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2012年高考真题文科数学汇编:三角函数


2012 高考试题分类汇编:三角函数
一、选择题
1.【2012 高考安徽文 7】要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象 (A) 向左平移 1 个单位 (B) 向右平移 1 个单位 (C) 向左平移 【答案】C 2.【2012 高考新课标文 9】已知 ω>0, 0 ? ? ? ? ,直线 x ?

轴,则 φ= π (A)4 【答案】A π (B)3 π (C)2 3π (D) 4

1 个单位 2

(D) 向右平移

1 个单位 2

?
4

和x ?

5? 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称 4

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为 3.【2012 高考山东文 8】函数 y ? 2sin ? 3? ? 6

(A) 2 ? 3 【答案】A

(B)0

(C)-1

(D) ?1 ? 3

4.【2012 高考全国文 3】若函数 f ( x) ? sin (A)

? 2

(B)

2? 3

x ?? (? ? [0, 2? ]) 是偶函数,则 ? ? 3 3? 5? (C) (D) 2 3 3 ,则 sin 2? ? 5 12 24 (C) (D) 25 25

【答案】C 5.【2012 高考全国文 4】已知 ? 为第二象限角, sin ? ? (A) ?

24 25

(B) ?

12 25

【答案】B

sin 47 ? sin17 cos 30 cos17 1 1 3 3 (A) ? (B) ? (C) (D) 2 2 2 2
6.【2012 高考 重庆文 5】 【答案】C 7.【2012 高考浙江文 6】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

【答案】A

8.【 2012 高考上海文 17】在△ ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则△ ABC 的形状是(
2 2 2



A、钝角三角形

B、直角三角形

C、锐角三角形

D、不能确定

【答案】A 9.【2012 高考四川文 5】如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连接 EC 、 ED 则 sin ?CED ?
D C

( (1)



E

A

B

3 10 10

B、

10 10

C、

5 10

D、

5 15

【答案】B 10.【2012 高考辽宁文 6】已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π ),则 sin 2? = (A) ? 1 【答案】A 【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题。 11.【2012 高考江西文 4】若 A. (B) ?

2 2

(C)

2 2

(D) 1

3 4

B.

3 4

C. -

4 3

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α= sin ? ? cos ? 2 4 D. 3

【答案】B 12.【2012 高考江西文 9】已知 f ( x) ? sin ( x ?
2

?

1 ) 若 a=f(lg5) , b ? f (lg ) 则 4 5

A.a+b=0 【答案】C

B.a-b=0

C.a+b=1

D.a-b=1

13.【2012 高考湖南文 8】 在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等于 A.

3 2

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4

【答案】B 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常 考内容. 14.【2012 高考湖北文 8】设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且 A >B>C,3b=20acosA,则 sinA∶sinB∶sinC 为 A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4
[来源:Zxxk.Com]

【答案】D 【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值,明显是要利用 正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.

15.【2012 高考广东文 6】在△ ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC ? A. 4 3 【答案】B 16.【2102 高考福建文 8】函数 f(x)=sin(xA.x= B. 2 3 C.

3

D.

3 2

? 4

B.x=

? 2

C.x=-

? 4

? )的图像的一条对称轴是 4 ? D.x=2
?
3? 4

【答案】C. 17.【2012 高考天津文科 7】将函数 f(x)=sin ? x(其中 ? >0)的图像向右平移 个单位长度,所得图像经过点(
4

,0) ,

则 ? 的最小值是 (A) 【答案】D
1 3

(B)1

C)

5 3

(D)2

二、填空题
? ?? 4 ? 18.【2012 高考江苏 11】 (5 分)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2 a ? ) 的值为 ▲ . 6? 5 12 ?
【答案】

17 2。 50

【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。 19.【2102 高考北京文 11】在△ABC 中,若 a=3,b= 3 ,∠A= 【答案】 90 ?
[来源:学科网]

? ,则∠C 的大小为_________。 3

20.【2102 高考福建文 13】在△ABC 中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°, BC ? 3 ,则 AC=_______. 【答案】 2 . 21.【2012 高考全国文 15】当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时, x ? ___________. 【答案】

5? 6

cos C ? 22. 【2012 高考重庆文 13】 设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 a =1,b=2,
【答案】

1 ,则 sin B ? 4

15 4

23.【2012 高考上海文 3】函数 f ( x) ? 【答案】 ?

sin x 2 的最小正周期是 ?1 cos x

24.【2012 高考陕西文 13】在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2 ,B= 【答案】2.
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

? ,c=2 3 ,则 b= 6

.

