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江西省南昌市第十九中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题

时间:2016-07-26


南昌十九中 2014~2015 学年度第二学期高二年级期末考试数

学(文科)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.

第 I 卷(选择题)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。)
1. .设 z ? 1? i ( i 是虚数单位),则 A. ?1? i B. ?1? i 2. 下列命题中,真命题是( )

2 2 ?z = z

C. 1 ? i

D. 1 ? i

B.?x∈R, 2x>x2 C.a+b=0 的充要条件是b=-1
3.设函数 f(x)=? a D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件

?-x,x≤0,
2 ?x ,x>0.

若 f(a)=4,则实数 a=( B.-4 或 2 D.-2 或 2

)

A.-4 或-2 C.-2 或 4

4. 如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为

1 主视图 左视图

1 2 3 C. 4
A.

B. 1 D.

1

1

3 2

1 俯视图

5.若 如下框图所给的程序运行结果为 S ? 35 ,那么判断框中应填入的关于 k 的条件是

A. k ? 7

B. k ? 6

C. k ? 6 )

D. k ? 6

6.设 x, y ? R, 且x ? y ? 5, 则3x ? 3y 的最小值是(
A. 10 B. 6 3 C. 4 6

D. 18 3

7.已知命题 p:|x-1|≥2,命题 q:x∈Z ,若“p 且 q”与“非 q”同时为假命题,则满足条
件的 x 为( ) B.{x|-1≤x≤3, x∈Z} D.{-1,0,1,2,3}

A.{x|x≥3 或 x≤-1,x∈Z} C.{0,1,2}

8.函数

的图像大致是(

)

1 9.当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是 ( 2 2 A.(0, 2 ) 2 B.( 2 ,1) C.(1, 2)

) D.( 2,2)

10.奇函数 f(x)、偶函数 g(x)的图像分别如图 1、2 所示,方程 f(g(x))=0,g(f(x)) =0 的实根个数分别为 a、b,则 a+b=( )

A. 14

B. 10

C. 7

D. 3

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)(n≥2,x 1,x2,?,xn 不全相等)的散点图 1 中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据的样本相关 2 系数为 . .

12.已知不等式 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 的解集为 ? x 3 ? x ? 4? ,则实数 a =

13. 若一个球的表面积为 100? ,现用两个平行平面去截这个球面,两个截面圆的半径为
r1 ? 4, r2 ? 3 .则两截面间的距离为________.

14.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足对任意 x∈R,都有 f(x+8)=f(x)+f(4),且 x∈时,f(x)=4-x, 则 f(2 015)的值为________.

15.给出下列四个命题:

①若 a<b, 则 a2<b2; ②若 a≥b>-1, 则

a b ≥ ; ③若正整数 m 和 n 满足 m<n, 则 m?n-m? 1+a 1+b

n 1 ≤ ;④若 x>0,且 x≠1,则 lnx+ ≥2. 2 lnx 其中真命题的序号是________.(请把真命题的序号都填上) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. ) 2 2 2 16.已知集合 A={x|x -2x-3≤0,x∈R},B={x|x -2mx+m -4≤0 ,x∈R,m∈

R}. (1)若 A∩B=,求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围.

17.已知 z,y 之间的一组数据如下表: x y 1 1 3 2 6 3 7 4 8 5

(1)从 x ,y 中各取一个数,求 x+y≥10 的概率; (2)对于表中数据,甲、乙两同学给出的拟合直线分别为 y ?

1 1 1 x ? 1 与 y ? x ? ,试利 3 2 2

用“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好.

18.已知函数 f(x)=ax2+x-a, a ? R . 17 (1)若函数 f(x)有最大值 8 ,求实数 a 的值; (2)当 a ? 0 时,解不等式 f(x)>1.

19.已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ? x ? a .

?1? 当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? ? 2 ;

1

? 2 ? 若存在实数 a ,使得不等式 f ? x? ? a 成立,求实数 a 的取值范围.
20.在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AD ? 平面 A1 BC ,其垂足 D 落在直线 A1 B 上. (Ⅰ)求证: BC ? A1B ; (Ⅱ)若 AD ? 3 , AB ? BC ? 2 , P 为 AC 的中点,求三棱锥 P ? A1BC 的体积.
A1 C1

B1

D A

P

C

B
第 20 题图 21、设函数 f ( x) ? loga ( x ? 3a) (a ? 0 且 a ? 1) ,当点 P ( x, y ) 是函数 y ? f ( x) 图象上的点 时,点 Q( x ? 2a,? y) 是函数 y ? g ( x) 图象上的点. (1)写出函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)若当 x ? ?a ? 2, a ? 3? 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ? 1,试确定 a 的取值范围.

南昌十九中 2014~2015 学年度第二学期高二年级期末考试数

学(文科)试题答案
1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 6.D 7.C 8. C 9.B 10.B

11. 1 12. ? 16. 解析 (1)2

1 12

13.1 或 7 14.3

15. ②③

(2)(-∞,-3)∪(5,+∞)

由已知得:A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.

?m-2=0, (1)∵A∩B=,∴? ?m+2≥3. ?m=2, ∴? ∴m=2,即实数 m 的值为 2. ?m≥1. (2)?RB={x|x<m-2 或 x>m+2}. ∵A??RB,∴m-2>3 或 m+2<-1. ∴m>5 或 m<-3. 17.【解】 (1)从 x,y 各取一个数组成数对(x ,y),共有 25 对,……………………………
其中满足 x ? y ? 10 的有 (6,4), (6,5), (7,3), (7,4), (7,5), (8,2), (8,3), (8,4), (8,5) ,共 9 对 故所求概率为 P ? (2)用 y ?

