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【解析】北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题

时间:2013-02-27


丰台区 2012~2013 学年度第一学期期末练习 高三数学(理科)
一、选择题:共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.设全集 U={1,3,5,7},集合 M={1, a ? 5 }, CU M ? {5,7} ,则实数 a 的值为 (A)2 或-8 【答案】D 【解析】因为 CU M ? {5,7} ,

所以 a ? 5 ? 3 ,即 a ? 5 ? 3 或 a ? 5 ? ?3 ,即 a ? 8 或 2,选 D. 2.“ x ? 0 ”是“ x ? (B) -2 或-8 (C) -2 或 8 (D) 2 或 8

1 ? 2 ”的 x
(B) 必要但不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

(A) 充分但不必要条件 (C) 充分且必要条件 【答案】C 【解析】 x ? 0 时, ? 当 x 所以 x ? 0 是 x ?

1 1 1 1 1 , ? 若因为 x, 同号, 所以若 x ? ? 2 , x ? 0 0 , 则 ? 2 x? ? 2 。 x x x x x

1 ? 2 成立的充要条件,选 C. x

3.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,则恰有一个红球的概率是 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

5 6
1 1 C2C2 4 2 ? ? ,选 C. 2 C4 6 3

【答案】C 【解析】从袋中任取 2 个球,恰有一个红球的概率 P ?

4.如图,某三棱锥的三视图都是直角边为 2 的等腰直角三角形,则该三棱锥的四个面的面

积中最大的是 (A)

3

(B) 2 3

(C) 1
-1-

(D) 2

【答案】A 【解析】由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形,

,所以四个面中面积最大的为 ?BCD ,且 ?BCD 是边长为为 2 的正 三角形,所以 S?BCD ?

1 3 ? 2? 2? ? 3 ,选 A. 2 2

5 . 函 数 y ? 2sin(? x ? ? ) 在 一 个 周 期 内 的 图 象 如 图 所 示 , 则 此 函 数 的 解 析 式 可 能 是

(A) (C)

y ? 2sin(2 x ? ) 4 3? y ? 2sin( x ? ) 8

?

(B) (D)

y ? 2sin(2 x ? ) 4 x 7? y ? 2sin( ? ) 2 16

?

【答案】B

T 5? ? ? 2? ? ? ? , ?? , 所以函数的周期 T ? ? , T ? 又 所以 ? ? 2 。 2 8 8 2 ? ? ? ? ( ) 1 所 以 y ? 2 s i n ( 2 ? , 又 y ? f ( )? 2 s i n? 2 ? ? ? ) , 2 以 s i n ( ? ? ? , 即 所 x? ) 8 8 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z ,所以 ? ? ? 2k? ,所以 y ? 2sin(2 x ? ) ,选 B. 4 2 4 4
【解析】 由图象可知 6 . 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 则 输 出 的 S 值 为 ( ? x? 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 )

-2-

(A) 4 【答案】C

(B) 5

(C) 7

(D) 9

【解析】第一次循环, S ? 0 ,不满足条件, n ? 1 ;第二次循环, S ? [1] ? 1 ,不满足条件,

n ? 2; 第三次循环,S ? 1 ? [ 2] ? 2, , 不满足条件,n ? 3 ; 第四次循环,S ? 2 ? [ 3] ? 3, ,
不满足条件, n ? 4 ;第五次循环, S ? 3 ? [4] ? 5 ,此时不满足条件, n ? 5 。第六次循环,

S ? 5 ? [5] ? 7 ,此时满足条件,输出 S ? 7 ,选 C.
5? ,且 6

7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,1) ,点 C 在第二象限内, ?AOC ? |OC|=2,若 OC ? ?OA ? ?OB ,则 ? , ? 的值是( (A) 【答案】D 【 解 析 】 因 为 ?A O C?

??? ?

??? ?

??? ?

