nbhkdz.com冰点文库

3.5二倍角的正弦、余弦和正切公式


第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 5 课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式(对 应学生用书(文)、(理)49~50 页)

考情分析 掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切),能运用 它们进行简单的三角函数式的化简、求值及 恒等式证明.

考点新知 能从两角和公式推导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式,体会化归思想的应用.

/>4 ? π π? 1. (必修 4P105 例 1 改编)已知 sinα =-5,α ∈ - 2 , 2 ,则 sin2α =__________. ? ? 24 答案:-25 4 ? π π? 解析:∵ sinα =-5,α ∈ - 2 , 2 , ? ? 3 ? π ? ∴ α ∈ - 2 ,0 ,cosα =5. ? ? 24 ∴ sin2α =2sinα cosα =-25. 3 2. (必修 4P108 习题 3.2 第 5(2)题改编)已知 α 为第二象限角,sinα +cosα = 3 ,则 cos2α = ________. 5 答案:- 3 3 解析:∵ sinα +cosα = 3 , 1 ∴ (sinα +cosα )2=3, 2 2 ∴ 2sinα cosα =-3,即 sin2α =-3. 3 ∵ α 为第二象限角且 sinα +cosα = 3 >0, π 3 3 ∴ 2kπ + 2 <α <2kπ +4π (k∈ Z), ∴ 4kπ +π <2α <4kπ +2π (k∈ Z), ∴ 2α 为第三象限角, 5 ∴ cos2α =- 1-sin22α =- 3 . π 3 3. (必修 4P108 习题 3.2 第 3 题改编)若 sin( 2 +θ)=5,则 cos2θ =________.

7 答案:-25 3 ?π ? 3 解析:∵ sin 2 +θ =5,∴ cosθ =5, ? ? 7 ∴ cos2θ =2cos2θ -1=-25. 4. (必修 4P106 练习第 1(1)题改编)函数 f(x)=sinxcosx 的最小正周期是________. 答案:π 2π 1 解析:∵ f(x)=sinxcosx=2sin2x,∴ T= 2 =π . 5π 7π 5. (必修 4P108 习题 3.2 第 5(3)题改编)若 2 ≤α ≤ 2 ,则 1+sinα + 1-sinα =________. α 答案:-2sin2 5π 7π 5π α 7π 解析:∵ 2 ≤α ≤ 2 ,∴ 4 ≤2≤ 4 . ∴ 1+sinα + 1-sinα = α α 1+2sin 2 cos 2 + 2 α α 1-2sin 2 cos 2



?sinα +cosα ? + 2? ? 2

2

?sinα -cosα ? 2? ? 2

α ? ? α α? ? α =- sin 2 +cos 2 - sin 2 -cos 2 ? ? ? ? α =-2sin2.

1. 二倍角公式 sin2α =2sinαcosα; cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ; 2tanα tan2α = . 1-tan2α 2. 降幂公式 1-cos2α sin2α = ; 2 1+cos2α cos2α = ; 2 sin2α sinα cosα = 2 . [备课札记]

题型 1 化简求值 例 1 计算:(tan10°- 3)· sin40°. 解:原式=? = = = =

?sin10°- 3cos10°? ?·sin40° cos10° ? ?

2(sin10°cos60°-cos10°sin60°)sin40° cos10° -2sin50°sin40° cos10° -2sin40°cos40° cos10° -sin80° =-1. cos10°

变式训练 计算:sin50°(1+ 3tan10°). 解:原式=sin50°?1+

? ?

3sin10°? ? cos10° ?

cos10°+ 3sin10° =sin50°· cos10° sin30°cos10°+cos30°sin10° =2sin50°· cos10° sin40° 2cos40°sin40° sin80° =2sin50°· = = =1. cos10° cos10° cos10° 题型 2 给值求值 1 ? π? 例 2 已知 α∈0, 2 ,tanα =2,求: ? ? (1) tan2α 的值; π? ? (2) sin 2α+ 3 的值.

?

?

