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高中数学中恒成立问题的解析


第23卷第6期 2010年12月

高等函授学报(自然科学版)
Journal of Higher Correspondence Education(Natural Sciences)

V01.23 No.6
2010

?中小学教学?

高中数学中恒成立问题的解析

春梅
(江苏省南通市第三中学,江苏南通226001)

摘要:笔者结合教学实践,对恒成立问题的类型和求解方法作一小结,如。一次型”函数恒成 立问题,利用函数单调性}“二次型”函数恒成立问题,敷形结合理解;可以分离参数的,转化为函数 最值求解;确定主元,利用函数单调性求解;数形结合,直现求解,以期对学生的学习有所帮助. 关键词:恒成立问题;“一次型”函数;。二次型”函数;数形结合 中图分类号:G634
文献标识码:A 文章编号:l006—7353(2010)06--0080--03

I。一次型”函数恒成立问题。利用函数单调性 若题目是(或可转化为)一次函数,则可利用 数形结合的思想结合一次函数的单调性求解。 例I

当a≠1时,厂(z)一(口一1)x2一(口一1)x+

2>0对V.27∈R恒成立

若,(z)一如+1在[一1,1]上恒大于
五>0时厂(z)是增函数,惫<0时是减

结合图像可知需保证P一1>0


A<0

0,求实数点的范围。 分析

且II{(a--1)z二芝叫<。解舭<口<9
综上所述,实数a的范围是1≤a<9。 点评 在不等式的恒成立问题中分类讨论 的思想方法用得比较多。凡是二次项系数含参数 的,一般都需要讨论系数是否为0的情况,解题时 要注意这一点。本题把一元二次不等式、一元二次 函数联系起来,数形结合,一般有如下结论: 对V z∈R,a≠0

函数,七一0时是常函数结合图像可以理解,无论 哪种情况,只要保证在区间端点的函数值都大于

渊¨口解{%妄。求出五的范目。
一般的,厂(z)一kx+6在[m,竹]上恒有,(z)

>枷口需满足I【籍f(m芜
,(z)一k+b在[m,行]上恒有厂(z)<a,即

需满足IVf㈤(m’:
2。二次型”函数恒成立问题,数形结合理解 2.1定义域为R
例2

口z+如+c>0恒成立臼f口>(:; IA<0
盯z+缸+c<0恒成立铮f口<o
2.2定义域为给定区间(m,咒)
例3

对于任意实数z,

,(卫)=(口一1)x2一(口一1)z

+2值恒大于0,求实数口的范
围。 分析




z2-4-配+1≥0对任意



的z∈(o,丢)恒成立,求实数口的
取值范围
图2

由于二次项系数

图1

解 为z

设厂(z)一z2+ax+l,则对称轴方程

含参数,故需要分类讨论 解 当a=1时,2>0对V z∈R恒成立;

2一号

收稿日期:2010一10一16. 作者简介:杨春梅(1980--),女,江苏省南通市人,中学二级教师,研究方向:高中数学教学.
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高等函授学报(自然科学版)
Journal of Higher Correspondence Education(NaturaI Sciences)

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若一号≥虿1,即口≤一1,则,(z)在

g(z)在(o,专)上为单调增函数 所以g(z)<g(导)=一2一寻=一导

(o,丢)上是减函数,故,(丢)≥o
解得一虿5≤口≤一1;

故口≥一号,故口的取值范围为[一虿5,+∞)
点评 解法2实际是对参数口进行了分离, 然后利用不等式性质,转化为求函数最值解决(本 题虽然最值取不到,但可以近似理解)。对于此类 题型,教学中笔者常常这样帮助学生理解:小妹妹 和大家比年纪,她比大家都小,只要她比你们中最 小的还小就可以了;同理,老师比同学们都大,只 要老师比你们中最大的还大就可以了。这样,学生 们都能理解。 一般的,a≤厂(z)对V.27∈(仇,咒)恒成立,

若一号≤o,即口≥o,则,(z)在(o,丢)上是
增函数,故厂(0)=1>0恒成立 解得a≥0;

若o<一号<虿1,即一1<口<o,则应有
f(--2)一百a2一虿a2+1=1一百a2≥0恒成立,故 一1<a<0 综上所述,口≥一i5,故口的取值范围

只需满足口≤,(z)。.n; a≥厂(z)对Vz∈(优,竹)恒成立,只需满足 a≥厂(z)。。。 如果.27∈m,咒]、z∈R上述结论仍然成立。 4确定主元.利用函数单调性求解 在有些含参不等式的恒成立问题中,如果能 恰当的把主变量和参数变量进行“换位”,常常可 以使问题降次,简化。 例4

为[一号,+∞)。
点评 本解法主要是利用数形结合的方法, 把不等式恒成立问题转化成为对应二次函数图像 的问题。对称轴方程中含有参数,定义域又已给 定,要画抛物线图像,需要确定对称轴的位置,故 在分析过程中很自然的提出了讨论对称轴位置的 要求。在解题过程中,图像起到了形象直观,化难 为易,举足轻重的作用。 3分离参数。转化为函数最值求解 当遇到题型为等式或不等式中出现了两个变 量,并且已知一个变量的范围,求另一个变量的范 围时,如果可以通过恒等变形将两个变量分别置 于等号或不等号的两边(即分离变量),则可将恒 成立问题转化成函数的最值问题求解。 例3的解法2 原不等式可化为口≥一z一

