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高中数学竞赛辅导第一讲集合概念及集合上的运算

时间:2012-01-19


高中数学竞赛辅导第一讲

集合概念及集合上的运算

知识、方法、技能 高中一年级数学(上) (试验本)课本中给出了集合的概念;一般地,符合某种条件(或 具有某种性质)的对象集中在一起就成为一个集合. 在此基础上,介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、 无限集,集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十 余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题, 形成了以集合为背 景的题目和用集合表示空间的线面及其关系,表面平面轨迹及其关系,表示充要条件,描述 排列组合,用集合的性质进行组合计数等综合型题目. 赛题精讲 Ⅰ.集合中待定元素的确定 充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系,往往能解决某些以集合为背景的高 中数学竞赛题.请看下述几例. 例 1:求点集 {( x, y ) | lg( x +
3

1 3 1 y + ) = lg x + lg y} 中元素的个数. 3 9
3

【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之. 【略解】由所设知 x > 0, y > 0, 及x + 由平均值不等式,有 x +
3

1 3 1 y + = xy, 3 9

1 3 1 1 1 y + ≥ 33 ( x 3 ) ? ( y 3 ) ? ( ) = xy, 3 9 3 9

当且仅当 x =
3

1 3 1 1 1 y = ,即x = 3 , y = 3 (虚根舍去)时,等号成立. 3 9 9 3

故所给点集仅有一个元素. 【评述】此题解方程中,应用了不等式取等号的充要条件,是一种重要解题方法,应注意掌 握之.
2 2 例 2:已知 A = { y | y = x ? 4 x + 3, x ∈ R}, B = { y | y = ? x ? 2 x + 2, x ∈ R}.求A ∩ B.

【思路分析】先进一步确定集合 A、B. 【略解】 y = ( x ? 2) 2 ? 1 ≥ 1, 又 y = ?( x + 1) 2 + 3 ≤ 3. ∴A= { y | y ≥ ?1}, B = { y | y ≤ 3}, 故A ∩ B = { y | ?1 ≤ y ≤ 3}. 【评述】此题应避免如下错误解法:
1

联立方程组

? y = x 2 ? 4 x + 3, ? 消去 y,2 x 2 ? 2 x + 1 = 0. ? 2 ? y = ? x ? 2 x + 2. ?

因方程无实根,故 A ∩ B = φ .

这里的错因是将 A、 的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛 B 物线的值域. 例 3:已知集合 A = {( x, y ) || x | + | y |= a, a > 0}, B = {( x, y ) || xy | +1 =| x | + | y |}. 若 A ∩ B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则 a 的值为 . 【思路分析】可作图,以数形结合法来解之. 【略解】点集 A 是顶点为(a,0)(0,a)(-a,0)(0,-a)的正方形的四条边构成(如 , , , 图Ⅰ-1-1-1). 将 | xy | +1 =| x | + | y | ,变形为 (| x | ?1)(| y | ?1) = 0, 所以,集合 B 是由四条直线 x = ±1, y = ±1 构成. 欲使 A ∩ B 为正八边形的顶点所构成,只有 a > 2或1 < a < 2 这两种情况. (1)当 a > 2 时,由于正八形的边长只能为 2,显然有 2a ? 2 2 = 2, 故 a = 2+

2.

(2)当 1 < a < 2 时,设正八形边长为 l,则

2?l , l = 2 2 ? 2, 2 l 这时, a = 1 + = 2 . 2 l cos 45° =
综上所述,a 的值为 2 +

2或 2 , 2 ,0).
图Ⅰ-1-1-1

如图Ⅰ-1-1-1 中 A( 2 ,0), B ( 2 +

【评述】上述两题均为 1987 年全国高中联赛试题,题目并不难,读者应从解题过程中体会 此类题目的解法. Ⅱ.集合之间的基本关系 充分应用集合之间的基本关系(即子、交、并、补) ,往往能形成一些颇具技巧的集合 综合题.请看下述几例. 例 4:设集合 A = { | n ∈ Z}, B = {n | n ∈ Z}, C = {n + 在下列关系中,成立的是 A. A ? B ? C ? D
≠ ≠ ≠

n 2

1 n 1 | n ∈ Z}, D = { + | n ∈ Z}, 则 2 3 6
( )

B. A ∩ B = φ , C ∩ D = φ
2

C. A = B ∪ C , C ? D


D. A ∪ B = B, C ∩ D = φ

1 2n + 1 n 1 2n + 1 = , + = , n ∈ Z. 2 2 3 6 6 1 n n 1 【解法 1】∵ A = { | n ∈ Z}, B = {n | n ∈ Z}, C = {n + | n ∈ Z}, D = { + | n ∈ Z}, 2 2 3 6
【思路分析】应注意数的特征,即 n + ∴ A = B ∪ C , C ? D .故应选 C.


