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2014年高二数学竟赛试题(2)


2914 年高二级数学竞赛试题(2)
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔、签字笔或铅笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填涂在答题卡上及答题卷的密封线内. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案

. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相 应位置上,否则作答无效. ...... 4.考生必须保持答题卡和答题卷的整洁。考试结束后,将答题卡和答题卷一并交回。 一、选择题: (每小题 5 分,共 40 分)

1、 已知集合P ? { y ? x ? 1}; Q ? { y | y ? x ? 1}; E ? {x | y ? x ? 1}; F ? {( x, y ) | y ? x ? 1} ;
(A) P ? F 2、 设函数f ( x ) ? ?

G ? {x | x ? 0}.

则有(

)
(D) Q ? G

(B) Q ? E

(C) E ? F

?sin(? x 2 ) ( ?1 ? x ? 0) ? , x ?1 ( x ? 0) ?e ?
(B) 1 或 ?

若 f (1) ? f (a) ? 2 , 则 a ? (

)

(A) 1

2 2

(C) ?

2 2

(D) 1 或

2 2

3、在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 a9 ? a11 ? ( (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17

1 3

)

x2 y3 ? ? 1 ,若 m, n, m ? n 成等差数列,则椭圆的离心率为( 4、已知椭圆 m n
(A)

)

3 2
??? ??? ? ?

(B)

2 2
0

(C)

1 2
??? ?

(D)

5 5

与 | | ,点 C在以O 为圆心的圆弧 5、如图:向量 OA OB的夹角为120 ,且 | OA ? | OB? a ???? ??? ? ??? ? ? 上运动,设 OC ? x? ? y ? ( x, y ? R) ,则 x ? y OA OB AB
的最大值为( (A) 1 (D) 2 2 6、如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长均为 2,且点 A1 在 面 ABC 上的射影为 BC 中点 O,则异面直线 AB 与 CC1 所成角的余
1
A B O

??? ?

B

) (B)

C O A

2

(C) 2

A1 B1

C1

C

弦值为( (A)

)

3 4

(B)

5 4
?

(C)

7 4

(D)

3 4

7 、 已 知 函 数 f ( x) ? sin( ? x) , 则 要 得 到 其 导 函 数 y ? f '( x) 的 图 象 , 只 需 将 函 数 3

y ? f ( x) 的图象(
(A)向左平移 (C)向左平移

) (B)向右平移 (D)向右平移

? 个单位 2

2? 个单位 3

? 个单位 2

2? 个单位 3

8、已知定义域为 R 的函数 f ( x) ,满足 f ( x) ? f (? x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f ( x) 单调 递增.如果 x1 ? x2 ? 0 ,且 x1? x2 ? 0 ,对于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值,下列判断正确的是 ( ) (A)恒小于 0 (B) 恒大于 0 二、填空题: (每小题 5 分,共 30 分) 9、已知 sin( (C)可能为 0 (D)可正可负

?

3 ? x) ? , 则 sin 2 x的值为 4 5

;

10、不等式 | 2 x ? 1| ? x ? 1 的解集为 11、把 4 名大学毕业生分配到 A、B、C 三个单位实习,每个单位至少一人,已知学生甲只 去 A 单位,则不同的分配方案有 种(用数字作答) 12、已知点 P 为抛物线 C : y ? 4 x 上的一个动点, Q 为圆 x ? ( y ? 4) ? 1 上的动点,
2 2 2

设点 P 到抛物线 C 的准线距离为 d ,则 d ? | PQ | 的最小值为 13、 已知数列 {an }中, a1 ? 1, an ?1 ? an ? n ,利用如右图所示 的程序框图计算 a10 的值,则判断框中应填 14、下列命题中: ①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的 高乘以底边中点的横坐标之和; ②线性相关系数 r 的的绝对值越接近 1,表示两变量的相关 性越强 ③回归直线一定过样本中心 ( x, y ) ;
2

开始

i=1,m=1 i=i+1 是 否 输出 m

?

m=m+i

结束

④已知随机变量 X ~ N (2,? ), 若P( X ? 1) ? 0.4 , 则P(X ? 3)=0.6 则其中正确命题的序号是 三、解答题: (共 80 分)

2

15、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) (? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 为偶函数,且其图象两相邻对称轴间的距离为 (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2) 若 把 y ? f ( x) 图 象 按 向 量 a = (

? 2

?

?
6

, 0)平 移 , 得 到 函 数 y ? g ( x) 的 图 象 , 求

y ? g ( x)
的单调增区间.

