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等差数列教案1


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学大教育星沙校区教案 教师姓名 学科 学管师 课题名称:等差数列 教学目标: 等差数列相关概念 教学重点:等差数列通项公式,递推公式和等差数列求和公式 教学难点:等差数列前 n 项和及其通项公式 甘兴 数学 学生姓名 年级 教研组长 上课时间 计划课时 教管主任签字 第( )课时<

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数列概念
1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式:如果数列 式,即 an

?an ? 的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公

?an ? 的第一项(或前几项) ,且任何一项 a n 与它的前一项 a n ?1 (或前几项)间的 关系可以用一个式子来表示, an ? f (an ?1 ) 或 an ? f (an ?1 , an ?2 ) , 即 那么这个式子叫做数列 ?an ? 的递推公式. 如数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ? 2an ? 1 ,其中 an ? 2an ? 1 是数列 ?an ? 的递推公式.
3.递推公式:如果已知数列 4.数列的前 n 项和与通项的公式

? f (n) .

① S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ; ② an ? ?

?S1 (n ? 1) . ?Sn ? Sn?1 (n ? 2)

5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列. ①递增数列:对于任何 n ? N ? ,均有 a n ?1 ②递减数列:对于任何 n ? N ? ,均有 a n ?1 ③摆动数列:例如: ? 1,1,?1,1,?1, ?. ④常数数列:例如:6,6,6,6,??. ⑤有界数列:存在正数 M 使

? an . ? an .

an ? M , n ? N ? .

⑥无界数列:对于任何正数 M ,总有项 a n 使得

an ? M .

例 1.根据数列前 4 项,写出它的通项公式: (1)1,3,5,7??;

2 2 ? 1 32 ? 1 4 2 ? 1 5 2 ? 1 , , , ; 2 3 4 5 1 1 1 1 (3) ? , ,? , 。 1*2 2*3 3*4 4*5
(2)

例 2.已知 a1 ? 2 , an?1 ? 2an 写出前 5 项,并猜想 a n .

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等差数列
1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数 d ,这个数列叫做等差数列,常数 d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式 an

? a1 ? (n ? 1)d , a 1 为首项, d 为公差.
? n ( a1 ? a n ) 1 或 S n ? na1 ? n ( n ? 1)d . 2 2

⑵前 n 项和公式 S n 3.等差中项

A 叫做 a 与 b 的等差中项. 即: A 是 a 与 b 的等差中项 ? 2 A ? a ? b ? a , A , b 成等差数列.
如果 a, A, b 成等差数列,那么 4.等差数列的常用性质 ⑴数列

?an ? 是等差数列,则数列 ?an ? p?、 ?pan ?( p 是常数)都是等差数列; ⑵在等差数列 ?an ? 中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 an , an?k , an?2k , an?3k , ? 为等差数列,
公差为 kd . ⑶ an

? am ? (n ? m)d ; an ? an ? b ( a , b 是常数); Sn ? an2 ? bn ( a , b 是常数, a ? 0 )

⑷若 m ? n

? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;

⑸若等差数列

?an ? 的前 n 项和 S n ,则 ? S ?


? 是等差数列; ? ?n ?
n

⑹当项数为 2n(n ? N ? ) ,则 S

? S奇 ? nd,

S偶 an?1 ; s2 n ? S奇 an

? n(an ? an?1 )

当项数为 2n ? 1( n ? N ? ) ,则 S



? S偶 ? a n ,

S偶 n ? 1 . s2 n ?1 ? (2n ? 1)an ? S奇 n

?a n ?1 ? a n ? d(定义) ? ?2a n ?1 ? a n ? a n ? 2 5.等差数列的判定:{an}为等差数列 ?? ?a n ? An ? B(关于n的“一次函数”) ?S ? An2 ? Bn(缺常数项的“二次函 数”) ? n

6.等差数列前 n 项和最值的求法(结合二次函数的图象与性质理解) 1)若等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,则前 n 项和 Sn 有最大值。 (ⅰ)若已知通项 an ,则 Sn 最大 ? ?