若不等式7眦2—2x+1一m<0对满

足一2≤m≤2的所有m都成立,求实数z的取 值范围。
分析

本题中,如果把m看作参数,则题设

不等式是关于z的一元二次(或一次)不等式,人 手比较困难。若换一个角度思考,把m看作主变 量,将问题转化为已知关于m的不等式成立的条 件,确定参数x的取值范围,求解起来就容易一些
了。

{cz∈(o,丢), 设g(z)=一z一{,则97(z)=一1+≯1 当z∈(o,丢)时,z2∈(o,{),1z:
∈(4,+。。)


解 2x)<0

已知不等式可化为:(z2—1)m+(1—

设,(m)一(z2—1)m+(1—2x) 这是一个关于m的一次函数(或常函数) 要使厂(m)<0在~2≤m≤2上恒成立

故一1+11∈(3,+o。) X。 所以97(z)>0

需满足{≮;三。即2xz+2x--3:

解得掣<z<攀。

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V01.23 No.6
2010

5数形结合。直观求解 如果把等式或不等式恒等变形后,可以比较 容易的画出等号或不等号两边的函数的图像,那 么可以通过数形结合,直观求解。 例5 当z∈(1,2)时,不等式(z一1)2<

必有口>1 且log。z≥1 解得1<n≤2 学生可以通过以下题目的练习来体会并巩固 恒成立问题的求解方法: (1)若不等式log。cx2--2aor3)≤1对一切实数z恒 成立,求实数n的取值范围

log。,恒成立,求实数口的范围。
分析

这种不等式,学生很难解出来。遇到

这种情况,我一般是建议学生画图,借助图像理 解,即数形结合的思想方法。 解 令Yl一(z一1)2,y2=log.z

(2)z2+2z—n≥0对任意的z∈[一2,2]恒
成立,求实数n的范围

当z∈(1,2)时,Yl∈(O,1) 要使yl<弛,如图3
yl‘tx‘1厂

(3)若不等式霄÷z2+z>(土)。一“在I£I≤2时
7【

恒成立,求实数z的取值范围 参考答案: 1.0<a<1





2.n≤一1

‘≥

一_

弘}


//Y2。

//<

3.z>一3+厅或z<一3一厅

≮呖

;∥
参考文献


If
图3

2,

r12王兴儒.“恒成立”问题的常见错误剖析EJ2.甘肃教 育,2006(23):47. I-z2程广涛.分离变量法解“恒成立”问题l-J2.高中数理 化,2007(6):13一14.

驴胡h驴q争趔h妒q争面、驴q舢印、矿q舢印、矿qh矿吲h驴q务移、驴趔h驴谚趔h蚴趔h驴q争田、驴q卜驴谚司、妒q协面h矿q争面~矿叫妒、驴
(上接第79页) 求两个总体的均值差与方差比的置信区间。理解 假设检验的基本思想了解单个正态总体的均值的 假设检验;了解单个正态总体的方差的检验;了解 两个正态总体均值与方差相等的假设检验。了解 总体分布假设的x2检验法,符号检验法,秩和检 验法。 理解单因素方差分析和双因素方差分析,并 会应用。了解回归分析,会建立及检验一元线性 回归方程(事实上由于课时等原因,多数大学并不 讲授方差分析)。 结论:比较可知,中学对统计的要求侧重于实 践应用,对有关的理论并不作要求或要求较低,且 所涉及内容较少。基本不影响大学统计部分的教 学体系。 教学建议:高中对数理统计基本概念的介绍 不如大学详细、系统,要求也不如大学高,故仍按 原大纲执行。参数估计部分中学涉及也较少,而
82 出版社,2003. 参考文献

大学要求较高,故这部分大纲不变,线性回归部分 高中讲的较详细。故大学仅简单介绍非线性回 归。另外,在概率统计教学中前面节省出来的课 时可用于讲解多数大学不讲的方差分析与回归分 析以及正交试验设计等内容。总之,努力探索中 学数学与大学数学教学衔接问题是提高高等数学 教学质量的关键,也是我们每一个数学教育工作 者的责任与义务。

1-13普通高中数学课程标准(实验)CM].北京:人民教育

1-22盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计(第四版) I-M2.北京:高等教育出版社,2001. 1-32普通高中数学教材(必修3)[M].北京:人民教育出
版社,2007.

C4]普通高中数学教材(选修2-S)I-M2.北京:人民教育出
版社,2007.

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高中数学中恒成立问题的解析
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 杨春梅 江苏省南通市,第三中学,江苏,南通,226001 高等函授学报(自然科学版) JOURNAL OF HIGHER CORRESPONDENCE EDUCATION(NATURAL SCIENCE EDITION) 2010,23(6)

参考文献(4条) 1.程广涛 分离变量法解"恒成立"问题[期刊论文]-高中数理化 2007(06) 2.王兴儒 "恒成立"问题的常见错误剖析 2006(23) 3.王兴儒 "恒成立"问题的常见错误剖析 2006(23) 4.程广涛 分离变量法解"恒成立"问题 2007(6)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdhsxb-zrkxb201006034.aspx


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