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2012北京石景山高三一模数学理(word版+答案+免费免点数)

时间:2012-04-03


2012 年石景山区高三统一测试

数学(理科) 数学(理科)
考生 须知 1. 本试卷为闭卷考试,满分为 150 分,考试时间为 120 分钟. 2. 本试卷共 6 页.各题答案均答在答题卡上.

题号 分数





三 15 16 17 18 19 20

/>
总分

第 Ⅰ卷

选择题

个小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的.
2 1.设集合 M = { x | x ? 2 x ? 3 < 0} , N = { x | log 1 x < 0} ,则 M I N 等于( 2



A. (?1,1) 2.在复平面内,复数 A.第一象限 3.圆 ?

B. (1,3)

C. (0,1) ) C.第三象限

D. (?1,0)

2?i 对应的点位于( 1+ i
B. 第二象限

D.第四象限

? x = 2 cos θ , 的圆心坐标是( ? y = 2 sin θ + 2
B. (2, 0)

) C. (0, ?2) D. ( ?2, 0) )

A. (0, 2)

4.设 m, n 是两条不同的直线, α , β , γ 是三个不同的平面,下列命题正确的是( A. 若 m // n, m // α , 则 n // α C. 若 m // α , n // α , 则 m // n B. 若 α ⊥ γ , β ⊥ γ , 则 α // β D. 若 m ⊥ α , n // α , 则 m ⊥ n

5.执行右面的框图,若输入的 N 是 6 , 则输出 p 的值是( A. 120 C. 1440 ) B. 720 D. 5040

6.若 ( x 2 ? ) n 展开式中的所有二项式系数和 为 512,则该展开式中的常数项为 ( A. ? 84 C. ? 36 B. 84 D. 36 )

1 x

7.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( A. 8 +



4 3 3 2 3 3

B. 8 +

4 2 3

C. 8 +

D.

32 3

8.如图,已知平面 α I β = l , A 、 B 是 l 上的两个 点, C 、 D 在平面 β 内,且 DA ⊥ α , CB ⊥ α ,

α
P A B

AD = 4 , AB = 6, BC = 8 ,在平面 α 上有一个
动点 P ,使得 ∠APD = ∠BPC ,则 P ? ABCD 体积 的最大值是( A. 24 3 ) B. 16 C. 48

β

D C

D. 144

第 Ⅱ卷
r

非选择题

个小题, 二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题: 9.设向量 a = (cos θ ,1), b = (1,3 cos θ ) ,且 a // b ,则 cos 2θ =

r

r r



10.等差数列 {an }前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a4 + ak = 0 ,则 k =________. 11.如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F , CE 与圆 相切交 AB 延长线上于点 E ,若 DF = CF = 2 2 , A D B F C

E

AF : FB : BE = 4 : 2 :1 ,则线段 CE 的长为



1 ? ? ? x + a, x < 2 , ? 12.设函数 f ( x ) = ? 的最小值为 ?1,则实数 a 的取值范围是 ? log x, x ≥ 1 2 ? ? 2
13.如图,圆 O : x 2 + y 2 = π 2 内的正弦曲线 y = sin x 与 x 轴围成的区域记为 M (图中阴影部分),随机 往圆 O 内投一个点 A ,则点 A 落在区域 M 内的 概率是 .



14.集合 U = {( x, y ) | x ∈ R, y ∈ R}, M = ( x, y ) | x + y < a , P = {( x, y ) | y = f ( x )}, 现给出下列函数:① y = a x ,② y = log a x ,③ y = sin( x + a) ,④ y = cos ax , 若 0 < a < 1 时,恒有 P I CU M = P , 则所有满足条件的函数 f ( x ) 的编号是 个小题, 应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 15. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, A ,B ,C 所对应的边分别为 a ,b ,c , ( 2a ? c ) cos B = b cos C . 角 且 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 cos A = .

{

}

2 , a = 2 ,求 ?ABC 的面积. 2

16.(本小题满分 13 分)

甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛,甲每次投中的概率为 率为

1 ,乙每次投中的概 3

1 ,每人分别进行三次投篮. 2
(Ⅰ)记甲投中的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望 Eξ; (Ⅱ)求乙至多投中 2 次的概率;

(Ⅲ)求乙恰好比甲多投进 2 次的概率. 17 . (本小题满分 14 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ⊥面 ABC , BC ⊥ AC , BC = AC = 2 ,

AA1 = 3 , D 为 AC 的中点.
(Ⅰ)求证: AB1 // 面BDC1 ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值; (Ⅲ)在侧棱 AA1 上是否存在点 P ,使得

B1

B

C C1 D A1 A

CP ⊥ 面BDC1 ?请证明你的结论.
18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = x 2 + 2a ln x .

