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江苏省盐城中学2013届高三第三次模拟考试数学试题 Word版含答案


2013 届高三年级第三次模拟考试 数学试题 【考试时间:120 分钟 分值:160 分】 命题人: 童 标 郭 海 张清华 审题人:卞存明 参考公式:样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的方差

s2 ?

1 n 1 n ( xi ? x) 2 x ? ? xi ? n i ?1 n i ?1 ; ,其中

一、

填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上. 1、集合
A ? ?3,6?



B ? ?3,9?

,则 A ? B ?



. ▲ .

2、若复数 z ? a ? 1 ? (a ? 4)i,(a ? R) 是实数,则 a ?

sin ? ?
3、如果

? 2 2 sin( ? ? ) ? 2 3 , ? 为第一象限角,则





4、已知正六棱锥 P ? ABCDEF 的底面边长为 1 cm ,高为 1 cm ,则棱锥的体积 为 ▲

cm3 .

5、高三(1)班共有 56 人,学号依次为 1,2,3,…,56,现用系统抽样的办法抽取一个 容量为 4 的样本,已知学号为 6,34,48 的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应 为 ▲ . 6、已知某一组数据 8,9,10,11,12 ,则其方差为 ▲ 7、阅读下列程序框图,运行相应程序,则输出的 S 值为 . ▲ .

x ? ?0,1? 时, f ( x) ? 2 ?1,则函数 8、若 y ? f (x) 是定义在 R 上周期为 2 的偶函数,当
x

g ( x) ? f ( x) ? log 3 x 的零点个数为
2



. ▲ .

9、若命题“ ?x ? R ,使得 x ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 ”为假命题,则实数 a 的范围

4 10、在△ABC 中,AH 为 BC 边上的高, tan C = 3 ,则过点 C,以 A,H 为焦点的双曲线的离
心率为 11、设等比数列 ▲ .

?an ? 的公比 q ? 1 , Sn 表示数列 ?an ? 的前 n 项的和,Tn 表示数列 ?an ? 的前

n 项的乘积, Tn ? k ? 表示 ?an ? 的前 n 项中除去第 k 项后剩余的 n ? 1 项的乘积,即
Tn ? k ? ?

SnTn Tn { } ? n, k ? N ? , k ? n ? a1 ? 1 , q ? 2 ,数列 Tn ?1? ? Tn ? 2 ? ? ? ? Tn ? n ? 的 ak ,则当
▲ .

前 n 项的和是

? ? 12、已知 f ( x), g ( x) 都是定义在 R 上的函数, g ( x) ? 0, f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x) ,
f (n) f (1) f (?1) 5 { }( n ? 1,2,?,10) ? ? , f ( x) ? a ? g ( x), ( a ? 0且a ? 1 ), g (1) g (?1) 2 在有穷数列 g (n) 中,
x

15 任意取正整数 k ( 1 ? k ? 10 ) ,则前 k 项和不小于 16 的概率是





??? ? ??? ? ??? ? C 为单位圆 O 上不同的三点,则点集 A ? {( x, y) | OC ? xOA ? yOB, 13、设 A , B ,

0 ? x ? 2,0 ? y ? 2}所对应的平面区域的面积为
f ( x) ?
14、函数





1 2 x?t x ? 2tx ? 3ln x g ( x) ? 2 2 x ? 3 ,函数 f ( x) 在 x ? a, x ? b 处取得极值 ,

1 g ( x) 在 [?b, ?a] 上的最大值比最小值大 3 ,若方程 f ( x) ? m 有 3 个不同 (0 ? a ? b) ,
的解,则函数 y ? e 的值域为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15、(本小题满分 14 分)
2 2 2 在 ?ABC中, a, b, c 分别是 ? A、 ? B、 ? C 的对边, a, b, c 满足 b ? a ? c ? ac

m?

15 2

(Ⅰ)求角 B 的大小;

2 ? cos ? ? 1 (Ⅱ)在区间 (0, B) 上任取 ? ,求 2 的概率;
(Ⅲ)若 AC= 2 3 ,求 ΔABC 面积的最大值.

16、(本小题满分 14 分) 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC ? BB1 ? 1 , AB1 ? (Ⅰ)求证:平面 AB1C ? 平面 B1CB ; (Ⅱ)求三棱锥 A1 ? AB1C 的体积.

3.