) -1, 3 (D) ? 3 ,1

3 ,1

(B) 1, 3

(C)

??? ???? ? ???? ??? ? 5? 5? 5? ? ? ? ? 。则 , 所 以 ? OA, OC ?? 。 ? OC , OB ?? 6 6 6 2 3 ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ???? 5? OC ? ? (? , ? )?(1, 0) ? OC OA cos OA , 即 OC ? ? OA ? OB ( ?, ?) 。 ? ? 6

??2

3 ?( ? 2

???? ??? ? ???? ??? ? ? 1 ) 。 OC ? 3 ? (? , ? )?(0,1) ? OC OB cos ,即 ? ? 2 ? ? 1 ,所以 ? OB ? 3 2

? ? ? 3, ? ? 1,选 D.
8.已知函数 f(x)= ax ? bx ? c ,且 a ? b ? c, a ? b ? c ? 0 ,集合 A={m|f(m)<0},则
2

(A) ?m ? A, 都有 f (m ? 3) ? 0

(B) ?m ? A, 都有 f (m ? 3) ? 0

-3-

(C) ?m0 ? A, 使得 f(m0+3)=0 【答案】A

(D) ?m0 ? A, 使得 f(m0+3)<0

【解析】由 a ? b ? c, a ? b ? c ? 0 可知 a ? 0, c ? 0 ,且 f (1) ? 0, f (0) ? c ? 0。即 1 是方程

ax2 ? bx ? c ? 0 的一个根, x ? 1 时,f ( x) ? 0 。 a ? b , 1 ? 当 由 得
的另外一个根为 x1 ,则 x1 ? 1 ? ?

b 2 , 设方程 ax ? bx ? c ? 0 a

b ? ?1 ,即 x1 ? ?2 ,由 f (m) ? 0 可得 ?2 ? m ? 1 ,所以 a

1 ? m ? 3 ? 4 ,由抛物线的图象可知, f (m ? 3) ? 0 ,选 A.
二、填空题:共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.某高中共有学生 900 人,其中高一年级 240 人,高二年级 260 人,为做某项调查,拟采用 分层抽样法抽取容量为 45 的样本,则在高三年级抽取的人数是 【答案】20 【解析】高三的人数为 400 人,所以高三抽出的人数为 10. 已知直线 y ? x ? b 与平面区域 C: ? 取值范围是________. 【答案】 [?2, 2] ______.

45 ? 400 ? 20 人。 900

?| x |? 2, 的边界交于 A, 两点, AB ? 2 2 , b 的 B 若 则 ?| y |? 2

【解析】 不等式 ?

?| x |? 2, 对应的区域为 ?| y |? 2

, 因为直线 y ? x ? b 的

斜率为 1,由图象可知 CD ? EF ? 2 2 ,要使 AB ? 2 2 ,则 ?2 ? b ? 2 ,即 b 的取值范围 是 [?2, 2] 。 11. l1 , l2 是分别经过 A(1,1),B(0,?1)两点的两条平行直线,当 l1 , l2 间的距离最大时,直线 l1 的 方程是 .

-4-

【答案】 x ? 2 y ? 3 ? 0 【解析】解:当两条平行直线与 A、B 两点连线垂直时两条平行直线的距离最大. 因为 A(-1,1)、B(2,-4),所以 k AB ? 以直线 l1 的方程是 y ? 1 ? ?

?1 ? 1 1 ? 2 ,所以两平行线的斜率为 k ? ? ,所 0 ?1 2

1 ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ? 3 ? 0 。 2

12.圆 ( x ? a)2 ? y 2 ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的渐近线相切,则 a 的值是 _______. 【答案】 ? 2 【解析】双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的渐近线为 y ? ? x ,不妨取 y ? x ,若直线 y ? x 与圆相切,则 有圆心 ( a, 0) 到直线 x ? y ? 0 的距离 d ?

a 2

? 1 ,即 a ? 2 ,所以 a ? ? 2 。

13.已知 ?ABC 中,AB= 3 ,BC=1, sin C ? 3 cos C ,则 ?ABC 的面积为______.

【答案】

3 2

【 解 析 】 由 sin C ? 3 cos C 得 tan C ? 3 ? 0 , 所 以 C ?

?
3

。根据正弦定理可得

BC AB 1 ? ,即 ? sin A sin C sin A

1 3 ? 2 ,所以 sin A ? ,因为 AB ? BC ,所以 A ? C ,所以 2 3 2

A?

?
6

,即 B ?

?
2

,所以三角形为直角三角形,所以 S?ABC ?

1 3 ? 3 ?1 ? 。 2 2

14.右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数 列, 而且每一行的公比都相等, 记第 i 行第 j 列的数为 aij( i ? j, i, j ? N * ) 则 a53 等于 , ,

amn ? ______(m ? 3) .

