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《例谈“图形与几何”领域作图教学重难点的突破策略》

时间:2015-03-11


例谈“图形与几何”领域作图教学重难点的 突 破 策 略

【摘

要】小学数学“图形与几何”中学生的作图能力,作为小学生知识技能的一个重

要展现形式,在教学中出现的问题一直困扰着许多一线教师。本文对学生作图技能现状进行归 因分析:一方面是教师对作图原理解释不够,对作图方法指导欠佳,对学生能力估计过高;另 一方面是学生抽象思维能力差, 动手模仿能力弱。 笔者认为教学中只有帮助学生理解作图原理, 指导学生掌握作图方法才能使学生较好地掌握几何作图技能,并提出了以下一些对策:重返原 点,抓住本质;以喻激趣,化难为易;寻求支点,给予拐杖;找准衔接,有效引导;收集错例, 以错引思;提供变式,提升技能。

【关键词】案例分析

归因分析 对策初探 细节思考

一、案例分析,问题缘起。
听过一位老师上《旋转》一课,要求学生在理解旋转的三要素后,在方格纸上 把一个简单的图形顺时针或逆时针旋转 90 度。下面是《旋转》教学片段: 【片段 1】 《旋转》 在认识了旋转的风车图后,教师进行第二环节旋转作图的教学。 课件出示例题:画出三角形顺时针旋转 90 度后的图形。 师:请仔细观察,课件上的三角形是怎样 旋转的?课件演示。 生:三角形绕 O 点顺时针旋转了 90 度。 师:能把刚才的旋转图在纸上画出来吗? 学生尝试画图。 (5 分钟后,教师选取了 3 个学生的作品) 师:画好的同学请举手。 (举手者寥寥无几) 师:那我们先来看看这几个同学的作品。 (3 种画法有 2 种是错的) 师:你们认为几号是正确的,为什么?(举手的人不超过 5 个,有几个还是比 较犹豫的) 师:那这两个图错在哪里呢?(学生一片沉默,过了几分钟才有学生举手) 师:现在请你画出长方形绕 A 点逆时针旋转 90 度后的图形。
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学生尝试练习。 反馈时课堂气氛依然十分沉闷,很多学生无从下手。 (课没有上完铃声响了) 课后执教老师对自己的教学进行了反思:认识旋转这个环节上得比较顺利,但 是到作图的环节就卡住了,很多学生不懂如何作图,一个问题问下去,课堂上沉默 是金。其实本节课后面还安排了一些亮点教学内容,但是由于作图的时候浪费了很 多时间,所以后面的课也就来不及上了。 从教师的反思和学生的课堂表现来看,虽然学生知道了旋转现象的三要素,但 是在方格纸上作出简单的图形顺时针或逆时针旋转 90 度的图形时,学生遇到了很 大的困难,无从下手,有的甚至产生了畏惧的心理,也给老师的指导带来了困难。

二、归因分析,多面剖析。
课堂上为什么会产生这样的现象?学生作旋转图形为什么会如此困难?造成 学生难掌握作图技能的成因是什么?课后这些问题一直困扰着我。 要想解决问题,最好的方法就是研究课例、研究学生,借这一载体研究老师的 教学行为、研究学生的学习障碍。故精心选择了有关几何作图方法的课例进行了分 析。在对课例的分析和学生的交流中发现造成学生难掌握几何作图源于教师和学生 两个层面。

(一)教师层面
1.对作图原理解释不够。 【片段 2】 《平行四边形的认识》 认识“高”,教师让学生尝试作 BC 边上的高并反 馈。(将近一半以上的学生能正确作高) 形的底。 你能做出 CD 边上的高吗?学生尝试画高并反馈。 师:你会作平行四边形的高了吗?请赶紧动手吧! 画 2 条高用时 5 分钟还有部分学生未完成,反馈 时全对的只有三分之一左右, 在巡视中还发现有五分之 一的学生不知道利用尺子的哪个角作图, 也不知道尺子 该怎样放。 学生虽然会作垂线, 但第一次接触高的概念, 学生对高的“本质”把握上是一知半解、模棱两可的。在教学中,教师直接把高的 概念教给学生,此时学生对平行四边形的高的认识学生是模糊的,不清晰的,对高
底 底