17、(本小题满分 14 分) 工厂生产某种零件,每天需要固定成本 100 元,每生产 1 件,还需再投入资金 2 元,若每天 生产的零件能全部售出,每件的销售收入

P ? x?

(元)与当天生产的件数 x ( x ? N )之
*

1 2 ? ?83 ? 3 x , 0 ? x ? 10 ? P ? x? ? ? ? 520 ? 1331 , x ? 10 ? x x3 ? 间有以下关系:
(Ⅰ)写出 y 关于 x 的函数关系式;

,设当天利润为 y 元.

(Ⅱ)要使当天利润最大,当天应生产多少零件?(注:利润等于销售收入减去总成本)

18、(本小题满分 16 分) 设等比数列

3a 8a a ?an ? 的首项为 a1 ? 2 ,公比为 q(q 为正整数) ,且满足 3 是 1 与 5 的等差中

3 2n 2 ? (t ? bn )n ? bn ? 0 (t ? R, n ? N * ) ?b ? 2 项;等差数列 n 满足 .
(Ⅰ)求数列

?an ? , ?bn ? 的通项公式;
*

(Ⅱ) 若对任意 n ? N ,有 (Ⅲ) 对每个正整数 k , 在 的前 n 项和,试求满足

anbn?1 ? ?an an?1 ? bn an?1 成立,求实数 ? 的取值范围;

ak 和 ak ?1 之间插入 bk 个 2, ?c ? T ?c ? 得到一个新数列 n .设 n 是数列 n

Tm ? 2cm?1 的所有正整数 m .

19、(本小题满分 16 分)

C:
已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ( 3, ) 2 a b 2 ,椭圆 C 左右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶 过点

点为 E , ?EF1 F2 为等边三角形.定义椭圆 C 上的点

M ( x0 , y0 )

N(
的“伴随点”为

x0 y0 , ) a b .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C1 的方程为 ( x ? 2a) + y = a ,圆 C1 和 x 轴相交于 A,B 两点,点 P 为圆 C1 上不
2

2

2

同于 A,B 的任意一点,直线 PA,PB 交 y 轴于 S,T 两点.当点 P 变化时,以 ST 为直径的 圆 C2 是否经过圆 C1 内一定点?请证明你的结论; (Ⅲ)直线 l 交椭圆 C 于 H、J 两点,若点 H、J 的“伴随点”分别是 L、Q,且以 LQ 为直径的圆经 过坐标原点 O.椭圆 C 的右顶点为 D, 试探究 ΔOHJ 的面积与 ΔODE 的面积的大小关系,并证明.

20、(本小题满分 16 分)
2 已知函数 f ( x) ? ax ? ln( x ? 1),(a ? R) .

(Ⅰ)设函数 y ? f ( x ? 1) 定义域为 D ①求定义域 D ;

1 h( x) ? x4 ? [ f ( x) ? ln( x ? 1)]( x ? ) 2 2 2 x ?cx ? f ?(0) 在 D 上有零点,求 a ? c 的最小 ②若函数
值; (Ⅱ) 当

a?

1 2 2 时, g ( x) ? f ?( x ?1) ? bf ( x ?1) ? ab( x ?1) ? 2a ,若对任意的 x ? [1, e] ,都

2 ? g ( x ) ? 2e 有e 恒成立,求实数 b 的取值范围; (注: e 为自然对数的底数)
? x ? 0, ? ?y ? x ? 0

(Ⅲ)当 x ? [0, ??) 时,函数 y ? f ( x) 图象上的点都在 数 a 的取值范围.

所表示的平面区域内,求实

2013 届高三年级第三次模拟考试 数学试题(附加题) ( 满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21、 [选做题]本题包括 A、 C、 四小题, B、 D 请选定其中两题, 并在相应的答题区域内作答. 若 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

A、[选修 4 - 1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,AD 是⊙O 的直径,AB 是⊙O 的切线,M, N 是圆上两点,直线 MN 交 AD 的延长线于 点 C,交⊙O 的切线于 B,BM=MN=NC=1,求 AB 的长和⊙O 的半径.

B、[选修 4 - 2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)

? ?2 1 ? A?? 3 1? ? ? ? ?2 2? 已知矩阵
(Ⅰ)求矩阵 A 的逆矩阵 B ; (Ⅱ)若直线 l 经过矩阵 B 变换后的直线方程为 7 x ? 3 y ? 0 ,求直线 l 的方程. C、[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 已知圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正
? 1 t, ? x ?1? 5 ? ? ? y ?a ? 2 t ? 5 ( t 为参数).若直线 l 与圆 C 相 半轴,建立平面直角坐标系, 直线 l 的参数方程为 ?

