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1.3.2函数的极值与导数(两课时)


1.3.2 函数的极值与导数
宁县二中 罗凯华

复 习

用导数判断函数的单调性

1.在某个区间(a,b)内,如果 f ? ( x ) ? 0 ,那么函数

y ? f ( x ) 在这个区间内单调递增; 如果 y ? f ( x ) , 那么函数 f ? ( x ) ? 0 在这个区


内单调递减. 2. 对x∈(a,b),如果f/(x)≥0, 但f/(x)不恒为0, 则f(x) 在区间(a,b)上是增函数; 对x∈(a,b),如果f/(x)≤0, 但f/(x)不恒为0, 则f(x)在 区间(a,b)上是减函数.

y
2 1
-1 1

y

O
-1

1

2

3

-1 -1

O

x

1

2

3

x

-2

3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的极值
b 4 ac - b 2 当x= 时, y 有极值 y = . 2a 4a

由于二次函数是单峰函数,因此
b 4 ac - b 当x= 时, y 有最值 y = . 2a 4a
2

新 课
观察高台跳水运动图象
h
h’(a)=0 单调递减 h’(t)<0 单调递增 h’(t)>0

o

a

t

定义
一般地, 设函数 f (x)
在点 a 附近有定义,

如果对a 附近的所有
的点, 都有

f ( x) ? f (a )

我们就说 f (x0)是 f (x)的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点.

定义
一般地, 设函数

f (x) 在点 b 附近有
定义, 如果对b 附近
的所有的点, 都有

f ( x ) ? f (b )

极小值点、极大值点统称为极值点,

极大值和极小值统称为极值.

我们就说 f (x0)是 f (x)的一个极小值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点.

f ( x3 )
f ( x4 )

y

f ( x1 )

f ( x2 )

O

a

x1

x2

x x3 思考:极大值 x4 b

练习

一定比极小值 观察上述图象,试指出该函数的极小值 大吗?

点, 极小值, 极大值点, 极大值. 极小值点: x2, x4. 极大值点: x1, x3.

极小值: f(x2) , f(x4).
极大值:f(x1), f(x3).

与 导 数 的 关 系

y

函 数 的 极 值

f ?( a ) ? 0 f ?( x ) ? 0 f ?( x ) ? 0 f ?( x ) ? 0
3

f ?( x ) ? 0

-2

-1

1

2

f ?( b ) ? 0
4

x

5

O

a

b

(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧

f /(x0)>0 ,右侧f /(x0)<0, 那么f(x0)是极大值.
(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)<0 ,右侧f /(x0)>0, 那么f(x0)是极小值.

与 导 数 的 关 系
x

y

函 数 的 极 值

f ?( a ) ? 0 f ?( x ) ? 0 f ?( x ) ? 0 f ?( x ) ? 0
3

f ?( x ) ? 0

-2

-1

1

2

f ?( b ) ? 0
4

x

5

O

a

b

x0 x0左侧 x0右侧 f?(x) f?(x) >0 f?(x) =0 f?(x) <0 f?(x) f?(x) <0 f?(x) =0 f?(x) >0 极小值 增 f(x) 减 f(x) 增 极大值 减

x0左侧

x0

x0右侧

x

1 3 例1 求函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 4 的极值. 3 1 3 2 解: 因为 f ( x ) ? x ? 4 x ? 4 , 所以 f ? ( x ) ? x ? 4 . 3 令 f ? ( x ) ? 0 , 解得 x ? 2 , 或 x ? ? 2 . 当 f ?( x ) ? 0 , 即 x ? 2 , 或 x ? ? 2 ; 当 f ?( x ) ? 0 , 即 ? 2 ? x ? 2 .
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:

x

(–∞, –2)

–2

(–2, 2)
– 单调递减

2 0

( 2, +∞)

f ?( x )

+

0

+
单调递增

f (x) 单调递增

28 / 3

? 4/3

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .

求函数极值的一般步骤:
(1)确定函数的定义域

(2)求方程f’(x)=0的根 (3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的 定义域分成若干个开区间,并列成表格

(4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符 号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况

练习 P29 1
下图是导函数 y ? f ?( x)的图象, 试找出函数 y ? f ( x)
的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.
y

y ? f ?( x)
x3 x x5 x6

a x1 O

x2

x4

b

X2是极大值点, X4是极小值点.