A B A
底 底

D C D

师:BC 边是平行四边形的底,其实 CD 边也是平行四边

B C (只有四分之一学生能正确作高,师花了很长间讲解,学生还是云里雾里。 )

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的作图原理是不理解的。这是导致学生作图的困难的一个很大的原因。 2.对作图方法指导欠缺。 【片段 3】 《平移与旋转》 学习了平移与旋转现象后,教师直接让学生在方格纸上画 出三角形向右平移 4 格后的图形。 反馈后,师小结:用画点的方法,再找其他点与这个点的 相对位置数一数(找边也可以)就知道平移了几格。 学生再次练习(右图) :把房子向左平移 5 格。…… 这是某教师教学原人教版二下《平移与旋转》中的教学片段,课后笔者对这题 练习的正确率进行了统计,发现全班 45 人,只有 20 人做对的。为何正确率如此之 低?我认为主要是教师对作图的方法指导欠缺,学生没有真正掌握平移的方法。 3.对学生能力估计过高。 在我们的数学教学中, 老师们都十分关注学生的知识起点。 在图形与几何领域, 学生的认知虽然不是一片空白,但是学生对图形的认识、图形的特征很多时候是比 较朦胧的、懵懂的,是一种“口语言而不能答”的状态。古话说得好: “纸上得来 终觉浅,绝知此事要躬行” 。因此虽然学生学习过了相关的知识,但是要让学生进 行几何作图还是有一定困难的。记得读书时,几何老师曾经说过这样一句话:几何 作图的方法我讲了,你不一定懂了;懂了,你不一定会了;会了,你不一定会画了; 画了, 不一定就对了。但是在一些课例中笔者发现有些教师往往认为:知道了平移, 学生就应该会作平移后的小房子;知道了旋转,学生就应该会作旋转 90 度的三角 形;知道了对称,就应该会作对称的小鱼图??总而言之,教师对学生的能力估计 过高,教学中急于求成。

(二)学生层面
1.抽象思维能力差。 如《旋转》一课,尽管学生在生活中能观察到许多旋转现象,像风车的转动、 汽车轮子的转动、电风扇的转动、汽车方向盘的转动等,可是这些旋转都是快速的 旋转,形成的是一些运动轨迹,而这节课的要求是画出简单图形(三角形、长方形 等)旋转 90 度后的图形。因此,学生的认知经验极为贫乏,造成了绝大部分学生 的作图困难。同时学生虽然通过指针的旋转了解了旋转的三要素,但是从“线”的 旋转到“面”的旋转难度明显不同。在课例中教师在让学生了解了什么是旋转后直 接让学生观察课件中三角形的旋转并让学生尝试画出三角形顺时针旋转 90 度,此 时学生对这个“面”旋转明显不能很好的理解内化。虽然教师利用课件展示了三角
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形顺时针旋转 90 后的图形,但许多学生对图形旋转的过程是模糊不清的。同时三 角形(或长方形)旋转时有两条线段是经过中心点旋转的,但是还有一条(或两条) 没有经过中心点,这些多余的线段干扰着学生,使学生的作图产生了更多的困难。 2.动手模仿能力弱。 小学生由于自身的年龄特点,动手能力、模仿能力都比较弱。 【片段 4】 《画平行线》 师:谁来说说平行线是怎样作的?(同步出示课件) 生: 先用直尺画出一条直线,再把直尺竖直放好,然后用三角尺沿着直尺移动, 然后就画出另一条直线。 学生利用自己准备好的学具画平行线。 教师选择了正确的和错误的例子进行反馈。 师:谁来说说这位同学画得不平行的原因? 生:我认为他画图时尺子可能动了。 生:我认为他可能没有沿着直尺移动。 师:接下来请同学们完成下面的练习,有困难的可以请老师帮忙。 在教师巡视时发现不断的有小手举起来,老师只好哪有困难就奔到哪里,手把 手地教他们,反复让学生记步骤、操练。从作业的反馈情况看效果很不理想:绝大 多数学生不能很好地掌握,更有甚者在画的时候拿着三角尺不知所措,胡乱旋转, 有的把自练本转来转去。为什么会这样?我想很大的一个原因是老师最作平行线的 方法指导不够到位,同时学生也可以看出学生的动手模仿能力比较弱,无法领悟作 图的方法。

