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2.2.3直线和平面平行的性质

时间:2017-11-13


直线和平面平行的 性质

复习:线面平行的判定
a ? ?? ? b ? ? ? ? a // ? ? a // b ? 线 线 平 行? 线 面 平 行
2.证明或判定“线面平行”关键: 在平面内找一条直线与已知直线平行.

探究:在长方体ABCD-A'B'C'D'中直
线

A'C'∥平面ABCD.(1)A’C’是 否和平面ABCD上所有直线都平行? 和这些直线有哪几种位置关系? (2)在平面ABCD内怎样找和直线 A'C'平行的直线?
A

'
A

D

'
B D

C

'

'
C

B

大胆猜想:如果一条直线与平
面平行,那么过这条直线的任一 平面与此平面的交线是否与该直 线平行?

已知: a // ?, a ? ?, ? ? ? ? b. 求证: a // b.
β b α a

证明:因为α∩β=b,所以b ?α. 又因为a ∥α,所以a,b无公共点. 因为a ?β,b ?β,所以a∥b.

定理:一条直线与一个平面平
行,则过这条直线的任一平面与 此平面的交线与该直线平行.
a // ? ? ? 即 :a ? ? ? ? a // b. ? ? ? ? b? ?
β b α a

线面平行→线线平行

比较:
a ? ?? ? 判定: b ? ? ? ? a // ?.(线 线 平 行? 线 面 平 行 ) a // b ? ? a // ? ? ? 性 质 :a ? ? ? ? a // b.(线 面 平 行? 线 线 平 行 ) ? ? ? ? b? ?

练习:如图,三棱锥S-ABC中,
MN//平面ABC,E、F分别为AB、 AC的中点.求证:MN//EF.
S
N
M
F A

C

E
B

题型二

直线与平面平行的性质

【例 2】 (北京朝阳期末)如图,已知四边形 ABCD 是平行 四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上 取一点 G, 过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证: AP∥GH.

[证明] 如图,连结AC,设AC交BD于O,连结MO. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴O是AC的中点. 又∵M是PC的中点,∴MO∥PA. 又∵MO?平面BDM,PA?平面BDM, ∴PA∥平面BDM. 又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH, ∴AP∥GH.

[方法· 规律] 利用线面平行的性质,可以实现由线面平行 到线线平行的转化.在平时的解题过程中,若遇到线面平行这 一条件,就需在图中找(或作)过已知直线与已知平面相交的平 面.这样就可以由性质定理实现平行转化.

练习: 1.直线a ∥平面α,平面α内有n条 互相平行的直线,那么这n条直线和 直线a( C ). A全平行; B全异面; C全平行或全异面; D不全平行或不全异面。 2.直线a ∥平面α,平面α内有n条 交于一点的直线,那么这n条直线和 直线a平行的( B ). A至少有一条; B至多有一条; C有且只有一条;D不可能有。

小结:
a // ? ? 1.性质定理: ? a ? ? ? ? a // b. ? ? ? ? ? b?

2.线面平行→线线平行.


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