16、 (本小题满分 12 分)高二级某次数学测试中,随机从该年级所有学生中抽取了 100 名同学的数学成绩(满分 150 分),经统计成绩在 ? 0, 79? 的有 6 人,在 [130,150] 的有 4 人.在 ?80,90 ? , ?90,100 ? , ?100,110 ? ,

?110,120 ? , ?120,130 ? 各区间分布情况
频率 组距

如右图所示的频率分布直方图,若直方图 中, ?100,110 ? 和 ?110,120 ? 对应小矩形高 度相等,且 ?120,130 ? 对应小矩形高度又恰 为 ?110,120 ? 对应小矩形高度的一半.

a
0.02 0.01 分数 80 90 100 110 120 130

(1)确定图中 a 的值; (2)设得分在 110 分以上(含 110 分)为优秀,则这次测试的优秀率是多少? (3)某班共有学生 50 人,若以该次统计结果为依据,现随机从该班学生中抽出 3 人, 则至少抽到一名数学成绩优秀学生的概率是多少?

(1)、据此说明四棱锥 P-ABCD 具有的特征及已知条件; (2)、由你给出的特征及条件证明:面 PAD⊥面 PCD (3)、若 PC 中点为 E,求直线 AE 与面 PCD 所成角的余弦值. 18 、 ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 O 为 坐 标 原 点 , 点 F 、 T 、 M 、 P 分 别 满 足

? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? O F ? (1, 0 ) , O T? ?( 1, )F, M M T ,P M F T ? P T . O F t ? ? ,
(1) 当 t 变化时,求点 P 的轨迹方程;

? ? ??

(2) 若 ? ABC 的顶点在点 P 的轨迹上,且点 A 的纵坐标 y A ? 4 , ? ABC 的重心恰好 为点 F, 求直线 BC 的方程.

3

19、(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ln x ( a ? R, 且a ? 0 ) (1) 判断函数 f ( x) 的单调性;
2 (2) 是否存在实数 a 使得函数 f ( x) 在区间 ?1, e ? 上有最小值恰为 ? ?

a ? 若存在,求 2

出 a 的值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 下表给出的是由 n×n(n≥3,n∈N )个正数排成的 n 行 n 列数表, ai j 表示第 i 行第 j 列的数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为 d ,表中各行中每一行 ... ...... 的数从左到右依次都成等比数列,且所有公比相等,公比为 q ,若已知
*

1 3 a1 1 ? 1, a 1 3 , a 2? , ? 3 4 8
a11 a21 a31


a12 a22 a32


a13 a23 a33


… … … … …

a1n a2n a3n


an1

an 2

an 3

ann

(1)求 d , q 的值; (2)求用 i, j 表示 ai j 的代数式; (3) 设 表 中 对 角 线 上 的 数 a11 , a22 , a33 , … … , ann 组 成 一 列 数 列 , 设 Tn= a11 + a22 + a33 +……+ ann 求使不等式 2 Tn<4 -n-43 成立的最小正整数 n.
n n

4

参 考 答 案 及 评 分 标 准

∴? ?

?
6

? k? ?

?
2

, 即? ?k? ? 2? 3

2? (k ? z ) 3
…………………………………………………

又0 ? 4 ??, 7分

?? ?

(或由 f (? x) ? f ( x) 恒成立 ? 2sin 2 x? cos(? ?

?

? ??

?
6

? k? ?

?
2

? ? ? k? ?

∴ f ( x) ? 2? sin(2 x ? 8分

?
2

2? ) 3

) ? 0 ? cos(? ? ) ? 0 6 6

?

) ? 2? 2 x cos

…………………………………………

(2)由(1)得 g ( x) ? 2? 2( x ? cos 10 分 令 2 k? ? ? ? 2 x ?

?

) ? 2? cos(2 x ? ) 6 3

?

…………………………………

?
3

? 2 k?

5

得 g ( x) 的单调递增区间为 [k? ?

?
3

, k? ? ] (k ? z ) …………………12 分 6

?

16、解: (1)由题意知,成绩分布在 ?80,130 ? 间的频率为 0.9, 17、解:(1)由图可知四棱锥 P-ABCD 中有 ①ABCD 为直角梯形,其中 AB∥CD,AD⊥AB,(AB⊥CD) ②PA⊥面 ABCD, P ③PA=AD=CD=2, AB=1 ………………………5 分 F ⑵ 由(1)知 PA⊥面 ABCD ∴PA⊥CD 又在直角梯形 ABCD 中,AD⊥CD D 而 PA,AD ? 面 PAD 中, ∴CD⊥面 PAD A CD ? 面 PCD ∴面 PAD⊥面 PCD ……………………9 分 ⑶取 PD 中点 F,连结 EF;则 EF ?