2tanα 1 4 解:(1) 因为 tanα =2,所以 tan2α = =3. 1-tan2α

? π? (2) 因为 α∈0, 2 ,所以 2α∈ (0,π ). ? ?
4 3 又 tan2α >0,所以 sin2α =5,cos2α =5. π? π π 4 1 3 3 4+3 3 ? 所以 sin 2α+ 3 =sin2α cos 3 +cos2α sin 3 =5×2+5× 2 = 10 . ? ? 备选变式(教师专享)

3π 已知 α+β= 4 ,则 cos2α +cos2β + 2cosα cosβ =________. 1 答案:2 1+cos2α 1+cos2β 解析:原式= + + 2cosαcosβ 2 2 1 =1+2(cos2α+cos2β)+ 2cosα cosβ 2 =1+cos(α+β)cos(α-β)+ 2 *cos(α+β)+cos(α-β)+ 2 2 ? 2 1 2? =1- 2 cos(α-β)+ 2 ×?- ?+ 2 cos(α-β)=2. ? 2? 题型 3 给值求角 1 1 例 3 已知 α、β∈ (0,π ),且 tan(α-β)=2,tanβ =-7,求 2α-β 的值. 1 1 2-7 1 tan(α-β)+tanβ 解:∵ tanα =tan*(α-β)+β+= = 1 1=3>0, 1-tan(α-β)tanβ 1+2×7 π ∴ 0<α < 2 . 2tanα 3 ∵ tan2α = = =4>0, 2 1-tan2α ?1? 1- 3 1 2×3

? ?

π ∴ 0<2α < 2 , 3 1 4+7 tan2α -tanβ ∴ tan(2α-β)= = 3 1=1. 1+tan2α tanβ 1-4×7 1 ∵ tanβ =-7<0, ∴ π 2 <β <π ,-π <2α -β<0,

3π ∴ 2α -β=- 4 . 备选变式(教师专享) θ θ θ 已知 θ 是第三象限角,|cosθ |=m,且 sin2+cos2>0,求 cos2. 解:∵ θ 为第三象限角,|cosθ|=m, θ ∴2为第二或四象限角,cosθ =-m.

θ θ θ ∵sin2+cos2>0,∴2为第二象限角, θ ∴cos2=- 1+cosθ 2 =- 1-m 2 .

题型 4 二倍角公式的应用 π 例 4 (2013· 盐城二模)已知函数 f(x)=4sinxcos(x+ 3 )+ 3. (1) 求 f(x)的最小正周期;

? π π? (2) 求 f(x)在区间 - 4 , 6 上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值. ? ?
π π 解:(1) f(x)=4sinx(cosxcos 3 -sinxsin 3 )+ 3=2sinxcosx-2 3sin2x+ 3 π? ? =sin2x+ 3cos2x=2sin 2x+ 3 .

?

?

2π 所以 T= 2 =π . π π π π 2π (2) 因为- 4 ≤x≤ 6 ,所以- 6 ≤2x+ 3 ≤ 3 , π? 1 ? 所以-2≤sin 2x+ 3 ≤1,所以-1≤f(x)≤2, ? ? π π π 当 2x+ 3 =- 6 ,即 x=- 4 时,f(x)min=-1, π π π 当 2x+ 3 = 2 ,即 x=12时,f(x)max=2. 备选变式(教师专享) 已知函数 f(x)=-2sin2x+2 3sinxcosx+1. (1) 求 f(x)的最小正周期及对称中心;

? π π? (2) 若 x∈- 6 , 3 ,求 f(x)的最大值和最小值. ? ?
[审题视点] 逆用二倍角公式,化为正弦型函数再求解. π? 2π ? 解: (1) f(x) = 3sin2x + cos2x = 2sin 2x+ 6 ,所 以 f(x) 的最小正周期 为 T = 2 = π . 令

?

?