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 的图象在 (2, f (2)) 处的切线斜率为 1 ,求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 g ( x ) = 19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆

2 + f ( x) 在 [1, 2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围. x

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 )右顶点与右焦点的距离为 3 ? 1 , a2 b2

短轴长为 2 2 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A 、 B 两点,若三角形 OAB 的

面积为

3 2 ,求直线 AB 的方程. 4

20. (本小题满分 13 分)

若数列 { An } 满足 An +1 = An

2



则称数列 { An } 为“平方递推数列” .已知数列 {a n } 中,

a1 = 2 ,点( a n , a n+1 )在函数 f ( x) = 2 x 2 + 2 x 的图像上,其中 n 为正整数.
(Ⅰ)证明数列 {2 a n + 1} 是“平方递推数列” ,且数列 {lg(2 a n + 1)} 为等比数列; (Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 T n ,即

T n= (2a1 + 1)(2a 2 + 1)L 2a n + 1) ,求数列 {a n } 的通项及 T n 关于 n 的表达式; (
(Ⅲ)记 bn = log 2 an +1 Tn ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n ,并求使 S n > 2012 的 n 的最小值.

2012 年石景山区高三统一测试高三数学(理科)参考答案 年石景山区高三统一测试高三数学(理科) 高三数学
个小题, 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 选择题: 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

B

D

A

D

B

B

A

C

个小题, 二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题: 题号 答案 9 10 11 12 13 14 ①②④

?

1 3

10

7

a≥?

1 2

4

π3

个小题, 应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 (2a ? c ) cos B = b cos C ,由正弦定理,得

(2 sin A ? sin C ) cos B = sin B cos C .

…………2 分

∴ 2 sin A cos B = sin C cos B + sin B cos C = sin( B + C ) = sin A .……4 分 ∵ 0< A<π , ∴ cosB = ∴ sinA ≠ 0 , 又∵

1 . 2

0< B <π ,

∴ B=

π
3



…………6 分 …………8 分

(Ⅱ)由正弦定理

a b = ,得 b = 6 , sin A sin B

由 cos A =

2 π π 可得 A = ,由 B = ,可得 2 4 3

sin C =

6+ 2 , 4 6 + 2 3+ 3 . = 4 2

…………11 分 …………13 分

∴ s = 1 ab sin C = 1 × 2 × 6 ×

2

2

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) ξ 的可能取值为:0,1,2,3. …………1 分
2

8 4 ?2? 1 ? 1 ?? 2 ? P (ξ = 0) = C ? ? = ; P (ξ = 1) = C3 ? ?? ? = ; 9 ? 3 ? 27 ? 3 ?? 3 ?
0 3

3

1 ?1? ? 2? 2 3? 1 ? P (ξ = 2) = C32 ? ? ? ? = ; P (ξ = 3) = C3 ? ? = . ?3? ? 3? 9 ? 3 ? 27

2

3

ξ 的分布列如下表: ξ
P
0 1 2 3

8 27

4 9

2 9

1 27
…………4 分

Eξ = 0 ×

8 4 2 1 + 1× + 2 × + 3 × = 1. 27 9 9 27

…………5 分

3 (Ⅱ)乙至多投中 2 次的概率为 1 ? C3 ? ? =

?1? ?2?

3

7 . 8

…………8 分

(Ⅲ)设乙比甲多投中 2 次为事件 A,乙恰投中 2 次且甲恰投中 0 次为事件 B1, 乙恰投中 3 次且甲恰投中 1 次为事件 B2, 则 A = B1 U B2 , B1 , B2 为互斥事件. …………10 分

P ( A) = P ( B1 ) + P ( B2 ) = 8 × 3 + 4 × 1 = 1 . 27 8 9 8 6 1 所以乙恰好比甲多投中 2 次的概率为 . 6
17. (本小题满分 14 分) (I)证明:连接 B1C,与 BC1 相交于 O,连接 OD. ∵BCC1B1 是矩形,∴O 是 B1C 的中点. 又 D 是 AC 的中点,∴OD//AB1. ∵AB1 ? 面 BDC1,OD ? 面 BDC1,∴AB1//面 BDC1.

…………13 分

…………1 分

…………4 分

(II)解:如图,建立空间直角坐标系, 则 C1(0,0,0) ,B(0,3,2) , C(0,3,0) ,A(2,3,0) , D(1,3,0) ,
A1

B1

z

B

C C1 D A

y

x
uuur uuuu r C1B = (0,3, 2) , C1D = (1,3, 0) ,
设 n = ( x1 , y1 , z1 ) 是面 BDC1 的一个法向量,则

…………5 分

r

r uuur ?n C1 B = 0, ?3 y + 2 z = 0, ? 1 1 1 1 r r ? r uuuu 即? ,取 n = (1, ? , ) . ? n C1 D = 0 ? x1 + 3 y1 = 0 ? 3 2 uuuu r 易知 C1C = (0,3, 0) 是面 ABC 的一个法向量. r r uuuu r n C1C 2 r uuuu cos n , C1C = r uuuu = ? r 7. n × C1C
∴二面角 C1—BD—C 的余弦值为

…………7 分 …………8 分

2 . 7
uuu r

…………9 分

(III)假设侧棱 AA1 上存在一点 P 使得 CP⊥面 BDC1. 设 P(2,y,0) (0≤y≤3) ,则 CP = (2, y ? 3, 0) , …………10 分

uuu uuur r ?CP C1 B = 0, ? ? 3( y ? 3) = 0, r r 则 ? uuu uuuu ,即 ? . ? CP C1 D = 0 ? ?2 + 3( y ? 3) = 0

…………12 分

? y = 3, ? 7 ? 解之 ? y = ∴方程组无解. 3 ?
∴侧棱 AA1 上不存在点 P,使 CP⊥面 BDC1.

