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南充高中2009年面向省内外自主招生考试数学试题1.


南充高中 2009 年面向省内外自主招生考试数学试卷

南充高中 2009 年面向省内外自主招生考试 数 学 试 题
(考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分) 一、选择题:下列各题只有一个正确的选项,请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置(每小题 5 分,共计 30 分) . 1.下列说法中,正确的是( A. ? ) B.在(-1)0,cot

30°,

1 1 π a 2 的系数是 ? 3 3
a2 c a 2 ?c c ,则 ? ? b2 d b2 ?d d

1 ,|-π -1|几个数中,实数有 2 个 7

C. 若 同类项

D . 单项式-xn+1y 与单项式 2x2n+3y 不可能是 y

2.一次函数 y1 ? kx ? b 与 y2 ? x ? a 的图象如图,则下列结论 ① k ? 0 ; ② a ? 0 ;③当 x ? 3 时, y1 ? y2 中,正确的个数是( A.0 B .1 C .2 D.3
C O

y2 ? x ? a y1 ? kx ? b
x



O

3

3.如图,在 Rt△ABC 中∠ACB=90?,AC=6,AB=10,CD 是斜边 AB 上的中线,以 AC 为直径作⊙ O,设线段 CD 的中点为 P,则点 P 与⊙O 的位置关系( A. 点 P 在⊙O 内 C.点 P 在⊙O 外 B.点 P 在⊙O 上 D.无法确定 )
P

A

D

B

4.将三粒均匀的分别标有 1,2,3,4,5,6 的正六面体骰子同时掷出,出现的数字分别为 a, b, c ,则

a, b, c 正好是直角三角形三边长的概率是(
A.

) D.

1 216

B.

1 72

C.

1 36

1 12


5.给出三个命题:①点 P(b,a)在抛物线 y=x2+1 上;②点 A(1,3)能在抛物线 y=ax2+bx+1 上; ③点 B(-2,1)能在抛物线 y=ax2-bx+1 上.若①为真命题,则( A.②③都是真命题 C.②是真命题,③是假命题 B.②③都是假命题 D.②是假命题,③是真命题

6.满足两条直角边长均为整数,且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无穷多个

二、填空题:请将你的答案填到答题卷的相应位处(每小题 5 分,共计 40 分) . 7.已知不等式 2x-m ? 0 只有三个正整数解,则化简 (4 ? m) 2 + | m ? 9 | = 8.如图,在平而直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,点 A 在 x 轴负半轴, 点 B 在 x 轴正半轴, 与 y 轴交于点 C, 且 tan∠ACO= 则这条抛物线的函数解析 .

1 , CO=BO, AB=3, 2

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? a1 x ? b1 y ? c1 ?3a1 x ? 2b1 y ? 5c1 ?x ? 3 9.三个同学对问题“若方程组 ? 的解是 ? ,求方程组 ? 的解。 ”提 ?y ? 4 ? a2 x ? b2 y ? c2 ?3a2 x ? 2b2 y ? 5c2
出各自的想法。甲说: “这个题目好象条件不够,不能求解” ;乙说: “它们的系数有一定的规律,可以试 试” ;丙说: “能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以 5,通过换元替换的方法来解决” 。参考他们 的讨论,你认为这个题目的解应该是 .

10.已知 a 、 b 为实数,且 a b ? 1 , a ? 1,设 M ? 于 .

a b 1 1 ,N ? ,则 M ? N 的值等 ? ? a ?1 b ?1 a ?1 b ?1
C

11、如图,点 P 在⊙O 的直径 BA 的延长线上,AB=2PA,PC 切⊙O 于点 C, 连结 BC. 若⊙O 的半径 r=2cm, 则 BC 与 ?P 的正弦值的积为 .
P
A

A

O

B
D

12.现有一张矩形纸片 ABCD(如图) ,其中 AB=4cm,BC=6cm,点 E 是 BC 的中点.实施操作:将纸片沿直线 AE 折叠,使点 B 落在梯形 AECD 内,记 为点 B?.则 B?、C 两点之间的距离为 .

B

E

C

13.如图, P1 是一块半径为 1 的半圆形纸板,在 P1 的左下端剪去一个半径为

1 的半圆后得到图形 P2 , 2
? n ? 2? .

然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得图形 P 3, P 4 ,?, P n ,? ,记纸板 P n 的 面积为 S n ,试计算求出 S 2 ? ; S3 ? ;并猜想得到 Sn ? Sn?1 ?

(第 13 题图) 14.正六边形轨道 ABCDEF 的周长为 7.2 米,甲、乙两只机器鼠分别从 A,C 两点同时出发,均按 A →B→C→D→E→F→A→?方向沿轨道奔跑,甲的速度为 9.2 厘米/秒,乙的速度为 8 厘米/秒,那么出 发后经过___________秒钟时,甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上. 三、解答下列各题: (共 80 分) 15.计算(本题满分 8 分):

? 14 ? (

8 ?1 cos 60? ? cos 45? ) ? ( 3 ? ? ) 0 ? | 18 ? 4 | ? 4 sin 45? ? sin 30?