交于 P , Q 两点,且

PQ ?

4 5 5 .

(Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程,并求出圆心坐标和半径; (Ⅱ)求实数 a 的值. D、[选修 4 - 5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? 3 | , g ( x) ? ? | x ? 4 | ?m (Ⅰ)已知常数 a ? 2 ,解关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 2 ? 0 ; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方,求实数 m 的取值范围.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题纸指定区域内作答,解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22、 (本小题满分 10 分) 已知

A1 , A2 , A3 ,?, A10 等 10 所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得

1 通过的概率均为 2 .
(Ⅰ)如果该同学 10 所高校的考试都参加,试求恰有 2 所通过的概率; (Ⅱ)假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为 a 元,该同学决定按

A1 , A2 , A3 ,?, A10

顺序参加考试,一旦通过某所高校的考试,就不再参加其它高校的考试,试求该同学参加考 试所需费用 ? 的分布列及数学期望.

23、 (本小题满分 10 分) 已知

m, n 为正整数.
m

(Ⅰ)用数学归纳法证明:当 x ? ?1 时, (1 ? x) ? 1 ? mx ;

(Ⅱ)对于 n ? 6 ,已知
n

(1 ?
n

1 n 1 m n 1 ) ? (1 ? ) ? ( )m n?3 2 ,求证: n?3 2 , (m ? 1, 2,?, n) ;
n n n

(Ⅲ)求出满足等式 3 ? 4 ? 5 ? ? ? (n ? 2) ? (n ? 3) 的所有正整数 n .

2013 届高三年级第三次模拟考试参考答案

1、

?3,6,9?

2、4 9、 (?1,3)

1 3、 3

3 4、 2

?
5、20 6、2 7、

3 8

8、2 15、解:

10、2

11、 2 ? 1
n

7 12、 10

5 13、 2

14、 (27, e )

4

(Ⅰ)由 b ? a ? c ? ac 得
2 2 2

B?

?
3 -------------------4 分;

? 2 ? ? (0, ) ? cos ? ? 1 4 ,--------------6 分 (Ⅱ) 由 2 ,得
3 2 ? cos ? ? 1 所以 2 的概率为 4 -------------8 分
2 2 2 (Ⅲ)由 b ? 2 3 , 12 ? b ? a ? c ? ac ? ac .

S?ABC ?

3 ac ? 3 3 4 ,ΔABC 面积的最大值为 3 3 .--------------14 分

16、(Ⅰ)略;--------------8 分

1 (Ⅱ)三棱锥 A1 ? AB1C 的体积为 6 .--------------14 分
17、解:(1) 当 0<x≤10 时,y=x(83-x2)-100-2x=-x3+81x-100; 当 x>10 时,y=x(-)-2x-100=-2x-+420.

① 当 0<x≤10 时,y′=81-x2,令 y′=0,得 x=9 当 x∈(0,9)时,y′>0;当 x∈(9,10)时,y′<0. ∴ 当 x=9 时,ymax=386;(10 分)

------- .(9 分)

② 当 x>10 时,y′=--2,令 y′=0,得 x=11. ------- (12 分) 当 x∈(10,11)时,y′>0;当 x∈(11,+∞)时,y′<0. ∴ 当 x=11 时,ymax=387.(14 分) ∵ x∈N*, ∴ 综合①②知:当 x=11 时,y 取最大值. 故要使当天利润最大,当天应生产 11 件零件.------- (14 分)

18、解: (1)由题意

6a3 ? 8a1 ? a5 ,则 6q2 ? 8 ? q4 ,解得 q 2 ? 4 或 q 2 ? 2 a1 ? 2 ,所以 an ? 2n (n ? N * ) ------3 分

因为 q 为正整数,所以 q ? 2 , 又

bn ? 2n 。----------6 分
由anbn ?1 ? ? an an ?1 ? bn an ?1得? ? n ?1 , 2n .

(2)



kn ?

kn +1 n ?1 ?1 , k 2 n 当 n ? 2, 时 kn ,得 n 单调减,----------8 分

k =0 又 1 ,所以

? ? k2 ?

1 4 ---------10 分

(3)由题意知, 则当 m ? 1 时, 当 m ? 2 时,

c1 ? a1 ? 2, c2 ? c3 ? 2, c4 ? a2 ? 4, c5 ? c6 ? c7 ? c8 ? 2, c9 ? a3 ? 8,?

