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高中数学必修二4.3.1空间直角坐标系


主讲教师:元谋一中

刘张贵 2012年12月26日

1、空间直角坐标系的建立;
2、空间点的坐标; 3、特殊位置的点的坐标;

数轴上的点怎 样表示?
B
-2 -1 A 1 2

O

3

x

轴上的点可以用 唯一的一个实数表示

y

平面坐标系中的点怎 样表示?
P (x,y) 平面中的点可以用 有序实数对(x,y) 来表示点

y

O

x

x

在教室里同学们的位置如何用 坐标表示?
z

y O

x

在空间中,我们是否可以建立一个坐标系, 使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组 表示出来呢?

猜想:

空间中的点可用有序实数 组(x,y,z)表示。

一.空间直角坐标系O-xyz的 画法: z 1作图:
y轴和z轴的单位长度相同,x 轴上的单位长度为y轴(或z轴
)的单位长度的一半.
1350 o
1350 900

y

一般的 使
?xOy ? 135 ?, ?yOz ? 90 ?

x

一.空间直角坐标系 O-xyz
z
1

竖轴

纵轴

o
1

1

y
右手直角坐标系

x

横轴

空间直角坐标系
右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手 拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,如 果中指指向 z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直 角坐标系. z
z

O

y

y
x

说明:

x

☆本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.

z

O为坐标原点
D' A' B' O A B C'

x轴,y轴,z轴叫

y C

坐标轴

x

通过每两个坐标轴的平面叫 坐标平面,
yOz 分别为 xOy平面、 平面、xOz 平面。

空间中任意一点P如何用坐标表示呢?
方法一:过P点作三个平面分别垂直于x,y,z轴,
平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、P3,在其相应 轴上的坐标依次为x,y,z,
点P就对应唯一确定的有序实数组(x,y,z),

z

z

?
1

P3

? P (x,y,z)
1 y ?P 2

x? 1 x P1

? o

y

方法二:如何作出点(5,4,6)

分析:
从原点出发沿x轴 O 正方向移动5个单位 P1

z
P(5,4,6)


沿与y轴平行的方向 P1 P 向右移动4个单位
2

P 沿与z轴平行的方向 P
2

P1



o


y
P2

向上移动6个单位

x

一般化(方法二):过P点作xOy面的垂线, P0
P0 垂足为 ,点 在xOy坐标平面内中的坐标为(x、 y),有向线段PP0本身对应一个实数,

点P就对应唯一确定的有序实数组(x,y,z)
z
z P1 P (x,y,z)

1

?
y
1

x

1 M

? o

x

?P

N

y

0

三、特殊位置的点的坐标:
点P的位置 原点O X轴上A 坐标形式

(0,0,0) (2,0,0) (0,3,0) (0,0,1) (3,1,0) (0,2,3) (1,0,2)
F

z

?E

Y轴上B
Z轴上C XOY面内D YOZ面内E ZOX面内F

?1
O

?C
?
1

B y

?A1 ?D
x

(1)坐标轴上的点:
z

?E

x轴上的点(x,0,0) y轴上的点 (0,y,0) z轴上的点(0,0,z)
B

F

?1
O

?C
?
1

(2)坐标平面内的点: y
xoy平面上的点(x,y,0) yoz平面上的点(0,y,z) xoz平面上的点(x,0,z)

?A1 ?D
x

例1 : 在长方体OABC ? D?A?B?C ?中, OA ? 3, ? 4, D? ? 2, OC O 写出所有点的坐标.
z
2 D ' (0, 0, 2)

C '?0,4,2 ?

?3,0,2 ? A '
O ?0,0,0 ?

B '(3, 4, 2)
4

y

C (0, 4, 0)
3

x A (3,0,0)

B (3, 4, 0)

例2 结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意
1 图(可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体),其 2

中色点代表钠原子,黑点代表氯原子. 如图建立空间直角坐标 系O-xyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标. z

O

y

x
解:把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在 位置的坐标.

z

P135 例2

o
y
x

z
下层的原子全部在平面上,它们所 在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠 原子所在位置的坐标分别是(0,0,0), (1,0,0),(1,1,0),(0,1,0), 1 1 ( , ,0). 2 2

O

中层的原子所在的平面平行于平面,与轴交点的竖坐标为, 所以,这四个钠原子所在位置的坐标分别是

x

1 1 1 1 1 1 1 1 ( ,0, ),(1, , ),( ,1, ),(0, , ); 2 2 2 2 2 2 2 2

上层的原子所在的平面平行于平面,与轴交点的竖坐标为 1,所以,这五个钠原子所在位置的坐标分别是: (0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),

1 1 ( , ,1). 2 2

P135 例2
z

o
y
x

二、空间直角坐标系的划分:


z

zx 面
Ⅱ Ⅰ

yz 面


xy 面
Ⅶ Ⅷ

?

O

y


x


空间直角坐标系共有八个卦限

练习:在空间直角坐标系中作出下列各

(-1,-3,3) C ?
z

(1)A(1,4,1); (2)B(2,-2,-1); (3)C(-1,-3,3);
(-1,-3,0) C1 ? 1
O

?

(2,-2,0) B1

1

? B?
x

1

? A(1,4,1) y ?
A1(1,4,0)

(2,-2,-1)

练习136页
2、如下图,在长方体OABC-D`A`B`C`中, |OA|=3,|OC|=4,|OD`|=3,A`C`于B`D`相交于 点P.分别写出点C,B`,P的坐标.
z

C(0,4,0) B’(3,4,3)
A`

D` 3

P
B`

C`

3 P( , 2,3) 2
x

4
A

3

O

P`
B

C

y

课堂小结:
1、空间直角坐标系的建立 2、空间直角坐标系的画法 3、空间直角坐标系中点的坐 标表示方法及点与坐标的一一对应 关系

课后作业:
? 136页练习1,3题 ? 138页习题4.3 A组2.


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