-5-

【答案】

5 m , n ?1 16 2

【解析】由题意可知第一列首项为

1 1 1 1 1 ,公差 d ? ? ? ,第二列的首项为 ,公差 4 2 4 4 4 3 1 1 1 1 5 1 1 5 d ? ? ? , 所 以 a51 ? ? 4 ? ? , a52 ? ? 3 ? ? , 所 以 第 5 行 的 公 比 为 8 4 8 4 4 4 4 8 8

q?

a52 1 5 1 5 1 1 m q , ? , 所 以 a5 3? a 5 2 ? ? ? 。 由 题 意 知 am1 ? ? (m ? 1) ? ? 8 2 16 4 4 4 a51 2
1 1 m a 1 ? (m ? 2) ? ? , 所 以 第 m 行 的 公 比 为 q ? m2 ? , 所 以 4 8 8 am1 2
m 1 n ?1 m ? ( ) ? n ?1 , m ? 3. 4 2 2

am 2 ?

amn ? am1q n ?1 ?

三、解答题:共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15. (本题共 13 分) 函数 f ( x) ? lg( x2 ? 2x ? 3) 的定义域为集合 A,函数 g ( x) ? 2x ? a( x ? 2) 的值域为集合 B. (Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 16. (本题共 13 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 和钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. (Ⅰ)若点 A 的横坐标是

3 12 ,点 B 的纵坐标是 ,求 5 13

y B A

sin(? ? ? ) 的值;
(Ⅱ) 若∣AB∣= 17. (本题共 14 分) 如 图 , 在 三 棱 锥 P-ABC 中 , PA=PB=AB=2 , BC ? 3 ,

??? ??? ? ? 3 , 求 OA ? OB 的值. 2

O

x

?ABC ? 90 °,平面 PAB ? 平面 ABC,D、E 分别为 AB、AC 中点.
(Ⅰ)求证:DE‖ 平面 PBC; (Ⅱ)求证:AB ? PE; (Ⅲ)求二面角 A-PB-E 的大小. 18. (本题共 14 分)
B

P

A D E C

-6-

已知函数 f ( x) ?

ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的导函数 y ? f '( x) 的两个零点为-3 和 0. ex

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)的极小值为 ? e ,求 f(x)在区间 [?5, ??) 上的最大值.
3

19. (本题共 13 分) 曲线 C1 , C2 都是以原点 O 为对称中心、离心率相等的椭圆.点 M 的坐标是(0,1) ,线段 MN 是 C1 的短轴,是 C2 的长轴.直线 l : y ? m(0 ? m ? 1) 与 C1 交于 A,D 两点(A 在 D 的左侧) , 与 C2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) .

(Ⅰ)当 m=

5 3 , AC ? 时,求椭圆 C1 , C2 的方程; 4 2

(Ⅱ)若 OB∥AN,求离心率 e 的取值范围. 20. (本题共 13 分) 已知曲线 C : y2 ? 2 x( y? 0), A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), ???, An ( xn , yn ), ??? 是曲线 C 上的点,且满足
0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ? ??? ,一列点 Bi (ai ,0)(i ? 1, 2, ???) 在 x 轴上,且 ?Bi ?1 Ai Bi ( B0 是坐标原点)是

以 Ai 为直角顶点的等腰直角三角形. (Ⅰ)求 A1 、 B1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { yn } 的通项公式;

1 (Ⅲ)令 bi ? , ci ? ai

? 2?
2

? yi

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有

? bi ? ? ci ,若存在,
i ?1 i ?1

n

n

求出 N 的最小值并证明;若不存在,说明理由.

丰台区 2012~2013 学年度第一学期期末练习
-7-

高三数学(理科)参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题: 9.20; 10.[-2,2] ; 11. x+2y-3=0; 12. ? 2 (只写一个答案给 3 分); 1 D 2 C 3 C 4 A 5 B 6 C 7 D 8 A

13.

3 ; 2

14.

