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山东省潍坊市2014届高三数学第三次模拟考试 理

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山东省潍坊市 2014 届高三数学第三次模拟考试 理
本试卷共 4 页,分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 第 I 卷(选择题共 50 分) 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自已的姓名、准考证号、考试科目填写 在规定的位置上。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不得使用涂改液,胶带纸、 修正带和其他笔。 4.不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的,答案无效。 附参考公式: K 2 ? P(K >k0)
2

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.05 3.841 0.025 3.004 0.0l0 6.615 0.005 7.789 0.001 10.828

0.10 2.706

k0

一、选择题:本大题共 l0 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中。只有 一项是符合题目要求的.

x ? ( x 2 ? x)i 1.若复数 z ? (x∈R)为纯虚数,则 x 等于 i
A.1 B.0 C.-l D.0 或 1 B= 2.集合 A={-1,0,1,2),B={ x | |x|+|x ? 1| ? 2 },则 A A.{-1,0} C.{0,1,2}
2

B.{0,1} D.{-1,0,1,2}
a

3.函数 y ? ax ? bx 与函数 y ? x ? b(a ? 0) ,在同一坐标系中的图象可能为

-1-

4.设 n ?

?

?

2 0

1? ? 4sin xdx ,则二项式 ? x ? ? 的展开式的常数项是 x? ?

n

A.12 B.6 C.4 D.1 5.给出下列四个结论,其中正确的是 A. “a=3”是“直线 l1: a2 x ? 3 y ?1 ? 0 与直线 l2: x ? 3 y ? 2 ? 0 垂直”的充要条件 B.随机变量 ? ~N(0,1),若 P(| ? |≤l.96)=0.950,则 P( ? <1.96)=0.05
2 2 C.对于命题 P: ?x ∈R 使得 x ? x ? 1<0,则 P : ?x ∈R 均有 x ? x ? 1>0
?

D.在区间[0,1]上随机取一个数 x,则 sin

?
2

x 的值介于 0 到

1 1 之间的概率是 2 3

6.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该班 50 名学生进行了问卷调查,得到如 下图的 2×2 列联表. 喜爱打篮球 男生 女生 合计 则至少有 A.95% 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50

的把握认为喜爱打篮球与性别有关. B.99% C.99.5% D.99.9%

7.将函数 y ? sin 2x ? 3 cos 2x (x∈R)的图象向右平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图 象关于原点对称,则 m 的最小值为 A.

? 12

B.

? 6

C.

? 3

D. ?

5 6

8.在正四面体 ABCD 中,E,F,G 分别是 BC,CD,DB 的中点,下面四个结论中不正确的 是 A.BC//平面 AGF B.EG ? 平面 ABF C.平面 AEF ? 平面 BCD D.平面 ABF ? 平面 BCD 9.已知抛物线 y ? 4 x 的准线与双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两条渐近线分别交于 A,B a 2 b2

两点,O 点坐标原点,若双曲线的离心率为 2,则△AOB 的面积 S△AOB= A. 3 B.

9 3 16

C.

3 4

D.4 3

10.已知函数 f ( x ) 定义域为 D,若 ?a, b, c ? D , f (a), f (b), f (c) 都是某一三角形的三边 长,则称 f ( x ) 为定义在 D 上的“保三角形函数”,以下说法正确的个数有 ① f ( x ) =1(x∈R)不是 R 上的“保三角形函数”

-2-

②若定义在 R 上的函数 f ( x ) 的值域为[ 2 ,2],则 f ( x ) 一定是 R 上的“保三角形函 数” ③ f ( x) =

1 是其定义域上的“保三角形函数” x ?1
2

④当 t>1 时,函数 f ( x ) = e ? t 一定是[0,1]上的“保三角形函数”
x

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

第Ⅱ卷 (非选择题共 100 分) 注意事项: 将第Ⅱ卷答案用 0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.执行如图所示程序框图,那么输出 S 的值是 . 12.正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 3 ,则直线 BC1 与平面 AA1B1B 所成角的 正切值为 .

?x ? y ? 6 ? 0 y ? 13.设实数 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 ? ? 的取值范围 x ? x?2 ?



