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二次函数与二次方程


二次函数与一元二次方程
知识要点梳理:
2

一 元 二 次 方 程 ax +bx+c=0(a ≠ 0) 的 解 的 情 况 等 价 于 抛 物 线
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y=ax +bx+c(c≠0)与直线 y=0(即 x 轴)的公共点的个数。抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴的 公共

点有三种情况:两个公共点(即有两个交点) ,一个公共点,没有公共点,因此有: (1)抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴有两个公共点(x1,0)(x2,0) 2 有两个不等实根 △=b -4ac>0。
2

一元二次方程 ax +bx+c=0

2

(2)抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴只有一个公共点时,此公共点即为顶点

2

一元

二次方程 ax +bx+c=0 有两个相等实根, (3)抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴没有公共点 2 △=b -4ac<0.
2 2

2

一元二次方程 ax +bx+c=0 没有实数根 方程 ax +bx+c=h 的根的情
2 2

2

(4)事实上,抛物线 y=ax +bx+c 与直线 y=h 的公共点情况 况。 抛物线 y=ax +bx+c 与直线 y=mx+n 的公共点情况 典例精讲
2

方程 ax +bx+c=mx+n 的根的情况。

例 1 ( 2008 枣 庄 ) 在 直 角 坐 标 平 面 中 , O 为 坐 标 原 点 , 二 次 函 数

y ? ? x2 ? (k ? 1) x ? 4 的图象与 y 轴交于点 A, 与 x 轴的负半轴交于点 B, 且 S?B A O
(1)求点 A 与点 B 的坐标; (2)求此二次函数的解析式; (3)如果点 P 在 x 轴上,且△ABP 是等腰三角形,求点 P 的坐标.

?6.

例 2 已知二次函数 y=x2-〔m2+8〕x+2〔m2+6〕, ⑴求证;不论 m 取任何实数,此函数图象都与 x 轴有两个交点,且两个交点都在 x 轴的 正半轴上。 ⑵设抛物线顶点为 A,与 X 轴交于 B,C 两点, 问是否存在实数 M,使三角形 ABC 为等腰直 角角形?如果存在,求出 M 的值;如果不存在,请说明理由。

例 3(2009 遂宁)如图,二次函数的图象经过点 D(0, 7 3 ),且顶点 C 的横坐标为 4, 9 该图象在 x 轴上截得的线段 AB 的长为 6. ⑴求二次函数的解析式;⑵在该抛物线的对称轴上找一点 P,使 PA+PD 最小,求出点 P 的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点 Q,使△QAB 与△ABC 相似?如果存在,求出点 Q 的坐标;如果 不存在,请说明理由.

基础练习 1.不论 x 为何值,二次函数 y=ax +bx+c 的值恒为负的条件(
2 2 2 2

) 。
2

A.a>0,b -4ac<0 B .a>0,b -4ac>0 C. a<0,b -4ac<0 D. a<0,b -4ac>0 2.已知关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的一个根为 x1=1,且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直 线 x=2,则抛物线的顶点坐标为( ) 。 2 3.已知二次函数 y=-x +(3-k)x+2k-1 的图像与 y 轴的交点位于(0,1)的上方,则 k 的取值 范围( ) 。 4.对于每个非零自然数 n, 抛物线 y ? x ?
2

2n ? 1 n( n ? 1)

x?

1 n( n ? 1)

与 x 轴交于 An、 Bn 两点, 以 An Bn ) 。

表示这两点间的距离,则 A 1B 1?A 2 B2 ? ? ? A2009 B2009 的值是( A.

2009

2008 2009 2009 2010 2 5.设函数 y=x ﹣(k+1)x﹣4(k+5)的图象如图所示,它与 x 轴交于 A、B 两点,且线段 OA 与 OB 的长的比为 1:4,则 k= _________ .

B.

2008

C.

2010

D.

2009

6. ( 2010 包头)已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交于点 (?2, 0) 、 ( x1, 0) ,且

2) 的下方.下列结论:① 4a ? 2b ? c ? 0 ;② 1 ? x1 ? 2 ,与 y 轴的正半轴的交点在 (0,

a ? b ? 0 ;③ 2a ? c ? 0 ;④ 2a ? b ? 1 ? 0 .其中正确结论的个数是
2

个.