【解法 2】如果把 A、B、C、D 与角的集合相对应,令

A′ = {

π nπ nπ π | n ∈ Z}, B ′ = {nπ | n ∈ Z}, C ′ = {nπ + | n ∈ Z}, D = { + | n ∈ Z}. 2 2 3 6
3 x 上的角的集 3

结论仍然不变,显然 A′为终边在坐标轴上的角的集合,B′为终边在 x 轴上的角的集 合,C′为终边在 y 轴上的角的集合,D′为终边在 y 轴上及在直线 y = ±

合,故应选(C). 【评述】解法 1 是直接法,解法 2 运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的 的角的集合,研究角的终边,思路清晰易懂,实属巧思妙解.
2 例 5:设有集合 A = {x | x ? [ x] = 2}和B = {x || x |< 2}, 求A ∩ B和A ∪ B (其中[x]表示不

超过实数 x 之值的最大整数). 【思路分析】应首先确定集合 A 与 B. 从而 ? 1 ≤ x ≤ 2.显然,2 ∈ A. ∴ A ∪ B = {x | ?2 < x ≤ 2}.

若 x ∈ A ∩ B, 则x 2 = [ x ] + 2, [ x ] ∈ {1,0,?1,?2}, 从而得出 x =

3 ([ x] = 1)或x = ?1([ x] = ?1). 于是 A ∩ B = {?1, 3}

【评述】此题中集合 B 中元素 x 满足“|x|<3”时,会出现什么样的结果,读者试解之. 设 例 6: f ( x) = x 2 + bx + c(b, c ∈ R ), 且A = {x | x = f ( x), x ∈ R}, B = {x | x = f [ f ( x)], x ∈ R} , 如果 A 为只含一个元素的集合,则 A=B. 【思路分析】应从 A 为只含一个元素的集合入手,即从方程 f ( x ) ? x = 0 有重根来解之. 【略解】设 A = {α | α ∈ R}, 则方程f ( x) ? x = 0 有重根 α ,于是 f ( x ) ? x = ( x ? α ) 2 ,

f ( x) = ( x ? α ) 2 + x..从而x = f [ f ( x)], 即 x = [( x ? α ) 2 + ( x ? α )] 2 + ( x ? α ) 2 + x,
整理得 ( x ? α ) 2 [( x ? α + 1) 2 + 1] = 0, 因 x, α 均为实数
3

( x ? α + 1) 2 + 1 ≠ 0, 故x = α . 即 B = {α } = A.
【评述】此类函数方程问题,应注意将之转化为一般方程来解之.
2 2 2 例 7:已知 M = {( x, y ) | y ≥ x }, N = {( x, y ) | x + ( y ? a ) ≤ 1}.求M ∩ N = N 成立时,a

需满足的充要条件. 【思路分析】由 M ∩ N = N , 可知N ? M . 【略解】 M ∩ N = N ? N ? M . 由 x + ( y ? a ) ≤ 1得x ≤ y ? y + ( 2a ? 1) y + (1 ? a ). 于是,
2 2 2 2 2 2 2 若 ? y + ( 2a ? 1) y + (1 ? a ) ≤ 0



必有 y ≥ x 2 , 即N ? M . 而①成立的条件是 即 4(1 ? a 2 ) + ( 2a ? 1) 2 ≤ 0,

y max =

? 4(1 ? a 2 ) ? (2a ? 1) 2 ≤ 0, ?4

解得 a ≥ 1 .

1 4

【评述】此类求参数范围的问题,应注意利用集合的关系,将问题转化为不等式问题来求解.
2 2 2 例 8:设 A、B 是坐标平面上的两个点集, C r = {( x, y ) | x + y ≤ r }.

若对任何 r ≥ 0 都有 C r ∪ A ? C r ∪ B ,则必有 A ? B .此命题是否正确? 【思路分析】要想说明一个命题不正确,只需举出一个反例即可. 【略解】不正确. 反例:取 A = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1}, B 为 A 去掉(0,0)后的集合. 容易看出 C r ∪ A ? C r ∪ B, 但 A 不包含在 B 中. 【评述】本题这种举反例判定命题的正确与否的方法十分重要,应注意掌握之. Ⅲ.有限集合中元素的个数 有限集合元素的个数在课本 P23 介绍了如下性质: 一般地,对任意两个有限集合 A、B,有

card ( A ∪ B ) = card ( A) + card ( B ) ? card ( A ∩ B ).
我们还可将之推广为: 一般地,对任意 n 个有限集合 A1 , A2 , ? , An , 有

card ( A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ? ∪ An ?1 ∪ An )
4

= [card ( A1 ) + card ( A2 ) + card ( A3 ) + ? + card ( An )] ? [card ( A1 ∩ A2 ) + card ( A1 ∩ A3 )]
+ ? + card ( A1 ∩ An ) + ? + card ( An ?1 ∩ An )] + [card ( A1 ∩ A2 ∩ A3 )] + ? + card ( An ? 2 ∩ An ?1 ∩ An )]

