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2016届高考数学考点专项突破复习讲义:复数(PDF版)

时间:2015-09-18






教 师:苗金利


一、学好高中数学的诀窍
兴趣 + 毅力 + 方法

二、科学的高三数学复习方法
(一)高中数学应注意的几个问题 (1)以函数为主轴、切实提高运算能力。 (2)加深对方程思想方法的理解。 (3)树立信心、狠抓落实;非智力因素是高考成功的重要保证。 (4)实践能力和创新意识。 (二)数学家的思维方法 匈牙利数学家路沙·彼得 (1)假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴,你想烧开水,请问应当怎样去做? (2)如果已知水壶里已经有了足够数量的水,其他条件不变;你想烧开水,请问你准备怎样去做? 总结:怎样解数学题:

(三)高中数学六法与六个思想: 六个通法 (1)配方法 六个思想 (1)函数与方程的思想 (2)换元法 (2)数与形结合的思想 (3)待定系数法 (3)分类与整合的思想 (4)判别式法 (4)化规与转化的思想 (5)反证法 (5)特殊与一般的思想 (6)割补法 (6)或然与必然的思想 逻辑思维 (1)分析与综合 (2)归纳与演绎 (3)比较与类比 (4)具体与抽象 (四)树立信心,狠抓落实,非智力因素是高考成功的重要保证。

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复 数
考点内容: 一、 复数的概念及代数形式 1. 数的扩展:

2. 复数定义:

3. 复数的代数表达式: z = a + bi ( a, b ∈ R )

4. 复数相等: a + bi = c + di ? a = c, 且b = d

5. 共轭与相反:

6. 代数运算法则

举例: 例 1.设复数 z = lg m ? 2m ? 2 + m + 3m + 2 i ,实数 m 取何值时
2 2

(

) (

)

(1) z 是纯虚数; (2) z 是实数; (3) z 对应的点位于复平面的第二象限。

例 2.已知 x, y 互为共轭复数,且 x + y
2

(

2

) ? 3xyi = 4 ? 6i ,求 x + y 。

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例 3.已知 z ∈ C ,解方程 z ? z = 3iz + 1 + 3i .

例 4.已知 z = ?

1+ i 100 50 ,求 z + z + 1 的值. 2

例 5.已知 z = ?

2 1 + 3i

,求 1 + z + z + ... + z
2

2009

的值.

二、复数集上的代数方程 1、一元 n 次方程有 n 个根 2、一元二次方程的求根公式 3、韦达定理的应用 4、实系数方程虚根成对出现 5、可灵活运用复数开方、复数相等、待定系数法及几何意义等解决方程问题

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举例: 例 6. a, b, c, d ∈ R ,讨论方程 x + ( a + bi ) x + c + di = 0 有实根的条件.
2

例 7.已知,1+ i 是实系数方程 x + 3 x ? 2ax + b = 0 的根,求其余的根.
4 2

三、复数与几何 1. z1 ? z2 表示复平面内对应于 z1 , z2 的两点的距离。 2.利用复数这一工具,体会数形结合的思想,变形与转化的思想;体会解析几何中常见曲线的复数 方程在解题中的运用。 说明:求轨迹的常见方法: (1) 取模法:利用复平面上基本轨迹方程,探求所求轨迹上的点对应的复数具有的特征及满足复 数形式的方程,有时只需直接对复数取模; (2) 设 z = x + yi ( x, y ∈ R ) ,再利用复数相等的定义列出 x,y 满足的关系式,整理即得所求点的 轨迹方程; 举例: 例 8.在复平面内,点 P、Q 所对应的复数分别为 z1 , z2 ,且 z2 = 2 z1 + 3 ? 4i, 迹.

z1 = 1 ,求 Q 点的轨

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例 9.已知集 A = z z ? 2 ≤ 2, z ∈ C , B = ?ω

{

}

?

?

ω=

1 ? zi + b.b ∈ R, z ∈ A? , 2 ?

当 A ∩ B = B 时,求 b 的值.

复数练习题 1.设 z 是复数, a ( z ) 表示满足 z = 1 的最小正整数 n ,则对虚数单位 i , a (i ) = (
n



A.8

B.6

C.4 ) C. 1 ? i ) C.第三象限

D.2

2.设 z = 1 + i ( i 是虚数单位) ,则 A. ?1 ? i

2 2 +z =( z B. ? 1 + i

D. 1 + i

3.在复平面内,复数 z = i (1 + 2i ) 对应的点位于( A.第一象限 4.复数 B.第二象限 ) B. 1 ? 2i )

D.第四象限 w.w

3?i 等于( 1? i A. 1 + 2i

C. 2 + i w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C. 3 + i

D. 2 ? i

5.已知

z = 2 + i ,则复数 z =( 1+i
B. 1 ? 3i

A. ?1 + 3i 6.i 是虚数单位,若 A.-15
2

D. 3 ? i ) D.15 )

1 + 7i = a + bi (a, b ∈ R) ,则乘积 ab 的值是( 2?i
B.-3 C.3

7.若复数 z = ( x ? 1) + ( x ? 1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为(

B. 0 C. 1 D. ?1 或 1 w.w.w.k A. ?1 8.投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数(m+ni)(n ? mi)为实数的概率为( A.



1 3

B.