π? kπ π ? ?kπ π ? Z). sin 2x+ 6 =0,则 x= 2 -12(k∈ Z),所以 f(x)的对称中心为 2 -12,0 (k∈ ? ? ? ? π? π π 5π 1 ? π π? ? (2) 因为 x∈- 6 , 3 ,所以- 6 ≤2x+ 6 ≤ 6 .所以-2≤sin 2x+ 6 ≤1,所以-1≤f(x)≤2.

?

?

?

?

π π 所以当 x=- 6 时,f(x)的最小值为-1;当 x= 6 时,f(x)的最大值为 2.

?π ? 1. (2013· 四川)设 sin2α =-sinα ,α ∈ 2 ,π ,则 tan2α =________. ? ?
答案: 3

解析:由 sin2α =-sinα ,得 2sinα cosα =-sinα . 1 ?π ? 又 α∈ 2 ,π ,故 sinα ≠0,于是 cosα =-2, ? ? 3 进而 sinα = 2 ,于是 tanα =- 3, 2tanα 2×(- 3) ∴ tan2α = = = 3. 1-tan2α 1-3 2. 已知向量 a=(sinθ ,cosθ ),b=(3,-4),若 a∥ b,则 tan2θ =__________. 24 答案:- 7 解析:∵ a∥ b,∴ -4sinθ -3cosθ =0,

? 3? 2× -4 2tanθ 3 ? ? 24 ∴ tanθ =-4,从而 tan2θ = = =- 7 . 2 1-tan2θ ? 3? 1- -4 ? ?
π ? π? 4 3. 设 α 为锐角,若 cos α+ 6 =5,则 sin(2α+12)=__________.

?

?

17 2 答案: 50 π 4 3 24 7 解析: 设 α+ 6 =θ, cosθ =5, sinθ =5, sin2θ =2sinθ cosθ =25, cos2θ =2cos2θ -1=25, π? π? π π 17 2 ? ? sin 2α+12 =sin 2θ- 4 =sin2θ ·cos 4 -cos2θ ·sin 4 = 50 . ? ? ? ? 2 ? π? 4. (2013· 贵州)已知 sin2α =3,则 cos2 α+ 4 =________. ? ? 1 答案:6 2 ? π? 解析:因为 sin2α =3,所以 cos2 α+ 4 ? ? π ?? 1 1 ? 1 ? =2× 1+cos2 α + 4 =2(1-sin2α )=6. ? ? ??

1 π 3π 1. 已知 sinθ+cosθ=5,且2≤θ ≤ 4 ,则 cos2θ=________. 7 答案:-25 1 12 解析:将 sinθ+cosθ=5两边平方,得 sinθcosθ=-25, 49 所以(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=25, 7 则 sinθ-cosθ=±5.

π 3π 又2≤θ ≤ 4 , 7 所以 cosθ<0,sinθ >0,所以 sinθ-cosθ=5, 7 故 cos2θ=cos2θ -sin2θ =(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=-25.

?π ? 1 ?2π ? 2. 已知 sin 6+α =3,则 cos 3 -2α =________. ? ? ? ?
7 答案:-9

?π ? 1 ?π ? ?π ? 7 ?π ? 7 解析:由 sin 6+α =3,得 cos2 6+α =1-2sin2 6+α =9,即 cos 3+2α =9, ? ? ? ? ? ? ? ?
7 ?2π ? ? ?π ?? 所以 cos 3 -2α =cos π- 3+2α =-9. ? ? ? ? ?? sin2x+2sin2x 7 ?π ? 3 17 3. 若 cos 4+x =5,12π <x<4π ,求 的值. ? ? 1-tanx 17 7 5 π 解:由12π <x<4π ,得3π <x+4<2π. 4 ?π ? 3 ?π ? 又 cos 4+x =5,sin 4+x =-5. ? ? ? ?

??π ? π? cosx=cos ?4+x?-4 ? ?
2 ?π ? π ?π ? π =cos 4+x cos4+sin 4+x sin4=- 10 , ? ? ? ? 7 2 从而 sinx=- 10 ,tanx=7. 2sinxcosx+2sin2x 故原式= 1-tanx 2?- = 2? ? 7 2?2 ? 7 2? ? · ? ? ?+2?- ? - ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? 1-7

28 =-75. π? π ? 4. 已知函数 f(x)=sin2ω x+ 3sinω xsin ωx+ 2 (ω>0)的最小正周期为 2 .

