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正弦型函数的图像和性质1中职数学


任课教师:刘德阳

正弦型函数
形如:y = A sin(ωx+ ? )
(其中A 、ω 、 ?为常数。 不妨设A>0,ω>0)

y ? sin x , x ? ? 0 , 2? ?
x
y ? sin x

0
0

? 2

/>?
0

3? 2

2?

1

?1

0

y
1

0

? 2

?

3? 2

2?

x

?1

y ? sin x , x ? ? 0 , 2? ?

1、A的作用

y ? ? sin x , x ? ? 0 , 2? ?
0
0
0
? 2

x
sin x
y ? ? sin x

?
0
0

3? 2

2?

1
?1

?1

0
0

1

y
1

0

? 2

?

3? 2

2?

x

?1

y ? ? sin x , x ? ? 0 , 2? ?

y ? 3sin x , x ? ?0 , 2? ?
x
sin x
y ? 3sin x
y
3

0 0
0

? 2

?
0
0

3? 2

2?

1
3

?1

0
0

?3

2
1

0
?1 ?2
?3

? 2

?

3? 2

2?

x

y ? 3sin x , x ? ?0 , 2? ?

1、A的作用:研究 y=Asinx 与 y=sinx 图象的关系 1 先观察y=2sinx、y= sinx与y=sinx的图象间的关系
y 2 1 0 -1 π 2π x
2

-2

1、A的作用:研究 y=Asinx 与 y=sinx 图象的关系 1 先观察y=2sinx、y= sinx与y=sinx的图象间的关系
y
2

2
1 0 -1 -2 π 2π x

A的作用:使正弦函数相应的函数值发生变化。 y=Asinx(A>0, A?1)的图象是由y=sinx的图象沿y轴 方向伸长 (当A>1时)或压缩(当0<A<1时)A倍而成.

2、ω的作用:研究 y=sinωx与y=sinx 图象的关系 先观察y=sin2x、y=sin
y 1
1 x与y=sinx的图象间的关系 2

0 -1

π







x

作y=sinx的图象
x
sinx

1、列表
? 2

2、描点
3? 2

3、连线
2?
0

0
0

?
0

1

-1

2、ω的作用:研究 y=sinωx与y=sinx 图象的关系 先观察y=sin2x、y=sin
y 1
1 x与y=sinx的图象间的关系 2

0 -1

π







x

作y=sin2x的图象
2x x sin2x
0 0 0

1、列表
? 2 ? 4

2、描点
3? 2 3? 4

3、连线
2? ? 0

?
? 2

1

0

-1

1、ω的作用:研究 y=sinωx与y=sinx 图象的关系 先观察y=sin2x、y=sin
y 1
1 x与y=sinx的图象间的关系 2

0 -1

π







x

作y=sin

1 x的图象 2
1 2

1、列表
? 2

2、描点
3? 2

3、连线
2?

x
1 x 2

0

?

x
sin

0
0

?
1

2?
0

3?
-1

4?
0

1、ω的作用:研究 y=sinωx与y=sinx 图象的关系 先观察y=sin2x、y=sin
y 1
1 x与y=sinx的图象间的关系 2

0 -1

π







x

ω的作用:使正弦函数的周期发生变化。
y=sinω x(ω >0, ω ?1)的图象是由y=sinx 的图象沿x轴关于y轴压缩(当ω >1时)或伸长 (当0<ω <1时)而成.

3、 ?的作用:研究 y=sin(x+ ?)与y=sinx 图象的关系
? ? 先观察y = sin(x+ )、y = sin(x - ) 2 2 与 y=sinx 的图象间的关系 y 1

0 -1

π



x

3、 ?的作用:研究 y=sin(x+ ?)与y=sinx 图象的关系
? ? 先观察y = sin(x+ )、y = sin(x - ) 2 2 与 y=sinx 的图象间的关系 y 1

0 -1

π



x

? 的作用:使正弦函数的图象发生位移变化。 y=sin(x+?)(??0)的图象是由y=sinx的图象

沿x轴方向平移 -?个单位而成.

ω 变周期
A
变最值

y
1

y=sin2x
π

y=sin 1 x
2


y=sinx
3π 4π

0
y

-1

x

2 1

y=2sinx
π 2π

y=
x

1 sinx 2

y=sinx

0
-1

?

-2

y
1

? y = sin(x+ 2 )
π

? y = sin(x - 2 )


y=sinx

0
-1

x


R 1、定义域:
2、值域:



正弦型函数y =Asin(ωx + ?)的性质

(A>0,ω>0)

[-A,A]
ymin ? ? A
T? 2?

ymax ? A
3、周期:

?



求下列函数的最大值、最小值、周期

y ? 2 sin(4 x ?
解: ∵ A=2

?

6

)

∴ y最大值=2 , y最小值=-2 ∵ω=4

2? 2? ? ?T ? ? ? 4 ? 2



求下列函数的最大值、最小值、周期 1 1 ?
y?? 3 sin( 2 x? 4 )
1 A= ? 3
1 3

解: ∵

∴ y最大值= ∵ω=
1 2

, y最小值=

1 ? 3

2? ∴T ? ? 4? ? 1 ? 2

2?

练习:求下列函数的最大值、最小值、 周期
1、y ? sin(x ?
?
8 2、y ? 4 sin(2 x ? 3) )
ymax ? 1 ymax ? 4 ymax ? 5
ymin ? ?1

T ? 2? T ?? T ? 2?
1 T? 2

ymin ? ?4
ymin ? ?5

3、 4、
5、 6、

y ? ?5sin( x ?

?

3

)

y?

2 sin(4 x ?

?
6

) ymax ?

2 ymin ? ? 2

3 3 2 ? ymax ? y ? sin( x ? ) 2 2 5 2 3x ? y ? ?6sin( ? ) ymax ? 6 4 3

ymin ? ?

3 2

T ? 5?
T ? 8 ? 3

ymin ? ?6

小结:
1、正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的性质:

(1)定义域是R
(2)值域是[-A,A] (3)最小正周期是 T ?
2?

? 2、利用“五点法”画正弦型函数的图像。
3、本节学习的数学思想方法,由特殊到一般的思想 方法和数形结合的思想方法等。

作业

见教学案


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