2 2 14 . 若 直 线 y ? k x 与 圆 ( x ? 2) ? y ? 1 的 两 个 交 点 关 于 直 线 2 x ? y ? b ? 0 对 称 , 则

k+b=

. 15.15.如图,C、D 是两个小区所在地,C、D 到一条公路 AB 的垂 直距离分别为 CA=lkm,DB=2km,A,B 间的距离为 3km.某公交公司 要在 AB 之间的某点 N 处建造一个公交站台,使得 N 对 C、D 两个小 区的视角 ? CND 最大,则 N 处与 A 处的距离为 km. 三、解答题:本大题共 6 小题。共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

-3-

已知△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 向量 m=(

a , c-2b), 向量 n=(sin2C, sin C

1),且满足 m ? n. (I)求 A; (II)若 a=1,求△ABC 的周长的最大值. 17.(本小题满分 l2 分) 某单位有车牌尾号分别为 0、5、6 的汽车各一辆,分别记为 A、B、C.已知在非限行日, 根据工作需要每辆车每天可能出车或不出车,A、B、C 三辆车每天出车的概率依次为

2 2 、 、 3 3

1 ,且 A、B、C 三车出车相互独立;在限行日,不能出车。该地区汽车限行规定如下: 2
车牌尾号 限行日 0和5 星期一 1和6 星期二 2和7 星期三 3和8 星期四 4和9 星期五

(I)求该单位在星期四恰好出车两台的概率;

(Ⅱ)设 X 表示该单位在星期一 与星期二两天的出车台数之和,求 X 的分布列及其数学期望 E(X). 18.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,PA ? 平面 ABCD,△ABC 是正三角形,AC 与 BD 的交点 M 是 AC o 的中点,点 N 在线段 PB 上,且 ? CAD=30 ,PA=AB=4。 (I) 当 MN//平面 PDC 时,求

BN 的值; NP

(II)当 N 为 PB 的中点时,求二面角 N—AC—P 的余弦值. 19.(本小题满分 12 分) 2014 年年初,某微小企业开发某项新产品,先期投入 5 万元启动资金,计划两年内逐月 增加投入,已知 2014 年 1 月份投入资金 0.1 万元,以后每月均比上个月多投入资金 0.1 万

? n ,n ? [1,12], n ? N * . ? ? 5 元.若该产品每个月的利润组成数列{an}, an ? ? ? 5 ,n ? [13, 24], n ? N * . ? ?2
-4-

(I)求前 n 个月的利润总和; (Ⅱ)记第 n 个月的利润率 bn ? 率最大?并求出最大利润率. 20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a, g ( x) ? x ? a . (I)若直线 y ? g ( x) 恰好为曲线 y ? f ( x) 的切线时,求 a 的值; (II) 当 a>0 时,若函数 F ( x) ? f ( x) g ( x) 在区间[ e
? 1 2

第n月利润 , 求两年内哪一个月的利润 前n ? 1个月投入的资金总和

,1]上不单调,求 a 的取值范围;

(Ⅲ)若 a ? Z 且 xf ( x) ? g ( x) ? 0 对一切 x>1 恒成立,求 a 的最小值. 21.(本小题满分 14 分)

a b x2 y 2 x2 y 2 若椭圆 E1: 2 ? 2 ? 1 和椭圆 E2: 2 ? 2 ? 1 满足 2 ? 2 ? m(m ? 0) ,则称这两个 a1 b1 a1 b1 a2 b2
椭圆相似,m 称其为相似比. (I)求经过点(

2 3 , ),且与椭圆 C1: x2 ? 2 y 2 ? 1 相似的椭圆 C2 的方程; 2 2

(Ⅱ)设过原点的一条射线 l 分别与(I)中的椭圆 C1、C2 交于 A、B 两点,求|OA|·|OB|的取 值范围; (III)设直线 l1:y=kx 与(I)中的椭圆 C2 交于 M、N 两点(其中点 M 在第一象限),且直线 l1 与直线 l2:x=t(t>0)交于点 D,过 D 作 DG//MF(F 为椭圆 C2 的右焦点)且交 x 轴于点 G.证明 直线 MG 与椭圆 C2 只有一个公共点,求 t 的值.

-5-


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