7. ( 2010 自贡 ) y=x +( 1 - a ) x + 1 是关于 x 的二次函数,当 x 的取值范围是 1 ≤ x ≤ 3 时, y 在 x =1 时取得最大值,则实数 a 的取值范围是( A.a=5 B.a≥5 C.a=3 ) 。 D.a≥3

8. ( 2008 武汉)下列命题:①若 a ? b ? c ? 0 ,则 b2 ? 4ac ? 0 ; ②若 b ? a ? c ,则一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 有两个不相等的实数根;
2 ③若 b ? 2a ? 3c ,则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有两个不相等的实数根;

2 ④若 b ? 4ac ? 0 ,则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3.

其中正确的是( ) . A.只有①②③B.只有①③④C.只有①④D.只有②

能力提升
1、 (2011?荆州)如图,等腰梯形 ABCD 的底边 AD 在 x 轴上,顶点 C 在 y 轴正半轴上,B 2 (4,2) ,一次函数 y=kx﹣1 的图象平分它的面积,关于 x 的函数 y=mx ﹣(3m+k)x+2m+k 的图象与坐标轴只有两个交点,求 m 的值.

2、 (2011?南京)已知函数 y=mx ﹣6x+1(m 是常数) . (1)求证:不论 m 为何值,该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点; (2)若该函数的图象与 x 轴只有一个交点,求 m 的值.

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3、 (2011?新疆)已知抛物线 y=﹣x +4x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点左侧) ,顶 点为 P. (1)求 A、B、P 三点的坐标; (2)在直角坐标系中,用列表描点法作出抛物线的图象,并根据图象写出 x 取何值时,函 数值大于零; (3)将此抛物线的图象向下平移一个单位,请写出平称后图象的函数表达式. x y

2

4、 (2010?镇江)已知二次函数 y=x +2x+m 的图象 C1 与 x 轴有且只有一个公共点. (1)求 C1 的顶点坐标; (2) 将 C1 向下平移若干个单位后, 得抛物线 C2, 如果 C2 与 x 轴的一个交点为 A (﹣3, 0) , 求 C2 的函数关系式,并求 C2 与 x 轴的另一个交点坐标; (3)若 P(n,y1) ,Q(2,y2)是 C1 上的两点,且 y1>y2,求实数 n 的取值范围.

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5、 (2010?咸宁)已知二次函数 y=x +bx﹣c 的图象与 x 轴两交点的坐标分别为(m,0) , (﹣ 3m,0) (m≠0) . (1)证明 4c=3b ; (2)若该函数图象的对称轴为直线 x=1,试求二次函数的最小值.
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6、 (2010?十堰)已知关于 x 的方程 mx ﹣(3m﹣1)x+2m﹣2=0. (1)求证:无论 m 取任何实数时,方程恒有实数根; (2)若关于 x 的二次函数 y=mx ﹣(3m﹣1)x+2m﹣2 的图象与 x 轴两交点间的距离为 2 时,求抛物线的解析式; (3)在直角坐标系 xoy 中,画出(2)中的函数图象,结合图象回答问题:当直线 y=x+b 与(2)中的函数图象只有两个交点时,求 b 的取值范围.
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7、 (2010?汕头)已知二次函数 y=﹣x +bx+c 的图象如图所示,它与 x 轴的一个交点坐标为 (﹣1,0) ,与 y 轴的交点坐标为(0,3) . (1)求出 b,c 的值,并写出此二次函数的解析式; (2)根据图象,写出函数值 y 为正数时,自变量 x 的取值范围.

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8、 (2010?娄底)已知:二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其中点 A 的坐标是(﹣2,0) ,点 B 在 x 轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,线段 2 OB、OC 的长(OC<OB)是方程 x ﹣10x+24=0 的两个根. (1)求 B、C 两点的坐标; (2)求这个二次函数的解析式.

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9、 (2009?肇庆)已知一元二次方程 x +px+q+1=0 的一根为 2. (1)求 q 关于 p 的关系式; (2)求证:抛物线 y=x +px+q 与 x 轴有两个交点; 2 (3)设抛物线 y=x +px+q 的顶点为 M,且与 x 轴相交于 A(x1,0) 、B(x2,0)两点,求 使△AMB 面积最小时的抛物线的解析式.
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10、 (2009?黔东南州)已知二次函数 y=x +ax+a﹣2. (1)求证:不论 a 为何实数,此函数图象与 x 轴总有两个交点; (2)设 a<0,当此函数图象与 x 轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式; (3)若此二次函数图象与 x 轴交于 A、B 两点,在函数图象上是否存在点 P,使得△PAB 的面积为,若存在求出 P 点坐标,若不存在请说明理由.

