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由数列的递推公式求通项公式


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由数列的递推公式求通项公式
一 准备知识 所谓数列,简单地说就是有规律的(有限或无限多个)数构成的一列数,常记作{an}, an 的公式叫做数列的通项公式.常用的数列有等差数列和等比数列. 等差数列 数列{an}的后一项与前

一项的差 an-an-1 为常数 d 等比数列 数 列 {an} 的 后 一 项 与 前 一 项 的 比

定义

an 为常数 q(q≠0) a n ?1
q 为公比 an=a1· qn Sn=
-1

专有名词 通项公式 前 n 项和

d 为公差 an=a1+(n-1)d Sn= na1 ?

n(n ? 1)d ?a1 ? an ?n ? 2 2

a1 1 ? q n 1? q

?

?

数列的前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系是:an=Sn-Sn-1(n≥2) . 有些数列不是用通项公式给出, 而是用 an 与其前一项或前几项的关系来给出的, 例如: an+1=2an+3,这样的公式称为数列的递推公式.由数列的递推公式我们可以求出其通项公 式. 数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形,然后将它看成新 数列(通常是等差或等比数列)的通项公式或递推公式,最后用新数列的性质解决问题. 二 例题精讲 例 1. (裂项求和)求 Sn=

8 ?1 8? 2 8? n ? 2 ??? . 2 2 1 ?3 3 ?5 (2n ? 1) 2 ? (2n ? 1) 2
2

解:因为 an=

8? n 1 1 ? = 2 2 2 (2n ? 1) ? (2n ? 1) (2n ? 1) (2n ? 1) 2

? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ?1 所以 Sn= ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? =1- ? 2 2? ( 2n ? 1) 2 3 ? ?3 5 ? (2n ? 1) ? ?1 ? (2n ? 1)

例 2. (倒数法)已知数列{an}中,a1=

an 3 ,an+1= ,求{an}的通项公式. 2a n ? 1 5

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解:

1 a n ?1

?

2a n ? 1 1 ? ?2 an an

?1 ? 1 5 5 6n ? 1 ∴ ? ? 是以 为首项,公差为 2 的等差数列,即 ? +2(n-1)= an 3 3 3 ? an ?
∴an=

3 6n ? 1
S n ?1 ,求{an}的通项公式. 2 S n ?1 ? 1

练习 1.已知数列{an}中,a1=1,Sn=

解:

1 2S n ?1 ? 1 1 ? ? ?2 Sn S n ?1 S n ?1

?1 ? ∴ ? ? 是以 1 为首项,公差为 2 的等差数列. ?Sn ?


1 1 =1+2(n-1)=2n-1,即 Sn= . Sn 2n ? 1 2 1 1 =? ? (2n ? 1)( 2n ? 3) 2n ? 1 2n ? 3

∴an=Sn-Sn-1=

1 ? ( n ? 1) ? 1 ∴an= ? 1 ? ( n ? 2) ? ? 2n ? 1 2n ? 3
例 3. (求和法,利用公式 an=Sn - Sn - 1 , n ≥ 2 )已知正数数列 {an} 的前 n 项和

1? 1 ? ? ,求{an}的通项公式. Sn= ? an ? ? 2? an ? ? 1? 1? 解:S1=a1= ? ,所以 a1=1. a1 ? ? ? 2? a1 ? ?
∵an=Sn-Sn-1 ∴2Sn=Sn-Sn-1+

1 S n ? S n ?1

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∴Sn+Sn-1=

1 ,即 Sn2-Sn-12=1 S n ? S n ?1

∴ Sn

? ?是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列.
2

∴Sn2=n,即 Sn= n ∴an=Sn-Sn-1= n - n ? 1 (n≥2) ∴an= n - n ? 1 .

例 4. (叠加法)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-2=3× (- 且 S1=1,S2=-

1 n-1 ) (n≥3) , 2

3 ,求{an}的通项公式. 2
2 n ?1

解:先考虑偶数项有:

?1? S2n-S2n-2=-3· ? ? ?2?

?1? S2n-2-S2n-4=-3· ? ? ? 2?
……

2 n ?3

?1? S4-S2=-3· ? ? ?2?

3

3 n ?1 ?1? ? ?1? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?2? ? ? ? ?4? ? 将以上各式叠加得 S2n-S2=-3× , 1 1? 4

?1? 所以 S2n=-2+ ? ? ?2?
再考虑奇数项有:

2 n ?1

(n ? 1) .

?1? S2n+1-S2n-1=3· ? ? ? 2?

2n

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?1? S2n-1-S2n-3=3· ? ? ? 2?
……

2n?2

?1? S3-S1=3· ? ? ?2?

2

?1? 将以上各式叠加得 S2n+1=2- ? ? (n ? 1) . ?2? ?1? ?1? 所以 a2n+1=S2n+1-S2n=4-3×? ? ,a2n=S2n-S2n-1=-4+3×? ? ? 2? ?2?
2n 2 n ?1

2n



n ?1 ? ?1? ? 4 ? 3 ? ? ? , n为奇数 n ?1 ? ?1? ? ? 2? n-1 ? 综上所述 an= ? ,即 an=(-1) · ?4 ? 3 ? ? ? ? . n ?1 ?2? ? 1? ? ? ?? 4 ? 3 ? ? ? ,n为偶数 ? ? ? 2 ? ? ?