1 4

C.

1 6

D.

1 w.w.w.k.s.5 12

,则其共轭复数 z =_______ . 9.若复数 z 满足 z (1 + i ) = 1 ? i (i 是虚数单位)

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参考答案
例 1.
2 ? ?lg(m ? 2m ? 2) = 0 (1) ? 2 ? ?m + 3m + 2 ≠ 0 2 ? ?m + 3m + 2 = 0 (2) ? 2 ? ? m ? 2m ? 2 > 0 2 ? ?lg(m ? 2m ? 2) < 0 (3 ) ? 2 ? ?m + 3m + 2 > 0

m=3

例 2. 设 x=a+bi(a,b∈R) ∴y=a?bi. ∴原式为:2(a2?b2)?3(a2+b2)i=4?6i. 例 3. 设 z=x+yi(x,y∈R) ∴x2+y2=3i(x?yi)+1+3i ∴x2+y2=(1+3y)+(3x+3)i
2 2 ? ?2(a ? b ) = 4 ∴? 化简可得 a、b ,得 x + y = 2 2 2 2 ? ??3(a + b ) = ?6

? x2 + y 2 = 1 + 3 y ? x = ?1 ∴? ∴? ? y = 0,3 ?3 + 3x = 0
例 4.

∴z1=?1,z2=?1+3i

z

100

? 1+ i ? +z +1 = ? ? ? 2 ? ?
50

100

? 1+ i ? +?? ? +1 2? ?
25

50

?? 1 + i ? 2 ? ?? 1 + i ? 2 ? = ?? ? ? + ?? ? ? +1 ? ? ?? 2 ? ? ? ?? 2 ? ? ? = i 50 + i 25 + 1 = ?1 + i + 1 = i
例 5.

50

z=?

2 1 + 3i

=

1 1 3 i ? ? 2 2

=

1 =w w

∴1+w+w2+…+w2009=0
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例 6. 当 b=d=0 时,方程为 x2+ax+c=0. Δ =a2?4c≥0 时,方程有实根. 当 b、d 不全为 0,令 x∈R,得 x2+ax+c+(bx+d)i=0 ① ②

? x 2 + ax + c = 0 ?? ?bx + d = 0

由②,若 b=0,则 d≠0 不成立,故 b≠0∴ x = ?

d 代入①. b

? d? ? d? ∴ ? ? ? + a ? ? ? + c = 0 .∴d2?abd+cb2=0. ? b? ? b?
综上方程有实根的条件:

2

?b = d = 0 ?b ≠ 0 或? 2 ? 2 2 ?a ? 4c ≥ 0 ?d ? abd + cb = 0
例 7.

a ? b∈R,∴x2=1?i.
设 x4+3x2?2ax+b=0=[x?(1+i)][x?(1?i)](x2+mx+n)=(x2?2x+2)(x2+mx+n)

?m ? 2 = 0 ?m = 2 ∴? ∴? ?n = 5 ? n ? 2m + 2 = 3
∴x3、4=

∴x3、x4 满足 x2+2x+5=0.

?2 ± 4i = ?1 ± 2i 2

综上 x2=1?i,x3=?1+2i,x4=?1?2i 例 8. 设 Q(x,y) ∴z2=x+yi. z2=2 z1+3?4i. ∴x+yi=2z1+3?4i. x?3 y +4 + i 则 z1 = 2 2 由| z1|=1.

? x ?3? ? y + 4? 即 ? ? +? ? = 1. ? 2 ? ? 2 ?

2

2

∴(x?3)2+(y+4)2=4. 则 Q 的轨迹为以(3,?4)为圆心,半径为 2 的圆.

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又: z1 = 例 9.

z2 3 ? + 2i 2 2



z2 3 ? + 2i = 1 2 2

∴|z2?(3?4i)|=2

由 B: w =

1 zi + b, ∴z=(2w?2b)(?i) 2

由于 z∈A,∴|?2wi+2bi?2|≤2. ∴|?2i(w?b?i)|≤2 ∴|w?(b+i)|≤1

w 是(b,1)为圆心,1 为半径的圆及内部.
已知 A∩B=B.∴B ? A.则 b=2. 练习题

1 .C

2.D

3 .B

4 .C

5 .B

6.B

7 .A

8 .C

9.i

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