三、对策寻求,有效提升。
在“图形与几何”领域教学中,通过对几何作图能力的训练,可使学生初步掌 握使用简单的作图工具, 进一步认识图形的结构、 特征以及组成图形各个基本元素, 如点、线、面的相互位置关系,从而培养学生初步的空间想象能力。

(一)内容梳理
在小学数学的空间与几何领域,有关几何作图的教学内容有很多。首先我们来 梳理一下小学阶段的涉及到的一些几何作图内容: (以原人教版教材为例)
册别 二上 二下 内容 用刻度尺画线段的长度(限整厘米);初步学会用尺画角、会用三角板画直角;能 在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。 会在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。

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三上 四上 四下 五下 六上

会在方格纸上画长方形、正方形和平行四边形。 会画直线、射线、会按指定度数画角;会用直尺、三角尺画垂线和平行线;会画四 边形与梯形的高 根据方向和距离在图上绘出物体的位置、绘制简单的路线图;会作三角形的高。 能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形;能在方格纸上把简单图形旋转 90°。 学会用圆规画圆。

(二)易错题型
小学阶段所涉及的几何作图内容中, 有些学生比较容易掌握, 有些学生难掌握。 在对教师和学生的交流中笔者发现以下一些几何作图技能学生难以掌握容易出错:
序号 1 几何作图易错内容 用直尺和三角板作垂 线、平行线 用直尺和三角板作平 行四边形、梯形、三角 形的高 会出现的错误分析 1.作图原理不理解, 作出的垂线没有成 90 度的直角, 作出 的平行线不平行。 2.工具使用不熟练,没有利用直角作图。 1.作图原理不理解,所作的高不是点到直线的距离。 2.不是水平放置的图形(图形的变式)作高时不知道怎样 摆放作图工具。 1.能正确作出轴对称图形、 平移后的图形、 旋转后的图形, 但平移位置不对。 2.能正确作出轴对称图形, 平移位置准确, 但作图不标准, 线条不直。 3.根本不会作轴对称图形、 平移后的图形、 旋转后的图形。 没有掌握轴对称图形的特点和图形平移、 旋转的主要方法。

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在方格中作对称、平 移、旋转图形

(三)教学对策
那么在图形与几何教学中,如何帮助学生较好地掌握几何作图技能呢?要帮助 学生较好地掌握几何作图技能,必须帮助学生理解作图的原理以提升作图技能,以 实践操作巩固作图技能。在近一年的教学实践和课例研究中,笔者尝试了以下一些 对策,取得了较好的效果。 1.重返原点,抓住本质。 要让学生较好地掌握几何作图技能,就必须让学生理解作图原理,就要让学生 理解与几何作图相关的一些概念和定义。而在我们的教材中很多概念和定义都是一 段段长长的文字,学生理解起来有一定的困难。此时教师要善于研究理清知识间的 前后联系,让学生回到知识的原点,抓住概念和定义的本质进行教学。如画平行四 边形的高时,学生对平行四边形高的概念还是比较难理解,此时教师应引领学生, 抓住高的本质——“就是点到直线的距离”进行点拨引导。 【片段 5】 学生自学教材认识平行四边形的高。