T1 ? 2 ? 2c2 ? 4 ,不合题意,舍去;-------------------11 分

T2 ? c1 ? c2 ? 4 ? 2c3 ,所以 m ? 2 成立;-------------------12 分 cm?1 ? 2 ,则 Tm ? 2cm?1 ,不合题意,舍去;从而 cm?1 必是数列 ?an ? 中的某

当 m ? 3 时,若 一项

ak ?1 ,则
b1个 b2个 b3个 bk 个

Tm ? a1 ? 2? ? 2 ? a2 ? 2? ? 2 ? a3 ? 2? ? 2 ? a4 ? ?? ak ? 2? ? 2 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ??? ??? ??? ???
? (2 ? 22 ? 23 ? ?? 2k ) ? 2(b1 ? b2 ? b3 ? ?? bk )
? 2(2k ? 1) ? 2 ? (2 ? 2k )k ? 2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? 2 2 -------------------13 分



2cm?1 ? 2ak ?1 ? 2 ? 2k ?1 ,所以 2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? 2 ? 2 ? 2k ?1 ,
k 2

k 2 即 2 ? k ? k ? 1 ? 0 ,所以 2 ? 1 ? k ? k ? k (k ? 1)

因为 2 ? 1 (k ? N ) 为奇数,而 k ? k ? k (k ? 1) 为偶数,所以上式无解。
k * 2

即当 m ? 3 时,

Tm ? 2cm?1

-------------------15 分

综上所述,满足题意的正整数仅有 m ? 2 。-------------------16 分

3 ?3 ? a 2 ? 4b 2 ? 1 ? 2 ? 2 2 ?a ? b ? c ?c 1 x2 y 2 ? ? ? ?1 2 2 ? 3 19、解: (1)由已知 ? a 2 ,解得 a ? 4, b ? 3 ,方程为 4 .········ ·······4
分 (2) (法一坐标参数)设 P( x 0 , y0 )( y0 ≠0),则 ( x0 ? 4) + y0 =4.又 A(-6,0),B(-2,
2

2

0),所以 lPA :y=

y0 x0 ? 6

(x+6),S(0,

6 y0 x0 ? 6
2

), lPB :y=

y0 x0 ? 2
2

(x+1),T(0,

2 y0 x0 ? 2

).

6 y0 2 y0 ? 2 y0 ? ? ? 6 y0 ? ? ? ? x ?6 ? x ?2 ? x ? 6 x0 ? 2 0 ?y? 0 ? ? 0 ? 6 y0 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 x ?6 ? =? ? . 圆 C2 的方程为 x + ? 化简得 x + y -( 0 +
2 y0 x0 ? 2

)y-12=0,令 y=0,得 x= ?2 3 .又点( ?2 3 ,0)在圆 C1 内,所以当点 P 变化时,

以 ST 为直径的圆 C2 经过圆 C1 内一定点( ?2 3 ,0).············10 分 ············ 法二斜率参数也可以

?x y ? ?x y ? L? 1 , 1 ?, Q? 2 , 2 ? H ( x1 , y1 ), J ( x2 , y2 ) ,则 ? 2 3 ? ? 2 3 ? ; (3) 设
1)当直线 l 的斜率存在时,设方程为 y ? kx ? m ,

? y ? kx ? m ? 2 ?x y2 ? ?1 2 2 2 ? 3 由? 4 得: (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4(m ? 3) ? 0 ;
? ?? ? 48(3 ? 4k 2 ? m 2 ) ? 0 ? ?8km ? ? x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 ? ? 4(m 2 ? 3) x1 x2 ? ? 3 ? 4k 2 有?

①··············12 分 ··············

由以 LQ 为直径的圆经过坐标原点 O 可得:

3x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0 ;

整理得:

(3 ? 4k 2 ) x1x2 ? 4mk ( x1 ? x2 ) ? 4m2 ? 0 ②
2 2

将①式代入②式得: 3 ? 4k ? 2m ,

? 3 ? 4k 2 ? 0,? m 2 ? 0, ? ? 48m 2 ? 0

又点 O 到直线 y ? kx ? m 的距离

d?

m 1? k 2

所 以

S?OHJ ?

