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高中数学配套课件:第1部分 第四章 4.2 4.2.2&4.2.3 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用


理解教材新知

4.2
第 四 章 4.2. 2& 4.2. 3

考点一

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考点二 考点三 考点四

应用创新演练

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观察下面生活

中常见的一些图形,感受一下 圆与圆之间有哪些位置关系?

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问题1:根据上图,结合平面几何,圆与圆的位置关系有
几种? 提示:5种,即内含、内切、相交、外切、相离. 问题2:能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系? 提示:可以,利用圆心距与半径的关系可判断. 问题3:直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断, 那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断?

提示:可以.
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1.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种,分别为 相离 、 外切 、 相交 、 内切 、 内含 . 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法:若两圆的半径分别为r1、r2,两圆连心 线的长为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:

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位置关系

外离

外切

相交

内切

内含

图示 |r1-r2| d>r1+r2

d与r1、r2 的关系

d=r1 +r2

<d<r1 +r2

d=|r1
-r2|

d<|r1
-r2|

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(2)代数法:设两圆的一般方程为
2 2 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D1+E1-4F1>0), 2 2 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D2+E2-4F2>0),

?x2+y2+D1x+E1y+F1=0, ? 联立方程得? 2 2 ?x +y +D2x+E2y+F2=0, ?

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则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:

方程组解的个数

2组

1组

0组

两圆的公共点个数
两圆的位置关系

2个

1个

0个 外离或内含

相交 内切或外切

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几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到
两圆的位置关系,代数法则是把两圆位置关系的判定完全 转化为代数问题,即方程组的解的个数问题,但这种代数 判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系, 而不能像几何判定方法一样,能判定出外离、外切、相交、 内切、内含五种位置关系,因此一般情况下,使用几何法 判定两圆的位置关系问题.

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[例1]

已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,

C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0). 试求a为何值时两圆C1、C2(1)相切;(2)相交; (3)

相离.
[思路点拨] 求圆心距|C1C2|,与半径|r1-r2|,r1+

r2的关系可判断.

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[精解详析]

对圆C1、C2的方程,经配方后可得:

C1:(x-a)2+(y-1)2=16, C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, ∴圆心C1(a,1),r1=4,C2(2a,1),r2=1, ∴|C1C2|= ?a-2a?2+?1-1?2=a, (1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切, 当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切. (2)当3<|C1C2|<5,即3<a<5时,两圆相交. (3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离.

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[一点通] (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数

的取值范围有以下几个步骤:
①化成圆的标准方程,写出圆心和半径; ②计算两圆圆心的距离d; ③通过d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆的位置关 系或求参数的范围,必要时可借助于图形,数形结合.

(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范
围是非常简单清晰的,要理清圆心距与两圆半径的关系. 返回

1.两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系
是 A.相离 C.内切 B.相交 D.外切 ( )

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解析:把方程x2+y2-8x+6y+9=0化为标准方程为(x-4)2 +(y+3)2=16,则两圆连心线的长为 =5,而4-3<5<4+3,故两圆相交. ?4-0?2+?-3-0?2

答案:B

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2.若圆x2+y2-2ax+a2=2和x2+y2-2by+b2=1 外离,则a,b满足的条件是________.
解析:由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为 (a,0), 2 和(0,b),1,因为两圆相离,所以

a2+b2> 2+1,即a2+b2>3+2 2.
答案:a2+b2>3+2 2

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3.若两圆x2+y2=m和x2+y2+6x-8y-11=0有公共

点,则实数m的取值范围是________.
解析:由x2+y2+6x-8y-11=0,得(x+3)2+(y-4)2 =36,所以两圆的圆心距d= ?-3?2+42 =5,当两圆 有公共点时,它们只能是内切、外切或相交,因此圆 心距d应满足|r2-r1|≤d≤r1+r2,即| m -6|≤5≤ m +6,从而1≤ m≤11,即1≤m≤121.

答案:[1,121] 返回

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[例2]

求与圆C:x2+y2-2x=0外切且与直线l:x+

3y=0相切于点M(3,- 3)的圆的方程. [思路点拨] 结合题意以及两圆外切、圆与直线相切

的条件,利用待定系数法,列方程组求解.

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[精解详析]

圆C的方程可化为(x-1)2+y2=1,

圆心C(1,0),半径为1. 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), ? ?a-1?2+b2=r+1, ? ?b+ 3×?- 3?=-1, 3 由题意可知? a-3 ? ?|a+ 3b|=r, 2 ? 所以所求圆的方程为(x-4)2+y2=4. ?a=4, ? 解得?b=0, ?r=2. ?

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[一点通]

本题利用待定系数法,设出圆的标准

方程,根据圆与直线、圆与圆相切的条件列出关于a, b,r的方程组求解.其中圆与圆相切转化为圆心距; 圆与线相切转化为点线距.

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4.圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2 =4外切,则m的值为 A.2 B.-5 ( )

C.2或-5

D.不确定

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解析:圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2,m),半径 长为3,圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m,-1),半 径长为2.依题意有 ?-2-m?2+?m+1?2 =3+2,即m2+3m

-10=0,解得m=2或m=-5.

答案:C

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5.半径长为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切, 则此圆的方程为 A.(x-4)2+(y-6)2=6 ( )

B.(x±4)2+(y-6)2=6
C.(x-4)2+(y-6)2=36

D.(x±4)2+(y-6)2=36

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解析:∵半径长为6的圆与x轴相切,设圆心坐标 为(a,b),则b=6,再由 a2+32 =5,可以解得a

=± 4,故所求圆的方程为(x± 2+(y-6)2=36. 4)

答案:D

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[例3]

求圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+

y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程.
[思路点拨] 本题解法较多,可利用定义求圆心与半

径,也可设a、b、r,还可利用圆系方程.

