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三角函数高考综合习题【家教】


三角函数复习题
一、选择题; 1. 2002 春北京、 ( 安徽, 若角α 满足条件 sin2α <0, 5) cosα -sinα <0, 则α 在 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2002 上海春,14)在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形

D.等边三角形 sinx 3.(2002 京皖春文,9)函数 y=2 的单调增区间是( ) A.[2kπ - ) )

?
2

,2kπ +

?
2

] (k∈Z)

B.[2kπ +

?
2

,2kπ +

3? 2

] (k∈Z)

C.[2kπ -π ,2kπ ] (k∈Z) D.[2kπ ,2kπ +π ] (k∈Z) 4.(2002 全国文 5,理 4)在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为( A.(



?
4



?
2

)∪(π ,

5? 4



B.(

?
4

,π )
5? 4

C.(

?
4




5? 4 3? 2

D.(

?
4

,π )∪(





5.(2002 北京,11)已知 f(x)是定义在(0,3)上的函数,f(x)的图象如图 4—1 所示,那么不等式 f(x)cosx<0 的解集是( ) A.(0,1)∪(2,3) B.(1,

?
2

)∪(

?
2

,3)

C.(0,1)∪(

?
2

,3)

图 4—1

D.(0,1)∪(1,3) 6.(2002 北京理,3)下列四个函数中,以π 为最小正周期,且在区间( 减函数的是( )

?
2

,π )上为

1

A.y=cos2x C.y=(
1 3

B.y=2|sinx| D.y=-cotx

)cosx

7.(2002 上海,15)函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]的大致图象是(



8.(2001 春季北京、安徽,8)若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则点 P(cosB-sinA, sinB-cosA)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.(2001 全国文,1)tan300°+cot405°的值是( ) A.1+ 3 B.1- 3 C.-1- 3 D.-1+ 3 )

10.(2000 全国,4)已知 sinα >sinβ ,那么下列命题成立的是( A.若α 、β 是第一象限角,则 cosα >cosβ B.若α 、β 是第二象限角,则 tanα >tanβ C.若α 、β 是第三象限角,则 cosα >cosβ D.若α 、β 是第四象限角,则 tanα >tanβ 11.(2000 全国,5)函数 y=-xcosx 的部分图象是( )

12.(1999 全国,4)函数 f(x)=Msin(ω x+ ? ) >0) (ω ,在区间[a,b]上是增函 数,且 f(a)=-M,f(b)=M,则函数 g(x)=Mcos(ω x+ ? )在[a,b]上( ) A.是增函数 C.可以取得最大值- B.是减函数 D.可以取得最小值-m

13.(1999 全国,11)若 sinα >tanα >cotα (-

?
2

<α <

?
2

) ,则α ∈(



A.(-

?
2

,-

?
4



B.(-

?
4

,0)

C.(0,

?
4



D.(

?
4



?
2



2

14.(1999 全国文、理,5)若 f(x)sinx 是周期为π 的奇函数,则 f(x)可以是( A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x



15.(1998 全国,6)已知点 P(sinα -cosα ,tanα )在第一象限,则在[0,2π ]内 α 的取值范围是( ) A.(

?
2



3? 4

)∪(π ,

5? 4



B.(

?
4



?
2

)∪(π ,
5? 4

5? 4


3? 2

C.(

?
2



3? 4

)∪(





D.(

?
4



?
2

)∪(

3? 4

,π )

16.(1997 全国,3)函数 y=tan(

1 2

x?

1 3

π )在一个周期内的图象是(



17.(1996 全国)若 sin2x>cos2x,则 x 的取值范围是( A.{x|2kπ -
3 4



π <x<2kπ +

?
4

,k∈Z}

B.{x|2kπ +

?
4

<x<2kπ +

5 4

π ,k∈Z}

C.{x|kπ -

?
4

<x<kπ +

?
4

,k∈Z}

D.{x|kπ +

?
4

<x<kπ +

3 4

π ,k∈Z} )

18.(1995 全国文,7)使 sinx≤cosx 成立的 x 的一个变化区间是( A.[-
3? 4



?
4



B.[-

?
2



?
2



C.[-

?
4



3? 4



D.[0,π ]
3

19.(1995 全国,3)函数 y=4sin(3x+

?
4

)+3cos(3x+
2? 3

?
4

)的最小正周期是(



A.6π

B.2π

C.

D.

?
3

20. (1995 全国, 已知θ 是第三象限角, sin4θ +cos4θ = 9) 若

5 9

, 那么 sin2θ 等于 (



A.

2 2 3

B.-

2 2 3

C.

