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2.3 幂函数


高中数学必修 ①人教版A
§2.3幂函数

y ? x 中 x 前面的系数是1,后面没有其它项。

一、幂函数的定义: ? 一般地,我们把形如 y ? x 的函数叫做 ? 为常数。 幂函数,其中 x为自变量,
?
?

练习1:判断下列函数哪几个是幂函数?
x ?2 2 2

/>
( 1 )y ? 3 ;   (2) y ? x ;   (3) y ? 2 x ;   (4) y ? x ? 1;

思考:指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别? 答案(2)(5)

1 (5) y ? x

二、幂函数与指数函数比较
名称 式子 指数函数: y=a
(a>0且a≠1)
x

常数 a为底数 α为指数

x
指数 底数

y
幂值 幂值

幂函数: y= xα

判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数x是指数还是底数
指数函数函

幂函数

例1 :已知f ( x) ? m ? m ? 1 x
2

?

?

2 m ?3

是幂函数,

求m的值。
解 : 因为f ( x)是幂函数

? m ? m ?1 ? 1
2

解之得: m ? ?2或m ? 1

? m ? ?2或m ? 1

快速反应

y ? 0.2

x

y?x

1 2

(指数函数)

(幂函数)

y?x

?1

y ?5
5

x

(幂函数)

(指数函数)

y ?3

?x

y? x
(幂函数)

(指数函数)

练习1:
已知函数 f ( x) ? ?m ? 3m ? 3?x 是幂函数 ,并且是偶函数,求m的值。
2 m2 ?2

? m ? 3m ? 3 ? 1 解之得: m ? 2或m ? 1
2

又因为f ( x)是偶函数

? m ? 1不符合题意 , 舍去 ?m ? 2

二、五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y ? x y ? x (1) (2) y ? x (3)

(4) y ? x

1 2

(5) y ? x

?1

函数

y ? x的图像

定义域: 值 域:

R R

奇偶性: 在R上是奇函数
单调性:在R上是增函数

函数 y ? x 的图像
2

定义域:

R

值 域: [0,??) 奇偶性: 在R上是偶函数
在[0,??)上是增函数 单调性:

在(??,0]上是减函数

?1 y ? x 函数 的图像

定义域:{x x ? 0} 值 域:{ y

y ? 0}

在{x x ? 0}上是奇函数 奇偶性:

单调性: 在(0,??)上是减函数
在(??,0)上是减函数

如何画y ? x 和y ? x 的图像呢?
3

1 2

x y=x3 y=x1/2

… … …

-2 -8 /

-1 -1 /
y 8

0 0 0

1 1 1

2 8
2

3 27

4 … 64 …

3

2 …

y=x3
6
4 2

y=x
1 2 3 4 x

1 2

-3

-2

-1

0 -2 -4 -6 -8

函数 y ? x 的图像
3

定义域:

值 域:
奇偶性:

R R
在R上是奇函数

单调性: 在R上是单调增函数

函数 y ? x 的图像

1 2

定义域: [0,??)

值 域: [0,??) 奇偶性: 非奇非偶函数
单调性: 在[0,??)上是增函数

幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性,随常 数α取值的不同而不同.

y=x
定义域 值域 R R

y = x2
R [0,+∞) 偶函数

y=

x3

y? x
[0,+∞) [0,+∞)

1 2

R R 奇函数

y?x 0? ? (0,+?) ? ??, 0? ? (0,+?) ? ??,
奇函数

?1

奇偶性 奇函数

非奇非偶 函数

在(-∞,0] 在R上 上是减函 单调性 是增函 数,在(0, 数 +∞)上是 增函数 公共点

在R上 在(0,+∞) 在( -∞,0), 是增函 上是增函数 (0, +∞)上是 减函数 数

(1,1)

下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
3 2 y ? x y ? x (1) (2) y ? x (3)

(4) y ? x

1 2

(5) y ? x

?1

y?x
(-2,4)

2
4

y?x
3

3
(2,4)

y=x

2

y?x
(1,1)
2 4 6

1 2

(-1,1)

1

y?x

-4

?1

-2

(-1,-1)

-1

-2

-3

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
在第一象限内,

-3

-4

a >0,在(0,+∞)上为增函数; a <0,在(0,+∞)上为减函数.

下列结论中正确的是
? B幂函数图像不可能出现在第四象限

B

? A 幂函数图像都经过点(0,0),(1,1)
? C 当n>0的时候,幂函数y=xn的值随x的增

大而增大。 ? D 当n=0的时候,幂函数y=xn的图像是一条 直线。

练习:利用单调性判断下列各值的大小。 (1)5.20.8 与 5.30.8 (2)0.20.3-2 与 0.30.3 -2

(3)

2.5

5

与 2.7

5

解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,

∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8
(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5

练习3: 如图所示,曲线是幂函数 y = xk 在第一象 限内的图象,已知 k分别取
4

, c c3 c2 值,则相应图象依次为:_____

1 ? 1, ,1,2 2 , ,

c

四个

1

1

一般地,幂函数的图象在直线x=1

的右侧,大指数在上,小指数在下, 在Y轴与直线x =1之间正好相反。

例3 若 ? m ? 4 ?

1 ? 2

? ? 3 ? 2m ? ,
? 1 2

1 ? 2

则求m的取值范围.

解: ? 幂函数f ( x) ? x 的定义域是(0, ??) 且在定义域上是减函数, ? 0 ? 3 ? 2m ? m ? 4 1 3 ?? ? m ? ,即为m的取值范围. 3 2

理论
归纳:幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
y a>1 a=1 0 <a <1 a<0 x
指数大于1,在第一象限为 抛物线型(凹); 指数等于1,在第一象限为 上升的射线; 指数大于0小于1,在第一象 限为抛物线型(凸); 指数等于0,在第一象限为 水平的射线; 指数小于0,在第一象限为 双曲线型;

1

0

1

归纳:幂函数图象在第一象限的分布情况
? ?1
? ?0
0 ?? ?1
在上 (1,??) 任取一点 作 x 轴的 垂线,与 幂函数的 图象交点 越高, ? 的值就越 大。

0 ?? ?1

? ?1

? ?0

小结: 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性,随 常数α取值的不同而不同.

1.所有幂函数的图象都通过点(1,1);

2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数; 如果α<0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。
α>1 0<α<1
α<0

a=1

作业: 利用单调性判断下列各值的大小。

(1)1.3 与1.5
1 4

0.5

0.5

(2)5.1 与5.09
1 4

?2

?2

(3) ? 1.79 与 ? 1.81


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