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[精解详析]]

法一:设两圆的交点分别为A,B,由 得y=x.
?x1=-1, ? 解得? ?y1=-1 ? ?x2=3, ? ? ?y2=3, ?

?x2+y2-4x-6=0, ? ? 2 ?x +y2-4y-6=0, ?

?y=x, ? 由? 2 2 ?x +y -4y-6=0, ?

∴两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交点分 别为A(-1,-1)、B(3,3).

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线段AB的垂直平分线的方程为y-1=-(x-1).
?y-1=-?x-1?, ? 由? ?x-y-4=0, ? ?x=3, ? 得? ?y=-1, ?

∴所求圆的圆心为(3,-1), 半径为 ?3-3?2+?3+1?2=4. ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.

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法二:同解法一求得A(-1,-1)、B(3,3). 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则 ?a-b-4=0, ? ??-1-a?2+?-1-b?2=r2, ??3-a?2+?3-b?2=r2, ? ?a=3, ? 解得?b=-1, ?r2=16, ?

∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.

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法三:设经过已知两圆的交点的圆的方程为 x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0(λ≠-1), 2 2λ 则其圆心坐标为( , ). 1+λ 1+λ ∵所求圆的圆心在直线x-y-4=0上, 2 2λ 1 ∴ - -4=0,即λ=-3, 1+λ 1+λ

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∴所求圆的方程为 1 2 2 x +y -4x-6-3(x +y -4y-6)=0,
2 2

即x2+y2-6x+2y-6=0.

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[一点通]

(1)圆系方程:
一般地过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆的方程可设 为:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠ -1)然后再由其他条件求出λ,即可得圆的方程.

(2)求两圆公共弦方程的前提条件是两圆相交,只要使x2、
y2的系数对应相等,两圆方程作差就得到公共弦所在的直线 方程. 返回

6.已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,与圆C2:x2+ y2-4x+2y-11=0相交于A,B两点,求AB所在 的直线方程和公共弦AB的长.

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解:由圆C1的方程减去圆C2的方程,整理,得方程
3x-4y+6=0,又由于方程3x-4y+6=0是由两圆 相减得到的,即两圆交点的坐标一定是方程3x-4y +6=0的解,因为两点确定一条直线,故3x-4y+6 =0是两圆公共弦AB所在的直线方程. ∵圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0, ∴圆心为C1(-1,3),半径r=3,

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∴圆心C1到直线AB的距离d │-3-12+6│ 9 = =5, 25 ∴│AB│=2 r -d =2
2 2

9 2 24 9-?5? = 5 .

24 ∴AB所在的直线方程为3x-4y+6=0,公共弦AB的长为 5 .

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[例4]

(12分)有一种大型商品,A、B两地均有出售且

价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每公里 的运费A地是B地的两倍,若A,B两地相距10公里,顾客选 择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那 么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点? [思路点拨] 建系后,利用居民选择在A地购买商品建

立不等关系后化简作出判断.

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[精解详析]

以直线AB为x轴,

线段AB的垂直平分线为y轴,建立直
角坐标系,如图所示,设A(-5,0), 则B(5,0).在坐标平面内任取一点 P(x,y),设从A运货到P地的运费为2a元/km,则从B运 货到P地运费为a 元/km. (3分)

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若P地居民选择在A地购买此商品, 则2a ?x+5?2+y2<a ?x-5?2+y2,? 25 2 2 20 2 整理得(x+ 3 ) +y <( 3 ) .? (7 分) 25 2 2 20 2 即点P在圆C:(x+ 3 ) +y =( 3 ) 的内部.? 也就是说,圆C内的居民应在A地购物.? 同理可推得圆C外的居民应在B地购物.? (9分) (10分) (11分) (5分)

圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物.? (12分)

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[一点通]

实际应用问题关键在于根据实际问

题建立数学模型进行分析.

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7.一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台
风预报:台风中心位于轮船正西70 km处,受到影 响的范围是半径为30 km的圆形区域,已知港口位 于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航 线,那么它是否会受到台风的影响?

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解:以台风中心为坐标原点, 以东西方向为x轴建立直角坐 标系(如图所示), 其中取10 km为单位长度,

则受台风影响的圆形区域所对
应的圆的方程为 返回

x2+y2=9,港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置 所对应的点的坐标为(7,0),则轮船航线所在直线l的方程为 x y 7+4=1,即4x+7y-28=0. 圆心(0,0)到直线4x+7y-28=0的距离 d= |28| 28 = ,而半径r=3, 2 2 65 4 +7

∵d>r,∴直线与圆相离,所以轮船不会受到台风的影响.

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1.判断两圆的位置关系通常用几何法判断,
即利用圆的方程及两点间的距离公式求出圆心距d 和两圆的半径r1和r2,再根据d与r1+r2、|r1-r2|的大 小关系来判断. 2.求两圆公切线条数时应先判断两圆的位置

关系;求两圆的公共弦长时可转化为直线与圆相交
求相交弦长问题.

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3.直线与圆的方程在实际生活以及平面几何的
应用,通常要用坐标法来解决,具体步骤如下: (1)建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程 表示问题的几何元素,将实际或平面问题转化为代 数问题.

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(2)通过代数运算,解决代数问题. (3)把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论. 4.涉及与圆有关的最值问题,可借助图形性质,

利用数形结合求解.

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