2 3

D.-

2 3

21.(1994 全国文,14)如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 等于( A.
2

?
8

对称,那么 a

) B.-
2

C.1 )

D.-1

22.(1994 全国,4)设θ 是第二象限角,则必有( A.tan

?
2

>cot

?
2

B.tan

?
2

<cot

?
2

C.sin

?
2

>cos

?
2

D.sin

?
2

-cos

?
2

二、填空题

? 23. 2002 上海春, 若 f x) ( 9) ( =2sinω x (0<ω <1 ) 在区间 [0, ] 上的最大值是 3
则ω = .
2 5

2,

24.(2002 北京文,13)sin

π ,cos

6 5

π ,tan

7 5

π 从小到大的顺序是

.

25.(1997 全国,18)

sin 7 ? ? cos 15 ? sin 8 ? cos 7 ? ? sin 15 ? sin 8 ?

的值为_____.

26.(1996 全国,18)tan20°+tan40°+ 3 tan20°·tan40°的值是_____. 27.(1995 全国理,18)函数 y=sin(x-

?
6

)cosx 的最小值是

.

28.(1995 上海,17)函数 y=sin

x 2

+cos

x 2

在(-2π ,2π )内的递增区间是

.

4

29.(1994 全国,18)已知 sinθ +cosθ = 三、解答题; 30.(2000 全国理,17)已知函数 y=
1 2

1 5

,θ ∈(0,π ) ,则 cotθ 的值是

.

cos2x+

3 2

sinxcosx+1,x∈R.

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

31.(2000 全国文,17)已知函数 y= 3 sinx+cosx,x∈R. (1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

32.(1995 全国理,22)求 sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

33.(1994 上海,21)已知 sinα = 求 tan(α -2β )的值.

3 5

,α ∈(

?
2

,π ) ,tan(π -β )=

1 2



34.(1994 全国理,22)已知函数 f(x)=tanx,x∈(0,
x1 ? x 2 2

?
2

) ,若 x1、x2∈(0,

?
2

) ,且 x1

≠x2,证明

1 2

[f(x1)+f(x2) ]>f(

).

5

35.已知函数 f ( x ) ? lo g 1 (sin x ? co s x )
2

⑴求它的定义域和值域; ⑵求它的单调区间;⑶判断它的奇偶性; ⑷判断它的周期性.

36. 求函数 f (x)= lo g 1 co s( x ?
2

1

?
4

) 的单调递增区间

3

37. 已知 f(x)=5sinxcosx- 5 3 cos2x+

5 2

3

(x∈R)

⑴求 f(x)的最小正周期; ⑵求 f(x)单调区间; ⑶求 f(x)图象的对称轴,对称中心。

38.若关于 x 的方程 2cos2(? + x) ? sinx + a = 0 有实根,求实数 a 的取值范围。

6

1--4BCAC 24.答案:
3 4

6-9CBCBB

10-14DDCBB
6 5
3? 2

15-19ADAC
2? 5

20-22ADA 26.答案:2- 3 27.答案: 3

25.答案:cos

π <sin

<tan

7? 5

28.答案:-

3 4

29.答案: ? [

,

?
2

] 30.答案:-

3 4

31.解: (1)y=

1 2

cos2x+

3 2
1 4

sinxcosx+1



1 4

(2cos2x-1)+



3 4

(2sinxcosx)+1



1 4

cos2x+

3 4

sin2x+

5 4



1 2

(cos2x·sin

?
6

+sin2x·cos

?
6

)+

5 4



1 2

sin(2x+

?
6

)+

5 4

y 取得最大值必须且只需 2x+

?
6



?
2

+2kπ ,k∈Z,即 x=

?
6

+kπ ,k∈Z.

所以当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换: ①把函数 y=sinx 的图象向左平移

?
6

+kπ ,k∈Z}.

?
6

,得到函数 y=sin(x+

?
6

)的图象;

②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的

1 2

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y=sin(2x+

?
6

)的图象;

③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的

1 2

倍(横坐标不变) ,得到函数

y=

1 2

sin(2x+

?
6

)的图象;

7

④把得到的图象向上平移

5 4

个单位长度,得到函数 y=

1 2

sin(2x+

?
6

)+

5 4

的图象;

综上得到函数 y=

1 2

cos2x+

3 2

sinxcosx+1 的图象.

评述: 本题主要考查三角函数的图象和性质, 考查利用三角公式进行恒等变形的技能以 及运算能力. 32.解: (1)y= 3 sinx+cosx=2(sinxcos

?
6

+cosxsin

?
6

)=2sin(x+

?
6

) ,x∈R

y 取得最大值必须且只需 x+

?
6



?
2

+2kπ ,k∈Z,即 x=

?
3

+2kπ ,k∈Z.