1 HJ d ? 3 2 ······································· 分 ······································14

2) 当直线 l 的斜率不存在时,设方程为 x ? m(?2 ? m ? 2)

y2 ?
联立椭圆方程得:

3(4 ? m2 ) 3(4 ? m 2 ) 3m 2 ? ?0 3x x ? 4 y1 y2 ? 0 得 4 4 ;代入 1 2 ;
S?OHJ ? 1 HJ d ? 3 2 综上: ?OHJ 的面积是定值 3

m??

2 5 2 15 y?? 5 , 5

又 ?ODE 的面积也为 3 ,所以二者相等. ····························· 分 ····························16
? 20、解析: (Ⅰ)①定义域 D ? (0, ?) ;………………3 分

1 h( x) ? x4 ? [ f ( x) ? ln( x ? 1)]( x ? ) 2 x ?cx ? f ?(0) =0 ②

x 2 ? ax ? c ?
即 设

a 1 ? ?0 x x2 ,

t ? x?
令 ,

1 x ,方程为 t 2 ? at ? c ? 2 ? 0 , t ? 2 ,

g ?t ? ? t 2 ? at ? c ? 2 ? 0 t ? 2
?

a ?2 2 2 2 当 2 ,即 a ? ?4 时,只需 ? ? a ? 4b ? 8 ? 0 ,此时, a ? b ? 16 ; ?


a ?2 2 a ? 2 , 即 ?4 ? a 时 , 只 需 2 ? 2 ? b ? 2

0 即 2a ? b ? 2? 0, 此 时 ,

a 2 ? b2 ?

4 4 2 2 5 . a ? b 的最小值为 5 .……………………………… 5 分

g ?( x) ? 1 ?
(Ⅱ)(方法一)由题,
2

1 b x 2 ? bx ? 1 ? ? , x ? ?1, e? x2 x x2

令 h( x) ? x ? bx ?1 ,注意 y ? h( x) 的图像过点(0,-1),且开口向上,从而有 (1)

当h(1) ? 1? b ?1 ? 0即b ? 0时,在x ??1, e?上g?( x) ? 0

, g ( x) 单调递增,

2 ? ? g (1) ? 1 ? 1 ? e ? ? ? g ( e ) ? e ? 1 ? b ? 2e ? e 所以有 ?
(2)当 g (e) ? e ? eb ?1 ? 0 即
2

0?b ?e?


1 e ; …………………………7 分

b?

1 ?e 在x ??1, e? 上g?( x) ? 0, g ( x) e 时, 单调递减,

? g ( x)max ? g (1) ? 1 ? 1 ? 2e ? ? 1 2 ? g ( x)min ? g (e) ? e ? e ? b ? e 所以有 ?

b?


1 1 ?e b ? ?e e e ,故只有 符合;

………………………………………………………………………………9 分

? g (1) ? 0 , 1 ?e ?b ? 0 ? 2 g ( e) ? 0 即 e (3)当 ? 时,记函数 h( x) ? x ? bx ?1 的零点为 t ? (1, e) ,
此时,函数 g ( x) 在 (1, t ) 上单调递减,在 (t , e) 上单调递增,

? g (1) ? 2e, g (e) ? 2e ? 1 2 ? 1 2 t ? ? b ln t ? ? g ( x)min ? g (t ) ? t ? t ? b ln t ? e e ? t 所以, ?
2 因为 t ? (1, e) 是函数 h( x) ? x ? ax ?1 的零点,所以

1 b ? ?t t ,

1 1 2 t ? ? ( ? t ) ln t ? t t e 故有 1 1 1 m(t ) ? t ? ? ( ? t ) ln t m '(t ) ? (?1 ? 2 ) ln t ? 0 t t t 令 , t ? (1, e) ,则
所以函数 y ? h(t ) 在 (1, e) 上单调递减,故

m(t ) ? m(e) ?

2 e 恒成立,

1 ?e ?b ? 0 此时, e ; 1 1 [ ? e, e ? ] e 。 ………………………………11 分 综上所述,实数 b 的取值范围是 e
(方法二参数分离法也给分)
? x ? 0, ? y?x?0 (Ⅲ)因函数 f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的平面区域内,则当 x ? [0, ??) 时,不
2 2 等式 f ( x) ? x 恒成立,即 ax ? ln( x ? 1) ? x ? 0 恒成立,设 g ( x) ? ax ? ln( x ? 1) ? x ( x ? 0 ) ,

只需 g ( x)max ? 0 即可.



g ?( x) ? 2ax ?