三、解答题

25.【2012 高考浙江文 18】 (本题满分 14 分)在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 bsinA= 3 acosB。 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. 【答案】 【解析】 (1)

bsinA= 3 acosB,由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B ,即得 tan B ? 3 ,? B ?
2 2

?
3

. ,解得

2 2 2 (2) sinC=2sinA,由正弦定理得 c ? 2a ,由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 9 ? a ? 4a ? 2a ? 2a cos

?
3

a ? 3 ,?c ? 2a ? 2 3 .
26.【2012 高考安徽文 16】 (本小题满分 12 分) 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, ,且有

2 sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C 。
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长。 【答案】 【解析】
[来源:Zxxk.Com]

27.【2012 高考山东文 17】(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C . (Ⅰ)求证: a , b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S. 【答案】 (I)由已知得:
sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C , sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C , sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b 2 ? ac , 所以 a , b, c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 , ∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4
7 , 4 1 1 7 7 ac sin B ? ? 1 ? 2 ? ? . 2 2 4 4

sin C ? 1 ? cos 2 C ?

∴△ ABC 的面积 S ?

28.【2012 高考湖南文 18】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

的部分图像如图 5 所示.

?

12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

【答案】

11? 5? 2? ? ) ? ? ,?? ? ? 2. 12 12 T 5? 5? 5? , 0) 在函数图像上,所以 A sin(2 ? ? ? ) ? 0, 即sin( ? ? ) ? 0 . 因为点 ( 12 12 6 ? ? 5? 5? 4? 5? ? ?? ? , 从而 ? ? =?, 又 0 ? ? ? ,? 即? = . 6 2 6 6 3 6
【解析】 (Ⅰ)由题设图像知,周期 T ? 2(

? 1, A ? 2 ,故函数 f(x)的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ). 6 6 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? g ( x) ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? (Ⅱ) ? ? 12 ? 6 ? ? ? 12 ? 6 ?

(0,1) 又点 在函数图像上,所以 A sin

?

?

? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3 1 3 ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x
? 2sin(2 x ? ), 3
由 2 k? ?

?

?

?

2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? , k ? z. 12

? 5? ? ? ? g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? , k ? z. 12 12 ? ?
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期 T ? 2(

再 利 用 特 殊 点 在 图 像 上 求 出 ?, A , 从 而 求 出 f ( x ) 的 解 析 式 ; 第 二 问 运 用 第 一 问 结 论 和 三 角 恒 等 变 换 及

11? 5? 2? ? ) ? ? , 从而求得 ? ? ?2. 12 12 T

y ? A sin(? x ? ? ) 的单调性求得. 29.【2012 高考四川文 18】(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? cos
2

x x x 1 ? sin cos ? 。 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?

3 2 ,求 sin 2? 的值。 10

命题立意:本题主要考查三角函数的性质、两角和的正余弦公式、二倍角公式等基础知识,考查基本运算能力以及化 归与转化的数学思想. 【解析】

30.【2012 高考广东文 16】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A cos ? (1)求 A 的值;

?x ?? ? ? , x ? R ,且 ?4 6?

?? ? f ? ?? 2 ?3?

2 ? 8 ? f ? 4? ? ? ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 3 ? 5 ? ? 2 ?? ? ?? ?? 【答案】 (1) f ? ? ? A cos ? ? ? ? A cos ? A ? 2 ,解得 A ? 2 。 4 2 ?3? ? 12 6 ? 15 4 ? ? ?? ?? 30 ? ? ? (2) f ? 4? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? ,即 sin ? ? , 17 3 ? 3 6? 2? 17 ? ? ? 4 2 ? ? ?? 8 ? ? f ? 4? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ,即 cos ? ? 。 5 3 ? 6 6? 5 ? ?
(2)设 ? ? ? ? ?0,

4 ? 30 ? ?? ? , f ? 4? ? ? ? ? ? , ? 3 ? 17 ? 2? ?