? an ? 0 ; ?an ?1 ? 0
2p

2 (ⅱ)若已知 Sn ? pn ? qn ,则当 n 取最靠近 ? q 的非零自然数时 Sn 最大;

2)若等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,则前 n 项和 Sn 有最小值
a ?0 (ⅰ)若已知通项 an ,则 Sn 最小 ? ? n ; ? ?an ?1 ? 0
2

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(ⅱ)若已知 Sn ? pn ? qn ,则当 n 取最靠近 ?
2

q 的非零自然数时 Sn 最小。 2p

等差数列的判断方法:定义法 an?1 ? an ? d (d为常数) an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2) 。 或
例 1.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn=n2,则{an}是( ) A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列

等差数列的前 n 和: S n ?
常数的项是( A.S7

n(a1 ? an ) n( n ? 1) d。 , S n ? na1 ? 2 2

例 2:等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a2+a4+a15 的值是一个确定的常数,则数列{an}中也为 ) B.S8 C.S13 D.S15 )

1 例 3.等差数列{an}中,已知 a1= ,a2+a5=4,an=33,则 n 为( 3 A.48 B.49 C.50 D.51

a11 例 4:已知数列{an}为等差数列,若 <-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn>0 的 n 的最大 a10 值为( )

A.11 B.19 C.20 D.21 例 5. ?an ? 是公差为正数的等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? 15 , 1a2 a3 ? 80 , a1 ? 3? ? ( 设 若 则 1 2 1a a a 1 A. 120 B. 105 C. 90 D. 75 )

等差中项、等差数列的性质: 例 6. (1)设{an} (n∈N*)是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论 错误的是( ) .. A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 (2)等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( A.130 B.170 C.210 D.260



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数学必修 5《等差数列》基础练习卷
一、填空题
1. 等差数列 8,5,2,…的第 20 项为___________. 2. 在等差数列中已知 a1=12, a6=27,则 d=___________ 3. 在等差数列中已知 d ? ? ,a7=8,则 a1=_______________ 4. 数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=3n ? n2 ,则 an =___________ 二、选择题 5. 在等差数列 ?an ? 中,前 15 项的和 S15 ? 90 , a8 为( ) A.6 B.3 C.12 D.4

1 3

6. 等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24, a18 ? a19 ? a20 ? 78 ,则此数列前 20 项的和等于 A.160 B.180 C.200 D.220

7. 在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450 ,则 a2 ? a8 的值等于( ) A.45 B.75 C.180 8. 数列 3,7,13,21,31,…的通项公式是( ) A. an ? 4n ? 1 三、计算题 9.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式是 Sn ? 5n2 ? 3n ,求它的前 3 项,并求它的通项公式 B. an ? n3 ? n2 ? n ? 2 D.300 C. an ? n2 ? n ? 1

D.不存在

10.根据下列各题中的条件,求相应的等差数列 ?an ? 的有关未知数: (1) a1 ?

5 1 , d ? ? , S n ? ?5, 求 n 及 an ; 6 6

(2) d ? 2, n ? 15, an ? ?10, 求a1及Sn

本节课教学计划完成情况:照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ 学生的接收程度:完全能接受□ 部分能接受□ 不能接受□ 课后记 学生的课堂表现:很积极□ 备注 比较积极□ 一般□ 不积极□

教师建议: 学管师和家长需配合事项:
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等差数列高考题荟萃 一、选择题 1.已知 A. -1 为等差数列, B. 1 C. 3 D.7 ,则 等于( )

2.公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a 4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,则 S10 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 )

3.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于( A.13 B.35 C.49 D. 63 )

4.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于( A.1 B

5 3

C.- 2

D 3 )

5.已知 ?an ? 为等差数列,且 a 7 -2 a 4 =-1, a3 =0,则公差 d=( A.-2 B.-

1 2

C.

1 2

D.2

6.等差数列{ an }的公差不为零,首项 a 1 =1, a2 是 a 1 和 a5 的等比中项,则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 )

2 7.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ? (

A.38 二、填空题

B.20

C.10

D.9

8. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 = 9.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 则 三、解答题 10.设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n , n ? N ,其中 k 是常数.
*

S9 ? S5

(I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N , am , a2m , a4m 成等比数列,求 k 的值.
*

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