?

?

(1) 写出函数 f(x)的单调递增区间;

? π? (2) 求函数 f(x)在区间 0, 3 上的取值范围. ? ?
解:(1) f(x)= π? 1 1-cos2ω x 3 3 1 1 ? + 2 sin2ω x= 2 sin2ω x-2cos2ω x+2=sin 2ωx- 6 +2.因为 T= 2 ? ?

π? 1 π 2π π π π ? 2 ,所以2ω = 2 (ω>0),所以 ω=2,f(x)=sin?4x- 6 ?+2.于是由 2kπ - 2 ≤4x- 6 ≤2kπ + π kπ π kπ π ,解得 - ≤ x ≤ 2 2 12 2 +6

(k∈ Z).

?kπ π kπ π ? Z). 所以 f(x)的增区间为 2 -12, 2 + 6 (k∈ ? ?
π ? π 7π ? ? π? (2) 因为 x∈0, 3 ,所以 4x- 6 ∈ - 6 , 6 ,

?

?

?

?

π? ? 1 ? ? ? 3? 所以 sin 4x- 6 ∈ -2,1 ,所以 f(x)∈0,2 .

?

? ?

?

?

?

? π? ? 3? 故 f(x)在区间 0, 3 上的取值范围是 0,2 . ? ? ? ?

1. 已知三角函数式的值,求其他三角函数式的值,一般思路为: (1) 先化简所求式子; (2) 观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手); (3) 将已知条件代入所求式子,化简求值. 2. 应用倍角公式,一是要选择合适的公式,二是要注意正用和逆用. 3. 降幂公式是解决含有 cos2x、sin2x 式子的问题较常用的变形之一,它体现了逆用二倍角公 式的解题技巧.

请使用课时训练(B)第 5 课时(见活页).

[备课札记]


3.5二倍角的正弦、余弦和正切公式

3.5二倍角的正弦余弦和正切公式_数学_高中教育_教育专区。3.5二倍角的正弦余弦和正切公式第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 5 课时 二倍角的正弦...

二倍角的正弦、余弦和正切公式练习题

二倍角的正弦余弦和正切公式练习题_高一数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 二倍角的正弦余弦和正切公式练习题_高一数学_数学...

§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式

§3.1.3 二倍角的正弦余弦和正切公式_高一数学_数学_高中教育_教育专区。§3.1.3 一、教学目标 二倍角的正弦余弦和正切公式 tan 2? ? tan ?? ? ? ...

2015年高考数学总复习教案:3.5二倍角的正弦、余弦和正切公式

2015年高考数学总复习教案:3.5二倍角的正弦余弦和正切公式_数学_高中教育_教育专区。第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 5 课时 二倍角的正弦、余弦和...

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案

二倍角的正弦余弦正切公式》教学设计高一 A 组 年级:高一 科目:数学 韩慧芳 课型:新课 内容:二倍角的正弦余弦正切公式 一、教学目标 1、知识目标:...

3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式

3.1.3 二倍角的正弦余弦和正切公式_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档3.1.3 二倍角的正弦余弦和正切公式_数学_高中教育_教育...

2015年高考数学总复习教案:3.5二倍角的正弦、余弦和正切公式

2015年高考数学总复习教案:3.5二倍角的正弦余弦和正切公式_高一数学_数学_高中教育_教育专区。4 ? ππ? 1. 已知 sinα =-5,α∈- 2 , 2 ,则 sin2...

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3 二倍角的正弦余弦正切公式_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 3.1.3 二倍角的正弦余弦正切公式_数学_高中教育_教育专区。鸡西...

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

重点:二倍角正弦、余弦和正切公式; 难点:二倍角正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 预习案(预习教材 P132—P134) 复习引入:请大家首先回顾一下两角和的正弦、...