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正切函数的图象和性质


正切函数的图象和性质

一、引入 如何用正弦线作正弦函数图象呢?
1、用平移正弦线得 y ? sinx, x ?[0,2? ]图象.

2、再利用周期性把该段 图象向左、右扩展得到 .

类 比

用正切线作正切函数y=tanx的图象

二、探究用正切线作正切函数图象


sin? x ? ? ? ? sinx ? f ? x ? ? ? ? tan? x ? ? ? ? ? ? tan x ? f ? x ? cos? x ? ? ? ? cos x ? 是它的一个周期. ∴ y ? tan x 是周期函数,
问题1、正切函数 y ? tan x是否为周期函数?

我们先来作一个周期内的图象。 想一想:先作哪个区间上的图象好呢?
(?

? ?
2 2 ,

)

为什么?

? ? ?? y ? tan x 利用正切线画出函数 ,x ? ? ? , ? 的图像: ? 2 2?

4.10 正切函数的图像和性质
? ? ?? y ? tan x x ? 问题2、如何利用正切线画出函数 , ? ? , ? 的图像? ? 2 2?
大 家 试 一 试 : 用 单 位作 圆 出 角? 的 正 切 线 ,
?, 并把点( tan ? ) 表 示 在 直 角 坐 标 系 。 中
3 3 3

角 的终边 3 T

?

Y

(? , tan ? )
3 3

A

0

? 3

X

? ? ?? y ? tan x x ? 利用正切线画出函数 , ? ? , ? 的图像: ? 2 2? 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分: ? ? ? 3? 3? ? (2) 作正切线 ? , , , ? ? , , 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线

o

? 3? ? ? 0 ? ? ? ? 2 8 4 8

? 8

? 4

3? 8

? 2

正 切 函 数 图 像

⑶ 周期性: ?

? ⑴ 定义域: {x | x ? ? k?, k ? Z} 2 ⑵ 值域: R

⑷ 奇偶性: 奇函数,图象关于原点对称。

⑸ 单调性: 在每一个开区间 ? ? (? ? k? , ? k? ) ,k ? Z 内都是增函数。 2 2 ?
x ? k? ? (6)渐近线方程: 2 , k?Z

三、例题:

? 例 题1, 求 函 数 y ? tan( x ? ) 4 的 定 义 域 , 值 域 , 周和 期单 调 性 。

例2:

(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗?为什么? (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数?为什么?

A
B

(? ? k? , ? k? ) ,k ? Z 内都是增函数。 2 2

?

?

在每一个开区间

例3、比较下列每组数的大小。

(1) tan167 与 tan173
11? tan( ? ) 与 tan( ? 13? ) (2) 4 5

说明:比较两个正切值大小,关键是把相应的角 化到y=tanx的同一单调区间内,再利用 y=tanx的单调递增性解决。

课堂练习:

1、 比 较 大 小 : (1) tan1380 _____ < tan1430。 13? 17? > ( 2) tan (? ) _____tan (? ) 4 5

2、求函数y=tan3x的定义域,值域,单调性。

k? ? 定义域:{ x\x? ? , k ? z} 3 6 值域: R
? k? ? k? 单调递增区间:( ? ? , ? ) ,k ?z 6 3 6 3

思考: y?
Y=tanx

? A tan(?x ? ?)的周期 T ? ?

Y=2tanx Y=tan2x Y=tan(x+π) Y=4tan(3x+ π)

? ? ?
? 2

? 3

四、小结:正切函数的图像和性质
? ? 1、 正 切 曲 线 是 先 利 用 移 平正 切 线 得 y ? tan x, x ? ( ? , )的 图 象 , 2 2 再 利 用 周 期 性 把 该 段象 图向 左 、 右 扩 展 得 到 。

2 、y ? tan x 性质: ? ⑴ 定义域: {x | x ? ? k?, k ? Z} ⑵ 值域: R 2 ⑶ 周期性: ? ⑷ 奇偶性: 奇函数,图象关于原点对称。

⑸ 单调性: 在每一个开区间 ? ? (? ? k? , ? k? ) , k ? Z 内都是增函数。 2 2 ?
(6)渐近线方程: x ? k? ?
2 , k?Z


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