5 m , n ?1 16 2

(第一个空 2 分,第二个空 3 分)

三.解答题 15. (本题共 13 分) 函数 f ( x) ? lg( x2 ? 2x ? 3) 的定义域为集合 A, 函数 g ( x) ? 2x ? a( x ? 2) 的值域为集合 B. (Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)A= {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} = {x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} = {x | x ? ?1, 或x ? 3} ,..………………………..……3 分 B= { y | y ? 2x ? a, x ? 2} ? { y | ?a ? y ? 4 ? a} . ………………………..…..7 分 (Ⅱ)∵

A ? B ? B ,∴ B ? A ,

..……………………………………………. 9 分

∴ 4 ? a ? ?1 或 ? a ? 3 , …………………………………………………………...11 分 ∴ a ? ?3 或 a ? 5 ,即 a 的取值范围是 (??, ?3] ? (5, ??) .…………………….13 分 16. (本题共 13 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 和 钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. (Ⅰ)若点 A 的横坐标是
y B A

3 12 ,点 B 的纵坐标是 ,求 5 13
O x

s i n( ? ? ) ? 的值;
(Ⅱ) 若∣AB∣=

??? ??? ? ? 3 , 求 OA ? OB 的值. 2

解: (Ⅰ)根据三角函数的定义得,

-8-

12 . ………………………………………………………2 分 13 4 ∵ ? 的终边在第一象限,∴ sin ? ? . ……………………………………………3 分 5 5 ? ∵ ? 的终边在第二象限,∴ c o s ? ? .………………………………………4 分 13 4 5 3 12 16 ∴ sin(? ? ? ) = sin ? cos ? ? cos ? sin ? = ?(? ) + ? = .……………7 分 5 13 5 13 65 ??? ??? ? ? ??? ? (Ⅱ)方法(1)∵∣AB∣=| AB |=| OB ? OA |, ……………………………………9 分 co? ? s sin ? ?
又∵ | OB ? OA |2 ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? 2 ? 2OA ? OB ,…………………11 分 ∴ 2 ? 2OA ? OB ?

3 , 5

??? ??? ? ?
??? ??? ? ?

??? 2 ??? 2 ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

∴ OA ? OB ? ? .…………………………………………………………………13 分

??? ??? ? ?

9 , 4

1 8

| OA |2 ? | OB |2 ? | AB |2 1 方法(2)∵ cos ?AOB ? ? ? , …………………10 分 2 | OA || OB | 8


? ? ??? ??? ??? ??? ? ? 1 OA ? OB = | OA || OB | cos ?AOB ? ? . ………………………………… 13 8
分 17.(本题共 14 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=AB=2,BC ? 3 ,

P

?ABC ? 90 °,平面 PAB ? 平面 ABC,D、E 分别为 AB、AC 中点.
(Ⅰ)求证:DE//平面 PBC; (Ⅱ)求证:AB ? PE; (Ⅲ)求二面角 A-PB-E 的大小. 解: (Ⅰ)? D、E 分别为 AB、AC 中点, ?DE//BC .
P _

A D B E C

? DE?平面 PBC,BC?平面 PBC,
?DE//平面 PBC .…………………………4 分
D _ A _ E _ C _

(Ⅱ)连结 PD,

? PA=PB, ? PD ? AB. …………………………….5 分 ? DE / / BC ,BC ? AB,

B _

-9-

? DE ? AB. .... .......................................................................................................6 分
又? PD ? DE ? D ,

? AB ? 平面 PDE.......................................................................................................8 分

? PE?平面 PDE,
? AB ? PE . ..........................................................................................................9 分
(Ⅲ)? 平面 PAB ? 平面 ABC,平面 PAB ? 平面 ABC=AB,PD ? AB,

? PD ? 平面 ABC.................................................................................................10 分
如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系

3 ? B(1,0,0),P(0,0, 3 ),E(0, ,0) , 2 ??? ? ??? ? 3 . ? PB =(1,0, ? 3 ), PE =(0, , ? 3 ) 2 ?? 设平面 PBE 的法向量 n1 ? ( x, y, z) ,

z P _

? x ? 3z ? 0 , ? 令z ? 3 ? ?3 y ? 3z ? 0 , ? ?2 ?? 得 n1 ? (3,2, 3) . ............................11 分

A _ D _ B _ _ E y C _

? DE ? 平面 PAB,

x

?? ? ? 平面 PAB 的法向量为 n2 ? (0,1,0) .………………….......................................12 分
设二面角的 A ? PB ? E 大小为 ? ,

?? ?? ? ?? ?? ? | n1 ? n2 | 1 由图知, cos ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? , ? n1 ? n2 2
所以 ? ? 60?, 即二面角的 A ? PB ? E 大小为 60? . ..........................................14 分 18. (本题共 14 分)已知函数 f ( x) ? 和 0. (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)的极小值为 ? e ,求 f ( x ) 在区间 [?5, ??) 上的最大值.
3

ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的导函数 y ? f '( x) 的两个零点为-3 ex

- 10 -

解: (Ⅰ) f ?( x) ?

