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2013版高考数学专题辅导与训练配套课件:1.2向量运算与复数运算、算法、合情推理(湖北专供-数学文)

时间:2014-05-10


第二讲 向量运算与复数运算、算法、
合情推理

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【考情快报】 (1)主要考查向量的有关概念及运算、复数的有关概念及 运算、用程序框图描述算法以及归纳推理.其中向量常与其他

知识相结合,程序框图常考查循环结构.
(2)以选择题、填空题的形式呈现,属容易题.

【核心自查】

一、主干构建

二、概念理解

1.平面向量的数量积 |a||b|cosθ (1)定义:如果两个非零向量a,b的夹角为θ ,则数量____________
|a||b|cosθ 叫做a与b的数量积,记作a?b,即a?b= ____________. 规定:零向量与任一向量的数量积为0. (2)坐标表示: x1x2+y1y2 . 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a?b=________

2.复数z=a+bi(a,b∈R)的分类 (1)z是实数?b=0 (2)z是虚数?b≠0 (3)z是纯虚数?a=0,且b≠0 3.共轭复数 相等 虚部___________ 互为相反数 时,这两个 一般地,当两个复数的实部_____, 复数互为共轭复数,虚部不为0的两个共轭复数叫做共轭虚数. a-bi 即复数a+bi(a,b∈R)的共轭复数是_____(a,b∈R). 提醒:实数的共轭复数是其本身.

三、重要公式
1.两个非零向量平行、垂直的充要条件

若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 x1y2-x2y1=0 ; (1)a∥b?a=λ b(b≠0)?___________
x1x2+y1y2=0 (2)a⊥b?a?b=0?__________. 提醒:(1)若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0. (2)已知 OA ? ?OB ? ?OC (λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充 要条件是λ+μ=1.

2.向量的夹角公式 设θ 为a与b(a≠0,b≠0)的夹角,且a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
ab cosθ ? ? | a || b | x1x 2 ? y1 y 2 x ?y
2 1 2 1

x 2 ? y2
2

2

.

3.复数的运算公式 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (a+c)+(b+d)i ; (1)z1+z2= _____________ (a-c)+(b-d)i ; (2)z1-z2= _____________ (ac-bd)+(ad+bc)i ; (3)z1?z2= _________________

(4)

z1 (a ? bi)(c ? di) ac ? bd bc ? ad ? ? 2 ? 2 i c ? di ? 0 ? . 2 2 ? z 2 (c ? di)(c ? di) c ? d c ?d

4.复数运算中常用的结论 (1)(1±i)2=±2i;
1? i ? i; 1? i (3)1 ? i ? ?i; 1? i

(2)

(4)-b+ai=i(a+bi);

(5)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,其中n∈N.

热点考向 一

向量的运算及应用

【典例】1.(2012?合肥模拟)已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角

为60°,则a+b在a方向上的投影为(
(A)2 (B)1 (C)
2 7 7

)

(D) 7
7

2.(2012?浙江高考)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10, 则 ___________. AB= AC

【解题指导】1.利用a+b在a方向上的投影为

(a ? b) a 求解. |a|

2.把向量 AB 与 AC 用 AM ,MB ,MC 表示后再求数量积. 【解析】1.选A.(a+b)· a=a2+a· b=2,故a+b在a方向上的投影为
(a ? b) a =2. |a|

2.∵ AB ? AM ? MB , AC ? AM ? MC , ∴ AB AC ? (AM ? MB) (AM ? MC) =AM2 ? MB MC =9-25=-16.

答案:-16

【拓展提升】 向量的运算及应用中的注意点 (1)灵活运用两向量平行或垂直的充要条件列方程; (2)涉及数量积和模的最值问题,通常有两种求解思路: 思路一:直接利用数量积的定义; 思路二:建立坐标系,通过坐标运算求解.

提醒:在利用数量积的定义计算时,要善于将相关向量分解为
图形中的已知向量进行计算.

【思想诠释】 向量的运算及应用中的转化与化归思想 (1)本例中的转化与化归思想主要是:
(a ? b) a . |a|

①本例第1题中把a+b在a方向上的投影转化为求

②本例第2题中把 AB , AC 通过数量积用可求的向量进行表示. (2)向量的运算及应用中运用转化与化归思想的常见类型: ①求平面向量的数量积时,常把待求向量转化为模和夹角已知 的向量.

②求平面向量的模时,常把模的平方转化为向量的平方.
ab ③求向量a在向量b方向上的投影时,转化为 来求. |b|

热点考向 二

复数的概念与运算
2 的 ?1 ? i

【典例】1.(2012?新课标全国卷)下面是关于复数 z ? 四个命题: p1:|z|=2; p3:z的共轭复数为1+i; p2:z2=2i; p4:z的虚部为-1.

其中的真命题为(
(A)p2,p3

)
(B)p1,p2

(C)p2,p4

(D)p3,p4

2.(2012?宿州模拟)已知a∈R,i为虚数单位,若 z ? a ? i ∈R,
3 ?i

则a等于( (A) ? 3 (C)-1

) (B) 3 (D) ? 3
3

3.(2012?洛阳模拟)设i为虚数单位,复数z1=1+i,z2=2+i,

则复数z1?z2在复平面内对应的点所在的象限为(
(A)第一象限 (C)第三象限 (B)第二象限 (D)第四象限

)

【解题指导】1.把复数z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再判断命题

的正确性.
2.把复数z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再根据复数的分类标准求

解.
3.先进行复数的乘法运算,得到a+bi(a,b∈R)的形式,再根据复 数的几何意义求解.

【解析】1.选C. z ?