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师:你能指着黑板上的平行四边形说说什么是平行四边形的高吗?生指着图边 说边比划。 师:谁听明白了,谁再来比划一下? 师:借助书本中的平行四边形每个同学说一说什么是平行四边形的高。 师:那你能画出平行四边形的高吗?(1 人边说边画) 师:你为什么要用直角作高?(垂线:点到直线的距离) 师:是呀,平行四边形的高实际上就是点到对应底边所在的直线的距离。 2.以喻激趣,化难为易。 由于小学生的模仿能力较弱,空间观念比较差,而几 何作图又比较抽象,所以往往看得懂但作不好根据小学生 的年龄特点教师可以以“喻”激趣,借助直观进行形象化 的教学,这样的教学能更好的帮助学生理解作图的原理。 如作平行线时问题的本质不是记住画的步骤,而应让学生明白两把尺子各自的作 用,直尺和三角尺的正确放置才是做好平行线的关键。教学时可以把作平行线时用 直尺看做火车轨道,把三角尺看做火车。对于火车和火车轨道学生有一定的生活经 验和常识: “火车轨道”是固定不动的, “火车”是可以移动的。有了这样的比喻后, 学生在操作时就牢牢记住了直尺即“火车轨道”是不能移动的,只要“火车”即三 角尺在“轨道”即直尺上来回移动,就可以做出平行线了。 又如在作长方形顺时针旋转 90 度以后的图形时,可以把方格纸看做钟面来帮 助学生理解作图的原理(如右图) 。把 O 点看作钟面上时针和 分针交叉的点,经过 O 点的这两条线段看作时针和分针,钟面 上的以 O 点为顶点出现了 4 个直角。 如果要把长方形逆时针旋 转 90 度,学生就能够很清楚地观察到旋转时只要先转好与从 O 点出发的两条线段即可:宽从 12 转到 9,长从 3 转到 12。 学生理解了作图的原理后再让学生在方格图中再作图就水到 渠成了。 3.寻求支点,给予拐杖。 在几何作图中, 如果教师在教学时给予学生学习的拐杖, 降低学生学习的难度, 使学生跳一跳就能摘到桃子,那相信学生一定能更好地掌握几何作图技能。如片段 1 中在教师在教学作旋转图形时, 教师直接出示教材中的三角形这样一个面的旋转, 学生是很作出旋转后的图形的。因此在让学生作面的旋转之前可以先让学生尝试画 线段的旋转,学生会作线段的旋转,三角形这个面的旋转其实就是先作出两条线段
6 火 轨 道 车

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9 O

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的旋转然后连成面就可以了。 【片段 6】 学习了旋转的三要素。 师:如果老师要把这条线段顺时针旋转 90 度,想象这条线段会在 什么位置?可以用手或笔比划一下。 生:会在 xx 地方,与原来的线段形成 90 的直角。 师:那你能画出这条线段顺时针旋转 90 度以后的图形吗? 学生尝试。 师:那谁来说说作旋转图形时要注意些什么? 生:先要弄清旋转的方向和角度,再数清线段所占的格子(就是线段的长度) 。 师:线段的旋转图会作了,那把一个三角形顺时针旋转 90 度,你会作吗?(出示三角形,学生用手比划,想象旋转后的位 置。教师课件演示。 ) 师:想一想,要画出三角形旋转后的图形,有什么好办法? 生:三角形是由三条线段围成的,所以只要把线段 OA 与线 段 OB 顺时针旋 90 度的线段先作好,再把第三条线段连起来就可以了。 学生尝试作图并反馈,反馈时再次小结作三角形旋转后图形的方法。 4.找准衔接,有效引导。 平移是指在平面内,将一个图形沿着某个方向移动一定的距离,这样的图形运 动叫做平移。平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全 等形)。在小学二下的平移教学中学生只需了解这是一种平移现象,并作简单的一 次或二次平移后的图形。从学生知道这是一种平移现象到会作简单的平移后的图 形,如果缺少老师的有效引导,学生是很难掌握作图技能的。教学时教师要找到概 念和作图方法之间的衔接点,引导学生掌握平移的作图技能。 【片段 7】 师:看,游来一条小鱼。 (电脑演示:小鱼向左平 移)你能用今天学过的知识说一说吗? 生:小鱼在向左平移。 师:小鱼到底向左平移几格?先别着急回答,仔细看一看,数一数。 师:小鱼到底向左平移了几格呢,和你的同桌说说你是怎么数的,好吗? 生 1:我是从鱼的嘴巴数到鱼的嘴巴,一共是 9 格,所以小鱼向左平移 9 格。 生 2:我是从嘴巴数到鱼尾,是 6 格。
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A