(2ax ? b)e x ? (ax 2 ? bx ? c)e x ?ax 2 ? (2a ? b) x ? b ? c ........2 分 ? (e x )2 ex

令 g ( x) ? ?ax2 ? (2a ? b) x ? b ? c , 因 为 e ? 0 ,所 以 y ? f '( x) 的零 点就是 g ( x) ? ?ax2 ? (2a ? b) x ? b ? c 的 零点, 且
x

f ?( x ) 与 g ( x) 符号相同.
又因为 a ? 0 ,所以 ?3 ? x ? 0 时,g(x)>0,即 f ?( x) ? 0 , ………………………4 分 当 x ? ?3, x ? 0 时,g(x)<0 ,即 f ?( x) ? 0 , …………………………………………6 分 所以 f ( x ) 的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3)(0,+∞) , .……7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, x =-3 是 f ( x ) 的极小值点,所以有

? 9a ? 3b ? c ? ?e3 , ? e?3 ? ?b ? c ? 0, ??9a ? 3(2a ? b) ? b ? c ? 0, ? ?
解得 a ? 1, b ? 5, c ? 5 , 所以 f ( x) ? …………………………………………………………11 分

x2 ? 5x ? 5 . ex

, ? f ( x) 的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞)

? f (0) ? 5 为函数 f ( x) 的极大值, …………………………………………………12 分 ? f ( x) 在区间 [?5, ??) 上的最大值取 f (?5) 和 f (0) 中的最大者. …………….13 分
而 f ( ?5) ?

5 ? 5e5 >5,所以函数 f(x)在区间 [?5, ??) 上的最大值是 5e5 ..…14 分 e ?5

19. (本题共 13 分)曲线 C1 , C2 都是以原点 O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点 M 的坐标 是 (0,1) ,线段 MN 是 C1 的短轴, C2 的长轴 . 直线 l : y ? m(0 ? m ? 1) 与 C1 交于 A,D 两点 是 (A 在 D 的左侧) ,与 C2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) .

(Ⅰ)当 m=

5 3 , AC ? 时,求椭圆 C1 , C2 的方程; 4 2
- 11 -

(Ⅱ)若 OB∥AN,求离心率 e 的取值范围. 解: (Ⅰ)设 C1 的方程为

x2 x2 ? y 2 ? 1 ,C2 的方程为 2 ? y 2 ? 1,其中 a ? 1, 0 ? b ? 1 ...2 分 b a2 a2 ?1 ? 1 ? b 2 ,所以 ab ? 1 ,……………………….…3 分 a2

? C1 ,C2 的离心率相同,所以

? C2 的方程为 a2 x2 ? y2 ? 1 .
当 m=

3 a 3 1 3 时,A (? , ) ,C ( , ) . .………………………………………….5 分 2 2 2 2a 2
5 1 a 5 1 ? ? ,解得 a=2 或 a= (舍), ………….…………..6 分 ,所以, 4 2a 2 4 2

又? AC ?

? C1 ,C2 的方程分别为

x2 ? y 2 ? 1, 4 x2 ? y 2 ? 1 .………………………………….7 分 4
1 1 ? m 2 ,m) . …………………………………………9 分 a

(Ⅱ)A(- a 1 ? m2 ,m), B(-

? OB∥AN,? kOB ? k AN , ?
?
e2 ?

m 1 1 ? m2 a

?

m ?1 ?a 1 ? m2

,? m ?

1 . …………………………………….11 分 a ?1
2

1 a2 ?1 1 ? e2 2 ,? a ? ,? m ? . ………………………………………12 分 1 ? e2 a2 e2

? 0 ? m ? 1 ,? 0 ?

