是⊙O的切线,∴DF =DB·DA. 2 ∴DE =DB·DA.---------------C

A

E O

B

D

------------------5 分
(Ⅱ) OE =

F

1 3

OB = 2 ,CO= 2 3 ,

CE = CO 2 + OE 2 = 4 .
∵CE·EF= AE·EB= ( 2 3 +2)( 2 3 -2)=8,∴EF=2.-----------------------10 分
用心 爱心 专心 8

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
2 2 0) 解: (Ⅰ) C1 的普通方程为 x + y = 1 ,圆心 C1 (0, ,半径 r = 1 .………………1 分

C2 的普通方程为 x ? y ? 2 = 0 .………………2 分
因为圆心 C1 到直线 x ? y ?

2 = 0 的距离为 1 ,………………4 分

所以 C2 与 C1 只有一个公共点.………………5 分 (Ⅱ)压缩后的参数方程分别为

? 2 1 ? t ?x = x = cos θ 4 ′:? ′ :? 2 C1 ? (θ为参数) C2 ? ; (t为参数) . ………………6 分 ? y = sin θ ?y = 2 t ? 2 ? ? ? 2 2 2 化为普通方程为: C1′ : 4 x + y = 1 , C2′ : y = 2 x ? 2 ,………………8 分
联立消元得 8 x ? 4 2 x + 1 = 0 ,其判别式 ? = ( ?4 2 ) ? 4 × 8 × 1 = 0 ,………9 分
2
2

所以压缩后的直线 C2′ 与椭圆 C1′ 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同.…10 分 24. (Ⅰ)令 y = 2 x + 1 ? x ? 4 ,则

1 ? x≤? , ?? x ? 5, 2 ? 1 ? y = ?3 x ? 3, ? < x < 4,........3 分 ....... 2 ? ? x + 5, x ≥ 4. ? ?
作出函数 y = 2 x + 1 ? x ? 4 的图象,它与直线 y = 2 的交点为 (?7, 和 ? ,? . 2) 2

?5 ?3

? ?

所以 2 x + 1 ? x ? 4 > 2 的解集为 (? ∞,?7 ) ∪ ? ,+∞ ? .………………6 分 (Ⅱ)由函数 y = 2 x + 1 ? x ? 4 的图像可知, 当x=?

?5 ?3

? ?

1 9 时, y = 2 x + 1 ? x ? 4 取得最小值 ? .…………10 分 2 2

用心

爱心

专心

9


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