B A

O

生 3:我是从眼睛数到眼睛,一共是 9 格。 师:到底哪种是正确的?我们跟着小鱼一起来数一数。 (电脑演示:小鱼一格一 格往左慢速移动。 )生齐数:1、2、3……9 格。 师:刚才谁的答案是正确的,哪些小朋友的答案也是正确的,但是数的方法跟 他们不同的,有吗?生呈现不同方法。 师:还可以定其它点吗?(电脑演示:对应点闪动,出现对应点之间的距离都 是 9 格)你想说什么? 生:从小鱼的任何一点出发,只要找到相应点,都是相差 9 格,说明这条小鱼 就向左平移了 9 格。 师:如果请同学们画出小鱼平移 6 格后的图形,你会吗?你有什么好办法? 生:我先把鱼嘴的点平移 6 格,再把鱼身子上长的那条线段平移 6 格,再把其 他线段连起来就可以了。 学生独立完成把平移练习并反馈。 师:是呀!画平移后的图形用画点的方法,再找其他点与这个点的相对位置数 一数就知道平移了几格。 (找边也可以) 5.收集错例,以错引思。 错例在几何作图中是很多的。黑格尔曾经说过: “错误本身是达到真理的一个 必然环节,由于错误,真理才会被发现” 。在数学课堂教学中,面对错例这一不可 避免的产物,我们除了要用宽容和耐心去对待外,更要合理地利用错例,引导学生 去分析错误,以“错”引“思” , 以“错”促“思” ,从而尽可能地减少和避免类 似错误的发生。 如在学生练习画一个三角形、一个长方形、一个梯形分别旋转 90 度后的图形, 经常会出现以下一些错例: 作出三角形顺时针旋转 90 度后的图形 作出长方形顺时针旋转 90 作出梯形逆时针旋转 90 度后的图形 度后的图形。
D

O (1)

O (2)

O (1)

O (2)

(1)

C B C A A A D
(2)

从这些错例可以发现有些学生作图时没有绕顶点旋转;有些学生作图时没有把 两条线段旋转 90 度;有些学生旋转后线段的长度变换了说格子数错了)??通过 呈现的这些错例,引发学生思考,让学生在思考、辨析中明白出现错误的原因其实
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就是没有学生没有真正掌握旋转的特征。原来作图正确的学生经过思考后会更清 晰,错误的学生自己经历了错误之后再去改正它,看起来是走了一段弯路,但是它 留下的印象是深刻的。因为被告知的挫折和应对措施也许暂时是有效的,但在学生 的头脑中印象也许就不够深刻, 久之就会淡化。对学生而言,只有他们真正思考过、 真正理解了的知识才会像种子一样在头脑中生根发芽。 6.提供变式,提升技能。 学生在认识了概念或作图方法后,很多时候只会对一些标准图形进行作图,而 对于一些变式的作图明显掌握不够。教学中我们可以充分运用变式来帮助学生获得 更精确、更稳定的概念,同时更好地帮助学生掌握几何作图的技能。变式用以说明 同一个概念的本质特征相同、非本质特征不同的一组实例。 如学生在学习“互相垂直”的概念时,常常习惯于竖着理解,过直线外一点作 平行线也习惯于向水平方向画(如图 1) 。当变化了直线的方向、位置,就会受标准 方向的定势影响,发生错误,以至后来在位置或形状有了变化的三角形(平行四边 形、梯形)中找错、画错高,影响面积的正确计算,其原因就在于“互相垂直”这 个概念的形成阶段未能为学生提供充分的变式材料,学生没能在“两条直线相交成 直角”这一本质意义上对“互相垂直”实行抽象概括。其实,在学生开始学习“互 相垂直”时,教师不仅要提供互相垂直的标准式,而且要提供互相垂直的各种变式 的图形(图 2、图 3、图 4) 。