练习 P29 2
求下列函数的极值: (2 ) f ( x ) ? x 3 ? 2 7 x
2 ? 解: ( 2 ) 令 f ( x ) ? 3 x ? 2 7 ? 0 , 解得 x 1 ? 3 , x 2 ? ? 3 . 列表:

x

(–∞, –3)

–3

(–3, 3)

3 0

( 3, +∞)

f ?( x )

+

0


单调递减

+
单调递增

f (x) 单调递增

54

? 54

所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .

例: 求函数 f ( x) ? ( x2 ?1)3 ? 1 的极值.
2 2 ? 令 f ( x ) ? 3( x ? 1) ? 2 x ? 0, 解:

解得 x1 ? ? 1, x 2 ? 0, x 3 ? 1. 列表:
x
(–∞, –1) –1 (–1, 0) – 0 (0, 1)

1 0

( 1, +∞)

f ?( x )
f (x)

0



0

+

+

1

0

1

所以, 当 x = 0 时, f (x)有极小值 1 .

思考?
假设f /(x0)存在, 那么“x0为极值点” 与 “f /(x0)=0”有何关系? 若x0是极值点, 则 f/(x0)=0; 反之, 若f /(x0)=0, 则x0不一定是极值点.

练习 函数 y ? x ? ax ? 1 有极值的充要条件是( ) A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? 0 D. a ? 0
3

B

练习 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 9 在 x ? 1 时有 极值10,求a,b的值.
解:由题设条件得:


? f (1) ? 10 ? / ? f (1) ? 0

注意代 入检验

?1 ? a ? b ? 9 ? 10 ?? ? 3 ? 2a ? b ? 0
通过验证,合乎要求。

? a?3 解之得 ? ?b ? ?3

注意:f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

课前训练
3

1. 函数y ? x ? 3 x的极大值为m,极小值为n, 则m ? n为 ? 2 2. 曲线y ? 3x ? 5x 共有
5 3

2 个极值.

例题讲解
3 2

例1. 已知f ( x ) ? ax ? bx ? cx(a ? 0)在x ? ?1 时取得极值,且 f (1) ? ?1. (1)求常数a、b、c的值; (2)判断x ? ?1分别是极大值点还是极 小值点?

例题讲解
3 2

例1. 已知f ( x ) ? ax ? bx ? cx(a ? 0)在x ? ?1 时取得极值,且 f (1) ? ?1. (1)求常数a、b、c的值; (2)判断x ? ?1分别是极大值点还是极 小值点? 练习 3 2 1. 已知f ( x ) ? x ? ax ? bx ? c当x ? ?1时,取 得极大值7,当x ? 3时,取得极小值,求这 个 极小值及a、b、c的值.

例题讲解
3 2

例1. 已知f ( x ) ? ax ? bx ? cx(a ? 0)在x ? ?1 时取得极值,且 f (1) ? ?1. (1)求常数a、b、c的值; (2)判断x ? ?1分别是极大值点还是极 小值点? 练习
2. 已知f ( x ) ? ax ? bx ? 2 x在x ? ?2,x ? 1处 取得极值. (1)求f ( x )的解析式; (2)求f ( x )的单调区间 .
3 2

例题讲解
例2. 已知f ( x ) ? ax ? bx ? cx在点x0处取得极 ' 大值,其导函数 f ( x )的图像经过点 (1, 0), ( 2, 0). 如图,求( 1)x0的值;( 2)a、b、c的值.
3 2

y

O 1

2 x

例题讲解
3 2

例3. 若f ( x ) ? x ? 3ax ? 3(a ? 2) x ? 1既有极大 值,又有极小值 .求a的取值范围 .

例题讲解
3 2

例3. 若f ( x ) ? x ? 3ax ? 3(a ? 2) x ? 1既有极大 值,又有极小值 .求a的取值范围 .

例4. 函数f ( x ) ? x e ? ax ? bx 已知x ? ?2和 x ? 1为f ( x )的极值点. (1)求a和b的值; (2)讨论f ( x )的单调性.
2 3 2

x ?1

作业 P32 A组 5,B组1


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