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椭圆的定义及标准方程11.25


2.1 椭圆

想一想
在我们实际生活中,同学 们还见过其他椭圆吗?能 举出一些实例吗?

生 活 中 的 椭 圆

问题的提出:
1.什么是圆? 2.取一条定长的细绳,把它的两端固定 在平面内的同一点F上,用铅笔尖把绳子拉 紧,使笔尖在平面内慢慢移动,问笔尖画出 的图形是什么? 动画

1 3.若将细绳两端分开并且固定在平面内 的 F1、F2 两点,当绳长大于F1和F2的距离时, 用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在平面内慢慢 移动,问笔尖画出的图形又是什么呢?

实验探究
[1]取一条细绳, [2]把它的两端固定在 板上的两点F1、F2 [3]用铅笔尖(M)把 细绳拉紧,在板上慢慢 移动看看画出的图形 [4]如果细绳的长度不 变,调整F1、F2的相对位 置,猜想你的椭圆会发 生怎样的变化?
F1

M F2

F
1

F
2

动画2

小结:满足哪几个条件的动点的 轨迹叫做椭圆?
? [1]平面上----这是大前提 ? [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和 是常数 2a ? [3]常数 2a 要大于焦距 2C

MF1 ? MF2 ? 2a ? 2C

平面内与两定点的距离之和等于 F1F2 ) 常数2a(大于 的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
F1

M
F2

· 当常数等于|F1F2|时,轨迹是线段F1F2 · 当常数小于|F1F2|时,轨迹是 不存在

.

.

建系

设点

列式

化简

证明

2.建系的一般原则 建系的一般原则为:使已知点的 坐标和曲线的方程尽可能简单,即 原点取在定点或定线段的中点,坐 标轴取在定直线上或图形的对称轴 上,充分利用图形的对称性.
几何画板探 讨如何建系?

y
M ( x, y )
F1

O

F2

x

y
M ( x, y )
F1

O

F2

x

上一页

下一页

y
M ( x, y )
F1

O

F2

x

y
M ( x, y )
F1

O

F2

x

y
M ( x, y )

取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的 垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。

F1

O

F2

x

设M(x,y)是椭圆上任一点,椭圆的焦距为2c(c>0),M与F1、 F2的距离的和等于正常数2a,则F1(-c,0)、F2(c,0)。 MF1 ? MF2 ? 2a 由定义知:
? MF1 ?

(x ? c )2 ? y 2

MF2 ?

(x - c )2 ? y 2
? 2a
2

?

(x ? c )2 ? y 2 ? (x - c )2 ? y 2
2

将方程移项后平方得:

(x ? c )

? y ? 4a - 4a
2 2

(x - c )

2

? y ? (x - c ) ? y 2
2

a 2 - cx ? a

(x - c )2 ? y 2
2

两边再平方得:

a4 - 2a2cx ? c2 x2 ? a2 x2 - 2a2cx ? a2c2 ? a2 y 2

(a

- c2 )x2 ? a2 y 2 ? a2 (a2 - c2 )

y

(a

2

- c2 )x2 ? a2 y 2 ? a2 (a2 - c2 )

M ( x, y )
F1

由椭圆定义知: 2a ? 2c,即a ? c, a 2

设a 2 - c2 ? b2 (b ? 0) 得 :
2 2

- c2 ? 0

O

F2

x

b2 x2 ? a 2 y 2 ? a2b2
2 2 x y 两边同除以 a b 得: 2 ? 2 ? 1 a b 这个方程叫做椭圆的标准方程,

(a ? b ? 0)

它所表示的椭圆的焦点在x轴上。 如果椭圆的焦点在y轴上,用类似的方法,
2 2 y x 可得出它的方程为: ? ?1 2 2 a b 它也是椭圆的标准方程。

y
F1
M

(a ? b ? 0)

o
F2

x

y

B2 M

焦点在 x轴上
焦点坐标
其中

x y ? 2 ?1 2 a b
F1 ( -c,0)

2

2

A1

a bc c F F o
1

2

A2x

F2 ( c, 0)
y

B1

c 2 ? a 2 - b2 (a ? b ? 0, c ? 0)

A2
B2
M

焦点在 y轴上
焦点坐标
其中

y x ? 2 ?1 2 a b
F1 ( 0, -c )
F2 ( 0, c )