图1

图2

图3

图4

又如在认识和画出三角形(平行四边形、梯形)的高时,不仅要在标准图形中 进行(如图 5) ,而且要在变式图形中进行(如图 6、图 7) 。然后引导学生分析、比 较,找出它们的相同点和不同点,从而帮助学生从不同方面理解“三角形的高” , 明确“三角形的高”的本质特征。 底 底 图5 图6 图7 底

四、细节思考,规范作图。
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要使学生较好地掌握几何作图技能,除了上述的一些对策,我们还要关注以下 一些方面。 1.关注作图中的细节。 在几何作图中,还要关注作图中的一些细节, 使学生作出的图形准确、规范。如在作三角形、平 行四边形、梯形的高时,学生的作图方法虽然正确, 但总是作不到准确,原因可能是三角尺用的时间一 长,直角的那一端磨成圆弧了,这样的高就不标准了。此时我们可以借助直角三角 尺上的刻度或者里面的直角进行作高。 2.使用正确的作图工具。 小学阶段,我们会用到的作图工具主要有直尺、三角尺、量角器、圆规。对于 这些作图工具的特点和使用方法,教师一定要十分正确的教给每一个学生。 如学生在作三角形的高时,学生不知如何放置作图工具,一方面可能是对作高 的方法不清楚,另一方面也可能是不知道三角尺上三个角的特征。 再如量角器中有里外圈之分,但是学生对于看里圈刻度还是外圈刻度还是比较 模糊的。此时教师必须帮助学生明白看刻度的方法。 3.把握必要的练习量。 练习是掌握数学知识,形成技能技巧的重要手段,是培养学生能力、发展学生 智力的重要途径,起着形成和发展数学认知结构的作用。要使学生较好地掌握几何 作图技能,进行必要的练习也是十分重要的。 4.养成良好的作图习惯。 要掌握几何作图技能还要帮助学生养成良好的作图习惯。在平时的几何作图中 学生往往会出现这样的一些不良的习惯:作图不重视,随意性很大,画直线的时候 只是用水笔徒手画等等。因此教师平时应培养学生用铅笔、工具作图的良好习惯; 认真仔细、一丝不苟的良好习惯?? 以上仅仅是笔者从思考和实践中摸索出来的点滴体会和教学对策,学生只有掌 握了基本的几何作图技能,才能进一步认识图形的结构、特征以及组成图形的各个 基本元素,从而培养学生初步的空间想象能力,最终形成数学的综合运用能力。

【参考文献】

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[1]教育部《全日制义务教育数学课程标准(实验稿) 》[M],北京师范大出版社,2001 年。 [2]王志南《 “图形的旋转”教学片段及思考》[J], 《中小学数学》2009 年第 1、2 月合刊。 [3]胡彩英《巧用“钟面” ,快乐旋转》[J], 《小学数学教师》2009 年第 1、2 月合刊。 [4]皮连生 《学与教的心理学》[M], 华东师范大学出版社,1997 年。 [5]斯苗儿著《小学数学课堂教学案例透析》[M],人民教育出版社[M]2003 年 12 月第 1 版。

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