? ? + (?1) n ?1 ? card ( A1 ∩ A3 ∩ ? ∩ An ).
应用上述结论,可解决一类求有限集合元素个数问题. 【例 9】某班期末对数学、物理、化学三科总评成绩有 21 个优秀,物理总评 19 人优秀,化 学总评有 20 人优秀,数学和物理都优秀的有 9 人,物理和化学都优秀的有 7 人,化学和数 学都优秀的有 8 人,试确定全班人数以及仅数字、仅物理、仅化学单科优秀的人数范围(该 班有 5 名学生没有任一科是优秀). 【思路分析】应首先确定集合,以便进行计算. 【详解】 A={数学总评优秀的学生}, 设 B={物理总评优秀的学生}, C={化学总评优秀的学生}. 则 card ( A) = 21, card ( B ) = 19, card (C ) = 20, card ( A ∩ B ) = 9, card ( B ∩ C ) = 7, card (C ∩ A) = 8. ∵ card ( A ∪ B ∪ C ) = card ( A) + card ( B ) + card (C ) ? card ( A ∩ B ) ? card ( B ∩ C ) ? card (C ∩ A)

+ card ( A ∩ B ∩ C ),

∴ card ( A ∪ B ∪ C ) ? card ( A ∩ B ∩ C ) = 21 + 19 + 20 ? 9 ? 8 = 36.

这里, card ( A ∪ B ∪ C ) 是数、理、化中至少一门是优秀的人数, card ( A ∩ B ∩ C ) 是这 三科全优的人数.可见,估计 card ( A ∪ B ∪ C ) 的范围的问题与估计 card ( A ∩ B ∩ C ) 的范 围有关. 注意到 card ( A ∩ B ∩ C ) ≤ min{card ( A ∩ B ), card ( B ∩ C ), card (C ∩ A)} = 7 ,可知

0 ≤ card ( A ∩ B ∩ C ) ≤ 7 . 因而可得 36 ≤ card ( A ∪ B ∪ C ) ≤ 43.
又∵ card ( A ∪ B ∪ C ) + card ( A ∪ B ∪ C ) = card (U ), 其中card ( A ∪ B ∪ C ) = 5. ∴ 41 ≤ card (U ) ≤ 48. 这表明全班人数在 41~48 人之间.

仅数学优秀的人数是 card ( A ∩ B ∪ C ). ∴ card ( A ∩ B ∪ C ) = card ( A ∪ B ∪ C ) ? card ( B ∪ C ) = card ( A ∪ B ∪ C ) ? card ( B )

? card (C ) + card ( B ∩ C ) = card ( A ∪ B ∪ C ) ? 32.
可见 4 ≤ card ( A ∩ B ∪ C ) ≤ 11, 同理可知 3 ≤ card ( B ∩ A ∪ C ) ≤ 10,

5 ≤ card (C ∩ B ∪ A) ≤ 12.
故仅数学单科优秀的学生在 4~11 之间,仅物理单科优秀的学生数在 3~10 之间,仅化学
5

单科优秀的学生在 5~12 人之间. 【评述】根据题意,设计这些具有单一性质的集合,列出已知数据,并把问题用集合中元素 数目的符号准确地提出来,在此基础上引用有关运算公式计算,这是解本题这类计数问题的 一般过程. 针对性练习题 1.设 S={1,2,…,n},A 为至少含有两项的、公差为正的等差数列,其项都在 S 中,且添 加 S 的其他元素于 A 后均不能构成与 A 有相同公差的等差数列.求这种 A 的个数, (这 里只有两项的数列也看做等差数列). 2.设集合 Sn={1,2,…,n},若 X 是 Sn 的子集,把 X 中的所有数的和为 X 的“容量”.(规 定空集的容量为 0) ,若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为 Sn 的奇(偶)子集. (1)求证:Sn 的奇子集与偶子集个数相等. (2)求证:当 n ≥ 3 时,Sn 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等. (3)当 n ≥ 3 时,求 Sn 的所有奇子集的容量之和. 3.设 M={1,2,3,…,1995},A 是 M 的子集且满足条件:当 x ∈ A 时, 15 x ? A ,则 A 中元素的个数最多是多少个. 4.集合 {x | ?1 ≤ log 1 10 < ?
x

1 , x ∈ N*} 的真子集的个数是多少个? 2

5.对于集合 M = {x | x = 3n, n = 1,2,3,4}, N = {x | x = 3 k , k = 1,2,3}. 若有集合 S 满足

M ∩ N ? S ? M ∪ N ,则这样的 S 有多少个?
6.求集合方程有序解的个数 X ∪ Y = {1,2, ? , n}. 7.设 E={1,2,3,…,200}, G = {a1 , a 2 , a3 , ? , a100 } ? E ,且 G 具有下列两条性质:


(Ⅰ)对任何 1 ≤ i ≤ j ≤ 100 ,恒有 a i + a j ≠ 201; (Ⅱ)

∑a
i =1

100

i

= 10080.

试证:G 中的奇数的个数是 4 的倍数,且 G 中所有数字的平方和为一个定数.

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