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11、 (2009?宁夏)如图,抛物线 y=﹣x +x+2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点. (1)求 A、B、C 三点的坐标; (2)证明△ABC 为直角三角形; (3)在抛物线上除 C 点外,是否还存在另外一个点 P,使△ABP 是直角三角形,若存在, 请求出点 P 的坐标,若不存在,请说明理由.

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12、 (2008?长春) 已知两个关于 x 的二次函数 y1 与 y2, y1=a (x﹣k)+2 (k>0) , y1+y2=x +6x+12; 当 x=k 时,y2=17;且二次函数 y2 的图象的对称轴是直线 x=﹣1. (1)求 k 的值; (2)求函数 y1,y2 的表达式; (3)在同一直角坐标系内,问函数 y1 的图象与 y2 的图象是否有交点?请说明理由.

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13、 (2009?黄石)已知关于 x 的函数 y=ax +x+1(a 为常数) (1)若函数的图象与 x 轴恰有一个交点,求 a 的值; (2)若函数的图象是抛物线,且顶点始终在 x 轴上方,求 a 的取值范围.

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14、 (2009?娄底)已知关于 x 的二次函数 y=x ﹣(2m﹣1)x+m +3m+4. (1)探究 m 满足什么条件时,二次函数 y 的图象与 x 轴的交点的个数; (2)设二次函数 y 的图象与 x 轴的交点为 A(x1,0) ,B(x2,0) ,且 x1 +x2 =5,与 y 轴 的交点为 C,它的顶点为 M,求直线 CM 的解析式.
2 2

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15、 (2008?北京)已知:关于 x 的一元二次方程 mx ﹣(3m+2)x+2m+2=0(m>0) . (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两个实数根分别为 x1,x2(其中 x1<x2) .若 y 是关于 m 的函数,且 y=x2﹣ 2x1,求这个函数的解析式; (3) 在 (2) 的条件下, 结合函数的图象回答: 当自变量 m 的取值范围满足什么条件时, y≤2m.

2

2 16、 (2009 孝感)已知抛物线 y ? x ? kx ?

3

4 (1)证明:此抛物线与 x 轴总有两个交点; (2)设抛物线与 x 轴交于 M、N 两点,若这两点到原点的距离分别为 OM、ON,且 1 1 2 ? ? ,求 k 的值. ON OM 3

k 2 (k 为常数,且 k>0) .

17、. 已知:二次函数 y ? x 2 ? 2(m ? 1) x ? 1 ? m 的图像与 x 轴交于 A( x1 ,0) 、B( x2 , 0) , x1 <0< x2 ,与 y 轴交于点 C,且满足

1 1 2 ? ? AO BO CO

⑴ 求这个二次函数的解析式; ⑵ 是否存在着直线 y=kx+b 与抛物线交于点 P、Q,使 y 轴平分△CPQ 的面积?若存在, 求出 k、b 应满足的条件;若不存在,请说明理由.

18、 (2008 北京) .在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? x ? bx ? c 与 x 轴交于 A,B 两
2

点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C ,点 B 的坐标为 (3, 0) ,将直线 y ? kx 沿 y 轴向 上平移 3 个单位长度后恰好经过 B,C 两点. (1)求直线 BC 及抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为 D ,点 P 在抛物线的对称轴上,且 ?APD ? ?ACB ,求点 P 的坐 标; y (3)连结 CD ,求 ?OCA 与 ?OCD 两角和的度数 4 3 2 1 -2 -1 O -1 -2 1 2 3 4 x

19、 (2010 厦门) 在平面直角坐标系中, 点 O 是坐标原点, 点 P(m, ?1) (m ? 0) 。 连结 OP , 将 线 段 OP 绕 点 O 按 逆 时 针 方 向 旋 转 90 ° 得 到 线 段 OM , 且 点 M 是 抛 物 线

y ? ax2 ? bx ? c 的顶点
( 1)若 m ? 1 ,抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 经过点(2,2) ,当 0 ? x ? 1 时,求 y 的取 值范围; (2)已知点 A (1,0) ,若抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 y 轴交于点 B ,直线 AB 与抛 物线 y ? ax2 ? bx ? c 有且只有一 个交点,请判断 ? BOM 的形状,并说明理由


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