9 9 ,所以使 x ? y ? 10 的概率为 .…………………………… 25 25

1 x ? 1 作为拟合直线时,所得 y 值与 y 的实际值的差的平方和为 3 4 10 11 7 S1 ? ( ? 1) 2 ? (2 ? 2) 2 ? (3 ? 3) 2 ? ( ? 4) 2 ? ( ? 5) 2 ? .……………………… 3 3 3 3 1 1 用 y ? x ? 作为拟合直线时,所得 y 值与 y 的实际值的差的平方和为 2 2 7 9 1 S 2 ? (1 ? 1) 2 ? (2 ? 2) 2 ? ( ? 3) 2 ? (4 ? 4) 2 ? ( ? 5) 2 ? .……………………… 2 2 2 1 1 ? S 2 ? S1 ,故用直线 y ? x ? 拟合程度更好.…………………………… 2 2

?a ? 0 1 ? 18.解:(1) ? ?4a 2 ? 1 17 ? a ? ?2或 ? . 8 ? ? 8 ? 4a
(2) ax2+x-a>1 ? ax +x-a-1 ? 0 ? a( x ? 1)( x ?
2

a ?1 )?0 a

? ( x ? 1)( x ?

a ?1 )?0 a

当1 ? ?

a ?1 1 a ?1 ,1); 即 a ? ? 时, x ? ( ? a 2 a a ?1 1 a ?1 ); 即 ? ? a ? 0 时, x ? (1, ? a 2 a a?1 1 即 a ? ? 时, x ? ? . a 2

当1 ? ?

当1 ? ?

19 解:(1)? a ? 2

( x ? 2) ? 1 ? ? f ( x) ? x ? 3 ? x ? 2 ? ?5 ? 2 x (2 ? x ? 3) ? ?1 ( x ? 3) ?

1 ? x?3 ? ? x?2 1 ? ?5 ? 2 x ? ? ? ? f ( x) ? ? 等价于 ? 2 或? 1 ?? 1 或? 2 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 ? ? 2? x?3 ? 2
解得

11 11 ? x ? 3 或 x ? 3 ,所以不等式的解集为 {x | x ? } ? 4 4

(2)由不等式性质可知 f ( x) ? x ? 3 ? x ? a ? ( x ? 3) ? ( x ? a ) = a ? 3 ??

? 若存在实数 x ,使得不等式 f ( x) ? a 成立,则 a ? 3 ? a ,解得 a ?

3 2

3 ? 实数 a 的取值范围是 (??, ] ?? 2
20.(Ⅰ)证明:? 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,

? A1 A ? 平面 ABC ,
又 BC ? 平面 ABC ,
A1 C1

? A1 A ? BC ? AD ? 平面 A1BC ,且 BC ? 平面 A1BC , ? AD ? BC .
D A P C B1

B





AA1 ? 平面 A1 AB , AD ? 平面 A1 AB , A1 A ? AD ? A ,

? BC ? 平面 A1 AB ,
又 A1 B ? 平面 A1 BC ,

? BC ? A1 B
(2)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 A ? AB .

? AD ? 平面 A1BC ,其垂足 D 落在直线 A1 B 上,

?

AD ? A1 B .
AD 3 ? , ?ABD ? 600 AB 2

在 Rt ??ABD 中, AD ? 3 , AB ? BC ? 2 , sin ?ABD ? 在 Rt??ABA1 中, AA1 ? AB ? tan 600 ? 2 3

由(1)知 BC ? 平面 A1 AB , AB ? 平面 A1 AB ,从而 BC ? AB

S ?ABC ? ?

1 1 AB ? BC ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2

? P 为 AC 的中点, S ?BCP ?

1 S ?ABC ? 1 2
1 3 2 3 3
1 , x ?a
2

? VP? A BC ? VA ? BCP ? S?BCP ? A1 A ? ?1? 2 3 ?
1
1

1 3

21 解:解:(1)设点 Q 的坐标为(x′,y′),则 x′=x-2a,y′=-y.即 x=x′+2a,y=-y′. ∵点 P(x,y)在函数 y=loga(x-3a)的图象上,∴-y′=loga(x′+2a-3a),即 y′=loga ∴g(x)=loga

1 . x?a

1 1 = >0, x ? a ( a ? 3) ? a 1 又 a>0 且 a≠1,∴0<a<1,∵|f(x)-g(x)|=|loga(x-3a)-loga |=|loga(x2-4ax+3a2)| ,又|f(x)- x?a
(2)由题意得 x-3a=(a+2)-3a=-2a+2>0; g(x)|≤1,∴-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1, ∵0<a<1,∴a+2>2a. H(x)=x2-4ax+3a2 在 [a+2,a+3] 上为增函数, ∴μ (x)=loga(x2-4ax+3a2) 在[a+2,a+3]上为减函数,从而[μ (x)]max=μ (a+2)=loga(4-4a),[μ (x)]min=μ (a+3)=loga(9

?0 ? a ? 1 ? -6a),于是所求问题转化为求不等式组 ?loga (9 ? 6a) ? ?1 的解. ?log (4 ? 4a) ? 1 ? a
9 ? 57 4 ,由 loga(4-4a)≤1 解得 0<a≤ , 12 5 9 ? 57 ∴所求 a 的取值范围是 0<a≤ . 12
由 loga(9-6a)≥-1 解得 0<a≤


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