E
C

B

1 CD 2

在 Rt ? PAD中 ,PA=AD,PA ? AD ∴AF⊥PD 且 AF ?

1 PD ? 2 2

又由(2)知面 PAD⊥面 PCD ∴AF⊥面 PCD ∴∠AEF 为 AE 与面 PCD 所成的角 在△AEF 中, ∠AFE=90 , AF ?
0

………………………12 分

2 ,EF=1
EF 1 3 ? ? AE 3 3

∴ AF ? 3, ? cos ?AEF ?

即 AE 与面 PCD 所成角的余弦值为

3 3

…………………………14 分

6

(3)由 E 为 PC 中点

∴E (1,1,1)

??? ? ? AE ? (1,1,1) ?

由(2)知面 PCD 的一个法向量为 n ? (0,1,1) 设 AE 与面 PCD 所成角为 ?

??? ? ? ??? ? ? | AE ?n | ? 则 sin ? ?| cos ? AE ,n ?|? ??? ? ? | AE |? n | | ? cos ? ? 1 ? 2 3 ? 3 3
3 3

2 ? 2? 3

2 3

即 AE 与面 PCD 所成角的余弦值为

18、解:(1)设 P( x, y ), 由题意知 F (1, 0), T ( ?1, t ), ? FT ? ( ?2, t ) 又 由

??? ?

? F

?

,



中点

? t …………………………2 分 M 2

?

,

???? ? ??? ? t ? PM ? (? x, ? y ), PT ? (?1 ? x, t ? y ) 2 ???? ??? ? ? t 由PM ? FT , ?2 x ? t ( ? y ) ? 0 ........................① 2 ??? ??? ? ? 由PT ? OF , ? (?1 ? x)?0 ? (t ? y )? ? 0, 即t ? y......② ????????????6分 1
由①②消去 t 得点 P 的轨迹方程为: y ? 4 x
2

…………………………7 分

7

当 a ? 0或0<

a ? 1, 即a ? 0或0 ? a ? 2时 , f ( x) 在 ?1,e 2 ? 上为增函数, ? ? 2
此 时 , …………9 分

f ( x)min ? f (1) ? 2 ?
当1 ?

a , 则a ? 4(不合题意,舍去), 2

a ? a? ?a ? ? e2 , 即2 ? a ? e2时 , f ( x) 在 ?1, ? 上为减函数,在 ? , e 2 ? 上为增函数; 2 ? 2? ?2 ?
a 2 a a a 1 ? , 即ln ? , ? a ? 2 e ……11 分 2 2 2 2

此时, f ( x) min ? f ( ) ? a ? a ln 当

a ? e2 , 即a ? 2e2时 , f ( x) 在 ?1,e 2 ? 上为减函数, ? ? 2
此时, f ( x) min ? f (e 2 ) ? 2e 2 ? 2a ?

a 4e2 , 则a ? (不合题意,舍去), 13 分 2 5
……………14 分

综上,存在 a ? 2 e 满足题意.
8

20、解:⑴由题意有:

由a11 ?q 2 ? a13 且q ? 0 ? q ?

1 2 1 2 3 3 又由 a23 ? a21 ? 2 ? a21 ? ) ? q ( ? a21 ? 2 8 2 1 ……………………………4 分 ? d ? a21 ? a11 ? 2

1 1 1 (2)由(1)知 ai1 ? a11 ? (i ? 1)?d ? 1 ? (i ? 1) ? i ? 2 2 2 1 1 j ?1 1 j ? ai j ? ai1 ?q j ?1 ? (i ? 1)?( ) ? (i ? 1)?( ) ???????????8分 2 2 2
⑶由(2)知 ann ? (n ? 1)?( 1 ) n 2
?Tn ? a11 ? a22 ? a33 ? ? ? ann 1 1 1 1 1 ? 2 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? ? ? n?( ) n ?1 ? ( n ? 1)? ) n ( 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 ? Tn ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? ? ? n? ) ? ( n ? 1)? ) ( ( 2 2 2 2 2 2

1 1 ? [1 ? ( ) n ] 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 1 2 2 ? ( n ? 1) ? ( 1 ) n ?1 两式相减得 : Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? ( n ? 1)? ) ? ? ( 1 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 3 1 1 3 n?3 ? ? ( ) n ? (n ? 1) ? ( ) n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n ?????????????12分 2

? 2n ? n ? 3?2n ? (n ? 3) ? 4n ? n ? 43 T

即 4n ? 3 ? 2n ? 40 ? 0

? (2n ? 5)? n ? 8) ? 0 (2

? 2n ? 8 ? n ? 3

故使原不等式成立的最小正整数为 4.

…………………………………14 分

9


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