2 2(?1 ? i) ? ? ?1 ? i, ?1 ? i (?1 ? i)(?1 ? i)

∴p1:|z|= 2 ,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为-1+i,p4:z的虚部为-1, 故选C. 2.选B. z ? (a ? i)( 3 ? i) ? 3a ? 1 ? 3 ? a i, 令 3 ? a ? 0 得 a ? 3.
4
( 3 ? i)( 3 ? i) 4 4

3.选A.z1?z2=(1+i)?(2+i)=1+3i,故复数z1?z2在复平面内对应的

点在第一象限.

【拓展提升】 复数的概念与运算问题的解题思路 (1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题,一般是先变 形,把复数的非代数形式化为代数形式,然后再根据条件,列方程 (组)求解.

(2)与复数z的模|z|和共轭复数 z 有关的问题,一般都要先设出
复数z的代数形式z=a+bi(a,b∈R),代入条件,用待定系数法解决.

(3)在有关复数z的等式中,可设出z=a+bi(a,b∈R),用待定系数法
求解,也可把z看成自变量直接求解.

热点考向 三

程序框图

【典例】1.(2012?哈尔滨模拟)下面的程序框图(图1)表示求 式子23?53?113?233?473?953的值, 则判断框内可以填的条 件为( ) (B)i≤100?

(A)i≤90?

(C)i≤200?

(D)i≤300?

2.(2012?广东高考)执行如图2所示的程序框图,若输入n的值

为8,则输出s的值为______________.

【解题指导】1.i值是各因式的底数,各底数均小于100. 2.依次运行相应的程序,可得正确结果. 【解析】1.选B.由程序框图知, i值是各因式的底数,最大值是 95,分析各选项可知判断框内可以填的条件为i≤100?.

2.运行程序:
s=1×2=2,i=2+2=4,k=1+1=2;4<8,

1 ×(2×4)=4,i=4+2=6,k=2+1=3;6<8, 2 s= 1 ×(4×6)=8,i=6+2=8,k=3+1=4,8=8, 3

s=

输出8.
答案:8

【拓展提升】 用程序框图描述算法的关注点 (1)读懂程序框图,弄清程序框图的基本结构. (2)解答有关循环结构的问题时,要写出每一次循环的结果,以 防止运行程序不彻底,造成错误.

热点考向 四

合情推理

【典例】1.(2012?江西高考)观察下列事实:|x|+|y|=1的不 同整数解(x,y)的个数为4, |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的 个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,…,则 |x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为( (A)76 (B)80 (C)86 (D)92 )

2.设函数f(x)= f1(x)=f(x)=

x 3x ? 4 x f3(x)=f(f2(x))= 7x ? 8 x f4(x)=f(f3(x))= 15x ? 16

x x?2

x (x>0),观察: x?2

f2(x)=f(f1(x))=


根据以上事实,由归纳推理可得 当n∈N*且n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))=______.

【解题指导】1.观察给出的三个等式,归纳出不同整数解的个 数. 2.先分析分母中常数项与n的关系,再分析分母中常数项与x的

系数的关系.

【解析】1.选B.由已知条件得,|x|+|y|=n(n∈N*)的不同整数 解(x,y)的个数为4n,故|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个 数为80.
x , x?2 x x x ? ? , f2(x)=f(f1(x))= 2 2 3x ? 4 ? 4 ? 1? x ? 4 2 ?1 x ? 2 x f3(x)=f(f2(x))= 7x ? 8 x x ? ? 3 , 3 ?8 ? 1? x ? 8 2 ? 1 x ? 2

2.由已知:f1(x)=f(x)=

?

?

?

?

f 4 ? x ? ? f ? f3 ? x ? ? ?

x 15x ? 16 x x ? ? 4 . 4 16 ? 1 x ? 16 ? ? ? 2 ? 1? x ? 2
x . n n ? 2 ? 1? x ? 2

猜想:f n ? x ? ?
答案:

x ? 2n ? 1? x ? 2n

【拓展提升】
合情推理的解题思路

(1)在进行归纳推理时,要先根据已知的部分个体,把它们适当
变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论. (2)在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程, 然后通过类比,推导出类比对象的性质. (3)归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性.

1.(角度新)执行如图所示的程序框图,若输出的结果是8,则 输入的数是( )

(A)2或 2 2 (C)-2或 ?2 2

(B) 2 2 或 ?2 2 (D)2或 ?2 2

【解析】选D.由程序框图知,
2 3 ? ? x ? 8, ? ? x ? 8, 或? 2 ? x ? 2或x ? ?2 2. ? 3 ? ?x ? 8 ? ? x ? 8,

2.(交汇新)在△ABC中,P是BC边中点,角A,B,C的对边分别是 a,b,c,若 cAC ? aPA ? bPB ? 0, 则△ABC的形状为( (A)直角三角形 (C)等边三角形 (B)钝角三角形 (D)等腰三角形但不是等边三角形 )

【解析】选C.由题意知 PB ? ?PC, cAC ? aPA ? bPB = c(PC
?PA) ? aPA ? bPB ? (a ? c)PA ? (b ? c)PB ? 0,

∴a-c=b-c=0,∴a=b=c.

3.(背景新)已知m∈R,复数 1 ? m 在复平面内对应的点在直线
i

x-y=0上,则实数m的值是( (A)-1 (B)0 (C)1

)

(D)2

【解析】选C.1即m=1.

m =1+mi.由题意知1-m=0, i

2 2 x y 4.(交汇新)已知双曲线C: ? ? 1 的左、右焦点分别为F1,F2, 4 5

P为C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则 PF1 PF2 等于( (A)24 (B)48 (C)50 (D)56

)

【解析】选C.△PF1F2中,|PF2|=|F1F2|=6,|PF1|=10,
5 5 ? cos?F1PF2 ? , PF1 PF2 ? 10 ? 6 ? ? 50. 6 6


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