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113.特殊四面体外接球和内切球半径的非常规解法——构造法(包恩茂)


解 题 方 法 与 技 巧 

特殊 四面体外接球和 内切球半径 的非常规解法一
甘 肃武 山县 第一 高级 中学( 4 3 0  包 恩茂  7 10 ) 【 l 求棱 长 为 n的正 四面体外 接球 的半 径 . 例 】  
. ? . 

构造法 

分析 : 图 1 以正 四 面体 A 一BC

D 的棱 长 为  如 ,     侧面 对角 线 构 造 相 应 的正 方 体 A B C D 一AB D,      C  
. ? .

s ÷r s ÷r号^ r s r s s + + + 一 .  
4 一 ^一  r
0  

. ,一  ? .
上  

此时 所求 正 四面体 A 一 B   外 接 球 半 径 就 是 正 方    CD 体 A B C D 一AB D外 接球 半 径.        C   解 : 图 1 设 正 方 体  如 ,
A B.       C D 一ABC 的 棱 长  D
? ? ?

棱 长为 n的正 四面体 内切球 的半径 为 r 一  n .  

【 3   在 球 面 上 有 四点 P、 B、 如 果 P   例 】 A、 c, A、
PB、 PC两 两垂直 , P 且 A—n P , B一6 P , C—f 求 这 个  ,
球 的 半  .  
C 

为 6, 四 面 体 A 一 B     正   CD
的 棱 长 为
半 径 为 R,  

“, 正 方 体 
A  
图 】  

A B C D1 AB D 外 接 球     l 一 C

分析 : 图 3 以 P 、 如 , A 

PB、 PC 为 侧 棱 构 造 长 方  体 AB D C 一 PB    1 DC, 此  时 四面 体 P—AB C外接 球 
,  J

则 正 四 面 体 A 一     B   外 接 球 半 径 也 等 于  CD
R , 6 且 一  “  .
‘ .  

的 半 径 就 是 长 方 体 
AB D C 一 P DC 外 接 球     1 B 的半 径 .  

正方体 A B(       D 一ABC 外 接 球 的直 径 等  D

于它 的体 对角 线长 ,  
? . .

解 : 图 3 在 长方 体 AB。     如 , D C 一P BDC 中, A P  
一“ P 、 B一6 PC— c 且 P P PC 为 两 两 垂 直 . 、 , A、 B、 设 
’ R 一  . .  

2 一  R

一  …

长方 体 AB D C 一 P DC外 球 球 半 径 为 R, 所 求      B 则

球 ( 四面体 P—AB 的外 接球 ) 即 c 的半 径也 等于 R.  
?





棱长为 “的正 四面体外接球 的半径 为 R一  .  

‘ . 

P 

长 方体 Al D C 一P B      BDC的体 对 角线 的长 等 

【 2 求棱 长为 n的正 四面体 内切球 的半径 . 例 】  
分 析 : 图 2 设 正 四  如 ,

于它 的外 接球 的 直径 .  
。 . .

2 R一 、“ + 6 + f. /。      
图 
3  

面体 S—AB 内切 球 的  C
球 心 为 点  , 径 为 r 则  半 ,
C 

这个球的半径为 R   一
【 4   如 图 4 已知 球 0 例 】 ,  
B 

± 
.  

以 0 为 顶 点 构 造 出 4个 
三 棱 锥  一 ABC, 一  0
SA B , 一 SBC , — SA C  0 o

,  J

面 上 四 点 A 、 C、 D B、 D, A上 平 
面 ABC, AB— LBC, DA — AB— 

日 

的高 都 等 于 r 利 用 这 4 ,  
可解 之.  

图 2  

B c一  , 球 0 的 体 积 等 于  则 解 : 题 意 知 , A、 C、 依 以 B、   图 4  

个 三棱锥 的体积 之和 等 于 正 四 面体 S—AB 的体 积  C 解 : 图 2 设 棱 长 为 “的正 四 面体 S—ABC 内 如 ,   切 球 的球心 为 点 (, 径 为 r 连 结 0  B、 )半 ,  、 0C、 , 0S 
从 而 构 造 出 的 4个 小 三 棱 锥 0一AB (一 S C,) AB, 0~ 

D这 四个点 为 顶 点 构 造 相 应 的  正方体 , 则所求 球 的半 径 就等 于此 正 方 体 的外 接球 的  半 径 R.  
‘ .

s c,   s B 0 Ac的高 都等 于 r 设 正 四面体 s , —AB c四 
个 侧面 面积 均为 S, 为 ^, 高 可得 


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( 责任 编辑 : 金 铃)  

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