2

2

F2

B1

F1

o

x

c 2 ? a 2 - b2 (a ? b ? 0, c ? 0)

A1

椭圆的标准方程的再认识:
x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2 2

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1; (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c始终满足c2 = a2 -b2 (不要与勾股定理a2 +b2=c2 混淆); (3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值; (4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在 哪一个轴上 . (5)椭圆的标准方程是由三个参数a、b、c及焦点位置唯一确定. 即只要知道三个参数a、b、c的值,就可以写出椭圆的标准方程. 因此我们需要求椭圆的标准方程时,应该应用待定系数法(其步 骤是:先设方程.在求参数,最后写出方程),其关键是求a、b的值.

例1.平面内有两个定点(-4,0),(4,0),平面上一点P 到这两个定点的距离的和是10,P点的轨迹方程. 分析判断:

1.和是常数;
2常数大于两个定点的距离,故点的轨迹是椭圆. 3.焦点在x轴上,过两个定点的直线是x轴,它的线 段垂直平分线是y轴.从而保证方程是标准方程.

4.根据已知求出a、c,再推出a、b写出椭圆的标 准方程.

1 根据椭圆的方程填空
x y (1) ? ?1 16 9
x2 y2 (2) ? ?1 36 100
2 2

判断椭圆标准方程的焦点在 哪个轴上的准则: 焦点在分母大的那个轴上。

则a ? 4 b ? 3 c ? 7 焦点坐标 (- 7,0),( 7,0)

则a ? 10 b ? 6

c ? 8 焦点坐标 (0, -8),(0,8)

x2 y2 (3) 2 ? 2 ? 1( m ? 0) m m ?1

则a ?

m2 ? 1 b ? m c ? 1 焦点坐标 (0, -1),(0,1)

2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程 2 x 2 ? y ?1 (1)a ? 4, b ? 1, 焦点在x轴上; 16 x2 y2 (2)a ? 4, b ? 15, 焦点在y轴上; 15 ? 16 ? 1
(3)

满足a=4,c=

15 ,椭圆的标准方程

2 y x2 2 2 ? x ?1 ? y ? 1 为____ _______ 16 16

例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0),椭 圆上一点P到两焦点的距离的和等于 2 10,求它的 标准方程. 解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的方程为:
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

由椭圆的定义知 2a ? 2 10,又因为c=2, 所以b2=a2-c2=6 因此,所求椭圆的标准方程为: x2 y2 ? ? 1. 10 6

变式引申.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
5 3 (2,0),并且经过点 ( 2 , - 2 ), 求它的标准方程.

解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的方程为:
x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2 2

由椭圆的定义知
5 3 2 5 3 2 2 2 2a ? ( ? 2) ? (- ) ? ( - 2) ? ( - )? 2 2 2 2 2

10

10, 又因为c=2, 所以b2=a2-c2=6 2 2 x y ? ? 1. 因此,所求椭圆的标准方程为: 10 6

所以 a ?

小结
x2 y 2 标准方程 a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0)

y 2 x2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 2 a b
y
F2

不 同 点

y

M
F2

图 形 焦点坐标 定义

M x

F1

x

F1

F1(- C, 0)

F2(C, 0)

F1( 0 ,- C)

F2( 0 , C)

相 同 a,b,c 的关系 点

MF1 ? MF2 ? 2a (2a ? 2c)
a ?b ?c
2 2 2

焦点位置 的判断

分母哪个大,焦点就在哪个轴上.

一、二、二、三
一个概念:|MF1|+|MF2|=2a 二个方程:
x y y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b a b
2 2 2 2

二个方法: 1.去根号的方法, 2.求标准方程的方法 三个意识: 1.求美意识.2.求简意识.3.猜想意识

1、椭圆的的标准方程 有几个?

答:两个.焦点分别在x轴,y轴
2、根据椭圆标准方程,怎样判断焦点在哪个轴上?

答:在分母大的那个轴上.
2 2 Ax ? By ? C 方程中, A, B, C ? 0 A、B、C满足什么条件, 3、

就表示椭圆?

答: A、B、C同号,且A不等于B。 4、求椭圆标准方程需要多少个量? 答:两个量,a,b或a,c或b,c 其中 2 3. a 、 b 、 c 之间的关系: 2

b ? a -c

2


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