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16.(本题满分 8 分) 解答一个问题后, 将结论作为条件之一, 提出与原问题有关的新问题, 我们把它称为原问题的一个 “逆 向”问题.例如,原问题是“若矩形的两边长分别为 3 和 4,求矩形的周长” ,求出周长等于 14 后,它的 一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为 14,且一边长为 3,求另一边的长” ;也可以是“若矩形的周 长为 14,求矩形面积的最大值” ,等等. x2-4 3x x (1)设 A= - ,B= ,求 A 与 B 的积; x x-2 x+2 (2)提出(1)的一个“逆向”问题,并解答这个问题.

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17.(本题满分 8 分) 如图, △ABC 内接于⊙O,点 D 在半径 OB 的延长线上, ?BCD ? ?A ? 30° . (1)试判断直线 CD 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若⊙O 的半径长为 1, 求由弧 BC 、线段 CD 和 BD 所围成的阴影部分面积(结果保留 π 和根号) .

A

O B C (第 17 题图) D

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18.(本题满分 8 分) 水稻种植是南充的传统农业.为了比较甲、乙两种水稻的长势,农技人员从两块试验田中,分别随机 抽取 5 棵植株,将测得的苗高数据绘制成下图: 请你根据统计图所提供的数据,计算平均数和方差,并比较两种水稻的长势.
苗高统计图 高 度 9 /cm
8 7 6 5 4 3 2 1 0

甲 乙

1

2

3

4

5

植株

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19、(本题满分 12 分) 已知关于x的一元二次方程 x ? bx ? c ? x 有两个实数根 x1 , x 2 ,且满足 x1 ? 0 , x 2 ? x1 ? 1。
2

(1)试证明 c ? 0 ; (2)证明 b ? 2(b ? 2c) ;
2

(3) 对于二次函数 y ? x ? bx ? c , 若自变量取值为 x 0 , 其对应的函数值为 y 0 , 则当 0 ? x0 ? x1 时,
2

试比较 y 0 与 x1 的大小.

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20.(本题满分10分) 善于不断改进学习方法的小迪发现,对解题进行回顾反思,学习效果更好.某一天小迪有 20 分钟时 间可用于学习.假设小迪用于解题的时间 x (单位:分钟)与学习收益量 y 的关系如图 1 所示,用于回顾 反思的时间 x (单位:分钟)与学习收益 y 的关系如图 2 所示(其中 OA 是抛物线的一部分, A 为抛物线 的顶点) ,且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间. (1)求小迪解题的学习收益量 y 与用于解题的时间 x 之间的函数关系式; (2)求小迪回顾反思的学习收益量 y 与用于回顾反思的时间 x 的函数关系式; (3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间,才能使这 20 分钟的学习收益总 量最大? y 2 y 16

A

O

1 (第 20 题图 1)

x

O

4

10 x

(第 20 题图 2)

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21. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,?C ? Rt?, AC ? 4cm, BC ? 5cm , 点D在BC 上,且以CD = Q 3cm, 现有两个动点 P、 分别从点 A 和点 B 同时出发,其中点 P 以 1cm/s 的速度,沿 AC 向终点 C 移动;点 Q 以 1.25cm/s 的速度 沿 BC 向终点 C 移动。过点 P 作 PE∥BC 交 AD 于点 E,连结 EQ。设动点运动时间为 x 秒. (1)用含 x 的代数式表示 AE、DE 的长度; (2)当点 Q 在 BD(不包括点 B、D)上移动时,设 ?EDQ 的面积为 y (cm ) ,求 y 与 x 的函数关系
2

式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)当 x 为何值时, ?EDQ 为直角三角形.
E

A

P

B

Q

D

C

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22.(本题满分 14 分) 如图 1,在平面直角坐标系中,已知点 A(0, 4 3) ,点 B 在 x 正半轴上,且∠ABO ? 30? .动点 P 在 线段 AB 上从点 A 向点 B 以每秒 3 个单位的速度运动,设运动时间为 t 秒.在 x 轴上取两点 M,N 作等 边 △PMN . (1)求直线 AB 的解析式; (2)求等边 △PMN 的边长(用 t 的代数式表示) ,并求出当等边 △PMN 的顶点 M 运动到与原点 O 重合时 t 的值; (3)如果取 OB 的中点 D ,以 OD 为边在 Rt△AOB 内部作如图 2 所示的矩形 ODCE ,点 C 在线段

AB 上.设等边 △PMN 和矩形 ODCE 重叠部分的面积为 S ,请求出当 0 ≤ t ≤ 2 秒时 S 与 t 的函数关系
式,并求出 S 的最大值.

y A M O P
N

y A

E
B

C

x

O

D
(图 2)

B

x

(图 1)

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南充高中2009年面向省内外自主招生考试数学试题1.

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