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3.1不等关系与不等式(2)


高一下学期数学【理科学案】 高一数学组

§ 3.1 不等关系与不等式(2)
学习目标
1. 掌握不等式的基本性质; 2. 会用不等式的性质证明简单的不等式; 3. 会将一些基本性质结合起来应用.

学习过程
一、课前准备 1.设点 A 与平面 ? 之间的距离为 d,B 为平面 ? 上任意一点,则点 A 与平面

? 的距离小于 或等于 A、B 两点间的距离,请将上述不等关系写成不等式.

2.在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质. 请同学们回忆初中不等式的的基本性 质. (1) a ? b, b ? c ? a ___ c (2) a ? b ? a ? c ____ b ? c (3) a ? b, c ? 0 ? ac ____ bc (4) a ? b, c ? 0 ? ac ____ bc

二、新课导学 ※ 学习探究 问题 1:如何比较两个实数的大小.

问题 2:同学们能证明以上的不等式的基本性质吗?并利用以上基本性质,证明不等式的下 列性质: (1)a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; (2)a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;
(3)a ? b ? 0, n ? N , n ? 1 ? a n ? b n ; n a ? n b .

高一下学期数学【理科学案】 高一数学组

※ 典型例题 例 1 比较大小: (1) ( 3 ? 2)2
2

; 6? 2 6

(2) ( 3 ? 2) ( 6 ? 1)2 ; 1 1 (3) ; 5?2 6? 5 (4)当 a ? b ? 0 时, log 1 a _______ log 1 b .
2 2

变式:比较 (a ? 3)(a ? 5) 与 (a ? 2)(a ? 4) 的大小.

例 2 已知 a ? b ? 0, c ? 0, 求证

c c ? . a b

高一下学期数学【理科学案】 高一数学组

变式: 已知 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ,求证:

a ? d

b . c

a 例 3 已知 12 ? a ? 60,15 ? b ? 36, 求a ? b及 的取值范围. b

变式:已知 ?4 ? a ? b ? ?1, ?1 ? 4a ? b ? 5 ,求 9 a ? b 的取值范围.

※ 动手试试 练 1. 用不等号“>”或“<”填空: (1) a ? b, c ? d ? a ? c ____ b ? d ; (2) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ____ bd ;
(3) a ? b ? 0 ? 3 a ____ 3 b ; 1 1 (4) a ? b ? 0 ? 2 ___ 2 . a b 练 2. 已知 x>0,求证 1 ? x ? 1 ?
x . 2

高一下学期数学【理科学案】 高一数学组

三、总结提升 ※ 学习小结 本节课学习了不等式的性质, 并用不等式的性质证明了一些简单的不等式, 还研究了如何比 较两个实数(代数式)的大小——作差法,其具体解题步骤可归纳为: 第一步:作差并化简,其目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式; 第二步:判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论; 第三步:得出结论. ※ 知识拓展 “作差法”、“作商法”比较两个实数的大小 (1)作差法的一般步骤: 作差——变形——判号——定论 (2)作商法的一般步骤: 作商——变形——与 1 比较大小——定论

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 f ( x) ? 3x2 ? x ? 1 , g ( x) ? 2 x2 ? x ? 1 ,则 f ( x) 与 g ( x) 的大小关系为( A. f ( x ) ? g ( x ) B. f ( x) ? g ( x) C. f ( x ) ? g ( x ) D.随 x 值变化而变化
2. 已知 x ? a ? 0 ,则一定成立的不等式是( A. x 2 ? a 2 ? 0 B. x 2 ? ax ? a 2 2 C. x ? ax ? 0 D. x 2 ? a 2 ? ax ? ?? ? ? 3. 已知 ? ? ? ? ? ? ,则 的范围是( 2 2 2 A. ( ? C. ( ? ).

).

).

?

?

2

,0) ,0]

B. [? D. [?

?

?

2

,0] ,0)

2

2

4. 如果 a ? b ,有下列不等式:① a 2 ? b2 ,②

1 1 ? ,③ 3a ? 3b ,④ lg a ? lg b ,其中成立的 a b

是 . 5. 设 a ? 0 , ?1 ? b ? 0 ,则 a, ab, ab2 三者的大小关系为

.

课后作业
1. 比较
5 1 1 2 ? ? 与 的大小. 12 5 3 7

高一下学期数学【理科学案】 高一数学组

2. 某市环保局为增加城市的绿地面积, 提出两个投资方案: 方案 A 为一次性投资 500 万元; 方案 B 为第一年投资 5 万元,以后每年都比前一年增加 10 万元.列出不等式表示“经 n 年 之后,方案 B 的投入不少于方案 A 的投入”.


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