…………13 分 …………14 分

18. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) f '( x ) = 2 x +

2 a 2 x 2 + 2a = x x

…………1 分

由已知 f '(2) = 1 ,解得 a = ?3 . (II)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, +∞ ) .

…………3 分

(1)当 a ≥ 0 时, f '( x ) > 0 , f ( x ) 的单调递增区间为 (0, +∞ ) ; ……5 分 (2)当 a < 0 时 f '( x ) =

2( x + ? a )( x ? ? a ) . x

当 x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化情况如下:

x
f '( x) f ( x)

(0, ? a )
-

?a
0
极小值

( ? a , +∞)
+

由上表可知,函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ? a ) ; 单调递增区间是 ( ? a , +∞) . (II)由 g ( x ) = …………8 分

2 2 2a + x 2 + 2a ln x 得 g '( x) = ? 2 + 2 x + ,…………9 分 x x x

由已知函数 g ( x ) 为 [1, 2] 上的单调减函数, 则 g '( x ) ≤ 0 在 [1, 2] 上恒成立, 即?

2 2a + 2x + ≤ 0 在 [1, 2] 上恒成立. 2 x x 1 2 即 a ≤ ? x 在 [1, 2] 上恒成立. …………11 分 x 1 1 1 2 令 h( x ) = ? x ,在 [1, 2] 上 h '( x ) = ? 2 ? 2 x = ?( 2 + 2 x ) < 0 , x x x 7 所以 h( x ) 在 [1, 2] 为减函数. h( x ) min = h(2) = ? , 2 7 所以 a ≤ ? . …………14 分 2

19. (本小题满分 13 分)

?a ? c = 3 ? 1 ? ? 解: (Ⅰ)由题意, ? b = 2 ? a2 = b2 + c 2 ? ?
解得 a = 3, c = 1 .

-------1 分

------------2 分

即:椭圆方程为

x2 y2 + = 1. 3 2
4 , 3

------------3 分

(Ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时, AB = 此时 S?AOB = 3 不符合题意故舍掉;

-----------4 分

当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为: y = k ( x + 1) , 代入消去 y 得: (2 + 3k ) x + 6k x + (3k ? 6) = 0 .
2 2 2 2

------------6 分

? ?6k 2 ? x1 + x2 = 2 + 3k 2 ? 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 ? , 2 ? x x = 3k ? 6 ? 1 2 2 + 3k 2 ?
4 3(k 2 + 1) 所以 AB = . 2 + 3k 2
原点到直线的 AB 距离 d =

-----------7 分

------------9 分

k 1+ k 2



1 1 k 4 3(k 2 + 1) . 所以三角形的面积 S = AB d = 2 2 1 + k 2 2 + 3k 2
由S =

3 2 ? k2 = 2 ? k = ± 2 , 4

------------12 分 ---------13 分

所以直线 l AB : 2 x ? y + 2 = 0 或 l AB : 2 x + y + 2 = 0 . 20. (本小题满分 13 分)

解: (I)因为 an +1 = 2an + 2an , 2an +1 + 1 = 2(2an + 2an ) + 1 = (2an + 1)
2 2

2

所以数列 {2 a n + 1} 是“平方递推数列” . 由以上结论 lg(2an +1 + 1) = lg(2an + 1) = 2 lg(2an + 1)
2

--------2 分

, --------3 分

所以数列 {lg(2 a n + 1)} 为首项是 lg5 公比为 2 的等比数列. (II) lg(2an + 1) = [lg(2a1 + 1)] × 2
n ?1

= 2 n ?1 lg 5 = lg 52

n?1

, --------5 分

n?1 1 n?1 2an + 1 = 52 , an = (52 ? 1) . 2

lg Tn = lg(2a1 + 1) + L + lg(2an + 1) = (2n ? 1) lg 5



Tn = 52

n

?1

.

--------7 分

lg Tn (2n ? 1) lg 5 1 = n?1 = 2 ? n ?1 (III) bn = lg(2an + 1) 2 lg 5 2
S n = 2n ? 2 + 2n ? 2 + n+ 1 . 2n ?1
--------10 分

1 > 2012 2n ?1

1 > 1007 2n
--------13 分

nmin = 1007 .
[注:若有其它解法,请酌情给分] 注 若有其它解法,请酌情给分

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