1 x[2ax ? (2a ? 1)] ?1 ? x ?1 x ?1 , g ?( x) ? ?x x ? 1 ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,
13 分

(ⅰ)当 a ? 0 时,

故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立.

(ⅱ)当 a ? 0 时,由 1 1 ?1 ? 0 a? 2 时,在区间 (0, ??) 上, g ?( x) ? 0 ,则函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递 ①若 2a ,即 增, g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值(或:当 x ? ?? 时, g ( x) ? ?? ) ,此时不满足条件;

g ?( x) ?

x[2ax ? (2a ? 1)] 1 ?0 x? ?1 x ? [0, ??) ,所以 x ?1 2a ,因 ,

1 1 1 1 ?1 ? 0 0?a? (0, ? 1) ( ? 1, ??) 2a 2 时,函数 g ( x) 在 2a 2a ②若 ,即 上单调递减,在区间 上单
调递增,同样 g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值,不满足条件. (ⅲ)当 a ? 0 时,由 15 分

g ?( x) ?

x[2ax ? (2a ? 1)] x ?1 ,∵ x ? [0, ??) ,∴ 2ax ? (2a ? 1) ? 0 ,

? ∴ g ( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立.

综上所述,实数 a 的取值范围是 (??,0] .

16 分

2013 届高三年级第三次模拟考试附加题答案 21、[选做题]本题包括 B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (1)解析:∵AD 是⊙O 的直径,AB 是⊙O 的切线,直线 BMN 是⊙O 的割线,∴∠BAC= 90°,AB2=BM· BN.

1 22. 答案: (Ⅰ)因为该同学通过各校考试的概率均为 2 ,所以该同学恰好通过 2 所高校自
2 ?1? P ? C10 ? ? ?2? 主招生考试的概率为 2

? 1? 45 ?1 ? ? ? ? 2 ? 1024 . 4 分
Pi (1 ? i ? 10, i ? Z ).

8

(Ⅱ)设该同学共参加了 i 次考试的概率为

?1 ? 2i ,1 ? i ? 9, i ? Z ? Pi ? ? ? 1 , i ? 10 ? 29 ? ∵ , a 2a 3a ?
P

∴所以该同学参加考试所需费用 ? 的分布列如下: 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10 a

1 2

1 22

1 23

1 24

1 25

1 26

1 27

1 28

1 29

1 29

1 1 1 1 E? ? ( ?1 ? 2 ? 2 ? ? ? 9 ? 9 ? 9 ?10)a 2 2 2 2 ∴ ,

S?


1 1 1 ?1 ? 2 ? 2 ? ? ? 9 ? 9 2 2 2 ,

…(1)

1 1 1 1 1 S ? 2 ?1 ? 3 ? 2 ? ? ? 9 ? 8 ? 10 ? 9 2 2 2 2 则2 ,

…(2)

1 1 1 1 1 S ? ? 2 ? ? ? 9 ? 10 ? 9 2 2 2 2 由(1)-(2)得 2 , S ? 1?
所以

1 1 1 1 ? 2 ?? ? 8 ? 9 ? 9 2 2 2 2 ,

1? 1 1 1 ? 1 ? 1 1 ? E? ? ?1 ? ? 2 ? ? ? 8 ? 9 ? 9 ? 9 ?10 ? a ? ?1 ? ? ? ? 9 ? a 2 ? 2 2 2 ? 2 ? 2 2 ? 所以

1 210 a ? 1 ? 2 ?1 ? 1 ? a 1023 ? a 1? ? 10 ? ? 2 ? 512 (元). 10 分 0 2 1?
23、解: (1)用数学归纳法证明: (i)当 当 因为 时,原不等式成立; 时,左边 , ,右边 ,

所以左边≥右边,原不等式成立; (ii)假设当 则当 ∵ ∴ , , 两边同乘以 得, 时, 时,不等式成立,即 ,

于是在不等式

所以 即当 时,不等式也成立

综合(i) (ii)知,对一切正整数,不等式都成立。3 分

(2)当

时,由(1)得

于是 (3)解:由(2) ,当 时,



。6 分



∴ 即 即当 时,不存在满足该等式的正整数 n 的情形: ,等式不成立; ,等式成立; ,等式成立; 为偶数,而 ,等式不成立; 时,同 的情形可分析出,等式不成立 。10 分 为奇数,

故只需要讨论 当 当 当 当 故 当 时, 时, 时, 时,

综上,所求的 n 只有


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