所以,当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= (2)变换的步骤是: ①把函数 y=sinx 的图象向左平移

?
3

+2kπ ,k∈Z}

?
6

,得到函数 y=sin(x+

?
6

)的图象;

②令所得到的图象上各点横坐标不变,把纵坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数 y=2sin(x+

?
6

)的图象;

经过这样的变换就得到函数 y= 3 sinx+cosx 的图象.
1 2

33.解:原式=

(1-cos40°)+

1 2

(1+cos100°)+

1 2

(sin70°-sin30°)

=1+

1 2

(cos100°-cos40°)+

1 2

sin70°-

1 4



3 4

-sin70°sin30°+

1 2

sin70°



3 4



1 2

sin70°+

1 2

sin70°=

3 4

.

34.解:由题设 sinα =

3 5

,α ∈(

?
2

,π ) ,

可知 cosα =-

4 5

,tanα =-

3 4
8

又因 tan(π -β )=

1 2

,tanβ =-

1 2

,所以 tan2β =

2 tan ? 1 ? tan
2

?

? ?

4 3

tan(α -2β )=

tan ? ? tan 2 ? 1 ? tan ? tan 2 ?
sin x 1 cos x 1 ?

? ?

3

4 3 ? 7 1?1 24
? sin x 1 cos x 2 ? cos x 1 sin x 2 cos x 1 cos x 2

?

4

35.证明:tanx1+tanx2=
sin( x 1 ? x 2 ) cos x 1 cos x 2

sin x 2 cos x 2

?

?

2 sin( x 1 ? x 2 ) cos( x 1 ? x 2 ) ? cos( x 1 ? x 2 )

因为 x1,x2∈(0,

?
2

) 1≠x2, ,x

所以 2sin(x1+x2)>0,cosx1cosx2>0,且 0<cos(x1-x2)<1, 从而有 0<cos(x1+x2)+cos(x1-x2)<1+cos(x1+x2) , 由此得 tanx1+tanx2>
2 sin( x 1 ? x 2 ) 1 ? cos( x 1 ? x 2 )
x1 ? x 2 2 x1 ? x 2 2
?



所以

1 2

(tanx1+tanx2)>tan



1 2

[f(x1)+f(x2) ]>f(

).
?
4 5 4

36 解(1)x 必须满足 sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及 2 k ? ∈Z∴ 函数定义域为 ( 2 k ?
(2k? ?

? x ? 2k? ?

?

,k

?

? 4

, 2k? ?
?
4

5 4

? ) ,k∈Z∵ sin x ? cos x ? 2 sin( x ?

?
4

) ∴当
2 ? ?

x∈
1 2

?
4

, 2k? ?

5 4

? ) 时, 0 ? sin ( x ?

) ≤ 1 ∴ 0 ? sin x ? cos x ≤

2



y ≥ lo g 1
2

∴ 函数值

域为[ ?

1 2

, ??



(3)∵ f ( x ) 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴ f ( x ) 不具备奇偶性 (4)∵ f(x+2π )=f(x)∴ 函数 f(x)最小正周期为 2π 注;利用单位圆中的三角函数线可知,以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准,可区分 sinx-cosx 的 符号;以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准,可区分 sinx+cosx 的符号 37 解:∵f (x)= lo g 1 co s(
2

1 3

x?

?
4

) 令t ?

1 3

x?

?
4

,∴y= log

1 2

cos t

,t 是 x 的增函数,又∵0<

1 2

<1,

9

∴当 y= log
1 3 x?

1 2

cos t

为单调递增时,cost 为单调递减 且 cost>0,∴2k?≤t<2k?+ (k?Z) ,6k?) (k?Z)
3? 4

?
2

(k?Z),∴2k?≤

?
4

<2k?+

?
2 3? 4

≤x<6k?+

3? 4

(k?Z),∴f (x)= log

1 2

cos(

1 3

x?

?
4

)

的单调递减区间是

[6k?-

3? 4

,6k?+

38 解: (1)T=π (2)增区间[kπ (3)对称中心(
? 12

,kπ +
? ? 6

5 12

π ],减区间[kπ +
? k 2 ? ?

5 12 5 12

? , k? ?

11 12

?]

k? 2

,0) ,对称轴 x

?

,k∈Z

39 解:原方程变形为:2cos2x ? sinx + a = 0 即 2 ? 2sin2x ? sinx + a = 0,∴
a ? 2 sin
2

x ? sin x ? 2 ? 2 (sin x ?

1 4

)

2

?

17 8

,∵? 1≤sinx≤1 ,∴ 当 sin x ? ?
17 8 , 1]

1 4

时,a min ? ?

17 8



当 sin x ? 1时,a max ? 1 , ∴a 的取值范围是[ ?

10


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