1 ? e2 2 ? 1,? ? e ? 1.........................................................13 分 2 e 2

20.(本题共 13 分)已知曲线 C : y 2 ? 2 x( y ? 0) , A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), ???, An ( xn , yn ), ??? 是曲线 C 上的点, 且满足 0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ? ??? , 一列点 Bi (ai ,0)(i ? 1, 2, ???) 在 x 轴上, ?Bi ?1 Ai Bi ( B0 是 且 坐标原点)是以 Ai 为直角顶点的等腰直角三角形. (Ⅰ)求 A1 , B1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { yn } 的通项公式;

1 (Ⅲ)令 bi ? , ci ? ai

? 2?
2

? yi

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有

? bi ? ? ci ,若存
i ?1 i ?1

n

n

在,写出 N 的最小值并证明;若不存在,说明理由.
- 12 -

解: (Ⅰ)? ?B0A1B1 是以 A1 为直角顶点的等腰直角三角形,

? 直线 B0A1 的方程为 y=x.
?y ? x ? 2 由 ? y ? 2 x 得 x1 ? y1 ? 2 ,即点 A1 的坐标为(2,2) ,进而得 B1 (4,0) .…..3 分 ?y ? 0 ?
(Ⅱ)根据 ?Bn ?1 An Bn 和 ?Bn An ?1 Bn ?1 分别是以 An 和 An?1 为直角顶点的等腰直角三角形可 得?

? a n ? xn ? y n ,即 xn ? yn ? xn?1 ? yn?1 . (*) …………………………..5 分 ? an ? xn ?1 ? yn ?1

2 2 ? An 和 An?1 均在曲线 C : y 2 ? 2x( y ? 0) 上,? yn ? 2xn , yn?1 ? 2xn?1 ,
2 yn y2 2 2 , xn ?1 ? n ?1 ,代入(*)式得 yn?1 ? yn ? 2( yn?1 ? yn ) , 2 2

? xn ?

n ) ? yn?1 ? yn ? 2 ( ? N * ,

………………………………………………………..7 分

? 数列 { yn } 是以 y1 ? 2 为首项,2 为公差的等差数列, ? 其通项公式为 yn ? 2n ( n ? N * ). ……………………………………………....8 分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知, xn ?
2 yn ? 2n 2 , 2

2 ( ) ? an ? xn ? yn ? n n?1,

……………………………………………………9 分

? bi ?
n

1 2i ( ? 1 ) i

? 2? ,c ?
i

? yi

2

?

1 . 2i ?1

? ? bi ?
i ?1

1 ? 2 (1 2 ) ?

1 1 ??? 2 ( 2 3) n n? ( ? 2

1)

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) = (1 ? ) .….……………..…………10 分 2 2 2 3 n n ?1 2 n ?1 1 1 (1 ? n ) n 1 1 1 1 1 2 ? ci ? 22 ? 23 ? ? ? 2n?1 ? 4 1 ? 2 (1 ? 2n ) . ……………………….11 分 i ?1 1? 2
= (方法一)
n 1 1 1 1 1 1 1 n ? 1 ? 2n bi - ? ci = (1 ? )- (1 ? n ) ? ( n ? ) ? n?1 ? i ?1 2 n ? 1 2 2 2 2 n ? 1 2 (n ? 1) . i ?1 n

当 n=1 时 b1 ? c1 不符合题意,

- 13 -

当 n=2 时 b2 ? c2 ,符合题意, 猜想对于一切大于或等于 2 的自然数,都有 ( ? bi ? ? ci . ? )
i ?1 i ?1 n n

观察知,欲证( ? )式,只需证明当 n≥2 时,n+1<2n 以下用数学归纳法证明如下: (1)当 n=2 时,左边=3,右边=4,左边<右边; (2)假设 n=k(k≥2)时,(k+1)<2k, 当 n=k+1 时,左边=(k+1)+1<2k+1<2k+2k=2k+1=右边,

? 对于一切大于或等于 2 的正整数,都有 n+1<2n ,即 ? bi < ? ci 成立.
i ?1 i ?1

n

n

综上,满足题意的 n 的最小值为 2. ……………………………………………..13 分 (方法二)欲证

? bi ? ? ci 成立,只需证明当 n≥2 时,n+1<2n.
i ?1 i ?1

n

n

0 1 2 3 n 2 3 n ? 2n ? ?1 ? 1? ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ? 1 ? n ? Cn ? Cn ? ... ? Cn , n

2 3 n 并且 Cn ? Cn ... ? Cn ? 0 ,

? 当 n ? 2 时, 2n ? n ? 1 .

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