8 3 ? ?? 2 2 cos ? ? 1 ? sin ? ? sin ? ? 1 ? cos ? ? ,所以 , , 17 5 ? 2? ? 8 4 15 3 13 ? ? ? ?? 。 所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 17 5 17 5 85
因为 ? ? ? ? ?0, 31.【2012 高考辽宁文 17】(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 【答案】

【解析】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及 等差、等比数列的定义,考查转化思想和 运算求解能力,属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得 到边之间的关系,再来求最后的结果。 32.【2012 高考重庆文 19】 (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分)设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其 中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )在 x ? 式; (II)求函数 g ( x ) ?
4

?

6 6 cos x ? sin 2 x ? 1

处取得最大值 2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为 的值域。

? (I)求 f ( x ) 的解析 2

f (x ? ) 6
【答案】 (Ⅰ) ? ? 【解析】

?

?
6

(Ⅱ) [1, )

7 4

7 5 ( , ] 4 2

1 1 (cos 2 x ? ) 因 cos2 x ?[0,1] ,且 cos 2 x ? 2 2 7 7 5 故 g ( x) 的值域为 [1, ) ( , ] 4 4 2 ?
33.【2012 高考新课标文 17】 (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = (1) 求 A (2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c 【答案】 3asinC-ccosA

3 cos 2 x ? 1 2

34.【2102 高考北京文 15】 (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

(1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递减区间。 (sin x ? cos x)sin 2 x (sin x ?cos x)2sin xcos x 【答案】 f ( x) ? ? ? 2(sin x ? cos x)cos x sin x sin x π? ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 , ? x | x ? kπ ,k ? Z? 4? ? 。 (1)原函数的定义域为 ?x | x ? kπ , k ? Z? ,最小正周期为 π .

3π ? π ? ? ? kπ ? k ? Z , ? kπ , ? kπ ? k ? Z 。 (2)原函 数的单调递增区间为 ? ? ? kπ , 8 ? ? ? 8 ?

35.【2012 高考陕西文 17】 (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为

? , 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0, 【答案】

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2

?

36.【2012 高考江苏 15】 (14 分)在 ?ABC 中,已知 AB AC ? 3BA BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

【答案】解: (1)∵ AB AC ? 3BA BC ,∴ AB AC cos A=3BA BC cos B ,即 AC cos A=3BC cos B 。 由正弦定理,得

AC BC ,∴ sin B cos A=3sin A cos B 。 = sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 。∴ 即 tan B ? 3tan A 。 =3 cos B cos A
? 5? 5 2 5 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? = (2)∵ cos C ? 。∴ tan C ? 2 。 ? ? ? 5 5 ? 5 ?
2

tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A tan B 4tan A 1 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1, tan A= ? 。 2 1 ? 3tan A 3
∴ tan ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴ ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A=

?
4



【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。 【解析】 (1)先将 AB AC ? 3BA BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同 角三角函数关系式证明。

(2)由 cos C ?

5 ,可求 tan C ,由三角形三角关系,得到 tan ? ?? ? ? A ? B?? ? ,从而根据两角和的正切公式和 5

(1)的结论即可求得 A 的值。 37.【2012 高考天津文科 16】 (本小题满分 13 分) 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的分别是 a,b,c。 已知 a=2.c= 2 ,cosA= (I)求 sinC 和 b 的值; (II)求 cos(2A+ 【答案】

2 . 4

д )的值。 3

38.【2012 高考湖北文 18】 (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= 的图像关于直线 x=π 对称,其中 为常数,且

1.求函数 f(x)的最小正周期; 2.若 y=f(x)的图像经过点 【答案】 ,求函数 f(x)的值域。

【解析】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式,辅助角公 式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一 般运用公式 T ?

2?

?

来求解;求三角函数的值域, 一般先根据自变量 x 的范围确定函数 ? x ? ? 的范围.来年需注意三角函

数的单调性,图象变换,解三角形等考查. 39.【2012 高考全国文 17】(本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 成等差数列,其对边 a 、 b 、 c 满足 2b2 ? 3ac ,求 A 。
[来源:学+科+网]

【答案】


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