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第六十八课时--2.3.1抛物线及其标准方程(2)


复习:
1.平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于 常数2a,(2a>F1F2)的点的轨迹叫做椭圆. 2.平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝 对值等于常数2a,(2a<F1F2)的点的轨迹叫 做双曲线.

抛物线及其标准方程

抛物线的标准方程
方程 y2=2px 叫做 抛物线的标准方程. 它

表示的抛物线 焦点在x轴的正半轴上, 焦点坐标是 ,它的
p ( , 0) 2 准线方程是
y

l

K

o

p x?? 2 其中p为正常数,它的几何意义是:

F

x

焦点到准线的距离(焦准距)

抛物线的标准方程
l

y
F

l

o

F

x x

标准方程 焦点坐标 准线方程 p/ p/ p 2=2px(p>0) x=y ,0) y=x2 =2py(p>0) ( (0, / ) 2 2 2
y

2=-2py y =-2px 标准 x x2 =2py 方程 (p>0) (p>0)

o

x

焦点 坐标 准线 方程

p/ p/) ) (0, (0,(-p/ 22 2,0)

p p y=y= /// x=p 2 2 2

抛物线的标准方程
图形
l

标准方程 焦点坐标准线方程
x

y o F yl

相同点 相同点 相同点 相同点 y2=2px p/ ( 1)顶点为原点 ; ; (p/;; x=( ( 1 1)顶点为原点 ( )顶点为原点 1)顶点为原点 不同点 不同点 不同点 2,0) 2 (p>0) 不同点 ( 2 )对称轴为坐标轴 ( ( 2 2( )对称轴为坐标轴 )对称轴为坐标轴 2)对称轴为坐标轴 ;; ; ( ; 1)一次项变 )一次项

F

o y

x

l

oF y

x

l

o

x

F

(1)一次项变 (1)一次项 ( 3 )顶点到焦点的距离等于顶 ( ( 3 3 ( )顶点到焦点的距离等于顶 )顶点到焦点的距离等于顶 3 )顶点到焦点的距离等于顶 2 变量为 x(y) , 量为x(y) x(y) ,则 量为 ,则 y =-2px p x(y) , 点到准线的距离,其值为 (-p/2,0) 变量为 x=p/2. /p/2. 点到准线的距离,其值为 点到准线的距离,其值为 点到准线的距离,其值为 p/2. p/2. 则对称轴为 对称轴为 x(y) 对称轴为 2 x(y) 则对称轴为 (p>0) x(y) 轴 轴 轴 ;; ; x(y) 轴; 2 一次项系 (2) 一次项系数 (2)一次项系数 x =2py (2)一次项系 y=-p/2 (0,p/2) 数为正(负), 为正(负), 为正(负), 数为正(负), (p>0) 则开口向坐标 则开口向坐标 则开口向坐标 则开口向坐标 2 轴的正(负) 轴的正(负) 轴的正(负) x =-2py p/... 方向 (0,-p/2) 轴的正(负) 方向 方向 y= 方向.2 (p>0)

课堂练习

1. 抛物线的准线方程是x = -4, 则它的标准
2 = 16x y (4, 0) 方程为_________. 焦点坐标为________.

2. 抛物线 y2 = 2px ( p>0 ) 上一点M到焦点的

距离是 a ( a>

点M 的横坐标是__________. a

p ),则点M到准线的距离是_____, 2 p

a?

2

3. 抛物线y2 =12x上与焦点的距离等于9的点的

(6, ?6 2) 坐标是____________.

例题讲解
例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点 坐标和准线方程;

(2)已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程.
解:(1)因为p=3,所以焦点坐标是(3/2,0),准线方程是x=-3/2. (2) 若抛物线焦点在 x 轴上 , 设它的标准方程为 y2=2 p x, 由 y 于点(-4,-2)在抛物线上,故有(-2)2=2p(-4),解得p=-1/2,故 此时所求标准方程为y2=-x; o 若抛物线的焦点在y轴上,设它的标准方程为 x2=2py,由 x 于点(-4,-2)在抛物线上,故有(-4)2=2p(-2),解得p=-4,故此 时所求标准方程为x2=-8y;
(-4,-2)

综上所述,满足题意的抛物线的标准方程为
y2=-x或x2=-8y.

变式训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程 (1)焦点是F(3,0); (2)准线方程是x=1/4; (3)焦点到准线的距离是2;

y2=12x
y2=-x

(4)焦点在直线3x-4y-12=0上.
2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程 (1)y2=28x; (2)4x2=3y; (3)2y2+5x=0;

y2=4x或y2=-4x或 2=16x 2=-4y 或 x2=-12y x2y =4y 或x
焦点( 7, 3/0), 焦点( 0, 16),准 准线 x=-7 3 线 y=/16 焦点( -5/8,0), 准线x=5/8

变式训练 3. 抛物线y2 + 8x=0 的焦点坐标是_________, 准线方程是________.
4. 抛物线y=2x2 的焦点坐标是_________,准 线方程是________. 5. 抛物线 y = ax2 (a<0) 的焦点坐标是 1 1 y?? _________, (0, ) 准线方程是________. 4a 4a 6. 抛物线 y = ax2 (a≠0) 的焦点坐标是 1 1 __________. y?? (0, ) 准线方程是________. 4a 4a

例题讲解
例2.点M与点F(4,0)的距离比它到直线
l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程. 解 : 由已知条件可知 , 点 y M 与点 F 的距离等于它到直 M x+5=0 线 x+4=0 的距离 , 根据抛物 线的定义 , 点 M 的轨迹是以 点F(4,0)为焦点的抛物线.
o

∵p/2=4,∴p=8.

F(4,0)

x

又因为焦点在轴的正半 轴 , 所以点 M 的轨迹方程为 y2=16x.

思考
已知直线l:x=2,点F(-2,0). (1)到点F的距离与到直线l的距离之比为1 的动点M的轨迹方程是__________. (2)到点F的距离与到直线l的距离之比为2 的动点M的轨迹方程是__________.

图形

例3 一种卫星接受天线的轴截面是抛物线 的一部分.卫星波束呈近似平行状态射入 轴截面为抛物线的接受天线,经反射聚集 到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为 4.8m,深度为0.5m,求抛物线的标准方程.

数形结合的思想 课
抛物线的定义

堂 小

分类讨论的思想 坐标法
抛物线 的定义 及其标 准方程 的简单 应用

抛物线四种形 式的标准方程



椭圆与双曲线的第二定义
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹,

y
N M

y
N M F

F

o

F'

x

F'

o

x

当0<e <1时,是椭圆,

当e>1时,是双曲线。

当e=1时,它又是什么曲线?


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