例 5. (an+1=pan+r 类型数列)在数列{an}中,an+1=2an-3,a1=5,求{an}的通项公式. 解:∵an+1-3=2(an-3) ∴{an-3}是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列. ∴an-3=2n ∴an=2n+3.
2

an ? 1 练习 2.在数列{an}中,a1=2,且 an+1= ,求{an}的通项公式. 2

1 2 1 an + 2 2 1 ∴an+12-1= (an2-1) 2
解:an+12= ∴{an+12-1}是以 3 为首项,公比为

1 的等差数列. 2
3
n ?1

?1? ∴an+12-1=3×? ? ?2?

n ?1

,即 an= 1 ?

2

例 6(an+1=pan+f(n)类型)已知数列{an}中,a1=1,且 an=an-1+3n 1,求{an}的通项 公式.


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n

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-1

解: (待定系数法)设 an+p· 3 =an-1+p· 3n 则 an=an-1-2p· 3n 1,与 an=an-1+3n
- -1

比较可知 p=-

1 . 2

所以 ?a n ?

? ?

3 1 3n ? ? 是常数列,且 a1- =- . 2? 2 2

所以 a n ?

1 3n 3n ? 1 =- ,即 an= . 2 2 2

练习 3.已知数列{an}满足 Sn+an=2n+1,其中 Sn 是{an}的前 n 项和,求{an}的通项公 式. 解:∵an=Sn-Sn-1 ∴Sn+Sn-Sn-1=2n+1 ∴2Sn=Sn-1+2n+1 (待定系数法)设 2(Sn+pn+q)=Sn-1+p(n-1)+q

? ? p?2 ? p ? ?2 化简得:-pn-p-q=2n+1,所以 ? ,即 ? ?? p ? q ? 1 ? q ?1
∴2(Sn-2n+1)=Sn-2(n-1)+1,

3 1 ,S1-2+1= 2 2 1 1 ∴{Sn-2n+1}是以 为公比,以 为首项的等比数列. 2 2
又∵S1+a1=2+1=3,∴S1=

?1? ?1? ?1? ∴S n-2n+1= ? ? ,即 Sn= ? ? +2n-1,an=2n+1-Sn=2- ? ? . ?2? ?2? ?2?
例 7. (an+1=panr 型) (2005 年江西高考题)已知数列{an}各项为正数,且满足 a1=1, an+1=

n

n

n

1 (1)求证:an<an+1<2; (2)求{an}的通项公式. a n (4 ? a n ) . 2

解: (1)略.

1 (an-2)2+2 2 1 ∴an+1-2=- (an-2)2 2 1 ∴2-an+1= (2-an)2 2
(2)an+1=-
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∴由(1)知 2-an>0,所以 log2(2-an+1)=log2

1 (2-an)2=2· log2(2-an)-1 2

∴log2(2-an+1)-1=2[log2(2-an)-1] 即{log2(2-an)-1}是以―1 为首项,公比为 2 的等比数列 - ∴log2(2-an)-1=-1× 2n 1 化简得 an=2- 21?2
n ?1



练习 4. (2006 年广州二模)已知函数 f ( x) ?

( x ? 1) 4 ? ( x ? 1) 4 (x?0) . ( x ? 1) 4 ? ( x ? 1) 4

在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? f (an ) ( n ? N? ) ,求数列 {an } 的通项公式. 解: an ?1 ?

(an ? 1)4 ? (an ? 1)4 an ?1 ? 1 (an ? 1)4 ? an ? 1 ? ? ? ?? ? , (an ? 1)4 ? (an ? 1)4 an ?1 ? 1 (an ? 1)4 ? an ? 1 ?

4

从而有 ln

an ?1 ? 1 a ?1 ? 4ln n , an ?1 ? 1 an ? 1 a1 ? 1 ? ln 3 ? 0 知: a1 ? 1

由此及 ln

? a ? 1? 数列 ?ln n ? 是首项为 ln 3 ,公比为 4 的等比数列, ? an ? 1 ? a ? 1 n?1 a ? 1 4n?1 34 ? 1 故有 ln n ( n ? N? ) 。 ? 4 ln 3 ? n ? 3 ? an ? 4n?1 an ? 1 an ? 1 3 ?1
n?1

例 8. (三角代换类型)已知数列{an}中,a1=2,an=

1 ? a n ?1 ,求{an}的通项公式. 1 ? a n ?1

解:令 an-1=tan ? ,则 an+1=

?? ? =tan ? ? ? ? ? ?4 ? 1 ? tan ? tan ? 4

tan

?

4

? tan ?

? (n ? 1)? ? ? atc tan 2? . ∴an=tan ? ? 4 ?

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