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立体几何中的成角问题


异面直线所成的角 直线与平面所成角
平面与平面所成角

异面直线所成的角:
经过空间任意一点,作两条异面直线 的平行线,则两条相交直线所成的锐角(直 ? 角)即为两条异面直线所成的角。范围:0, ? ? ?
? ? 2?

练习1、在正方体AC1中,求异面 直线A1B和B1C、 B1D1所成的角?

/>D1 C1

A1B和B1C所

A1

B1

成的角为60°
C

D

A1B和B1D所
成的角为90°

A

B

练习2:在正方体AC1中,M,N分别 是A1A和B1B的中点,求异面直线 CM和D1N所成的角?
D1 A1 M D A B B1 N C C1

斜线与平面所成角 :
平面的一条斜线和它在平面内的射影 所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所 成的角。范围: ? ? ?
? 0, ? ? 2?
A

O

B

?

当直线与平面垂直时,直 线与平面所成的角是90°

?

当直线在平面内或 与平面平行时, 直线与平面所成的角 是0°

最小角原理
斜线与平面所成的角,是这条斜线和这个平 面内的直线所成的一切角中最小的角。

A

O
C

B

练习、若直线 l与平面所成的角为60 ° ,则这条 直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角 为 60° ,最大的角为 90° 。

l1

O

例题、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,

求A1B与平面A1B1CD所成的角
D1 A1 B1
O

C1

D A B

C

二面角:
从一条直线出发的两个半平面所 形成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱

二面角的平面角:
以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角

O

二面角的求法 (1)三垂线法:利用三垂线定理作出平 面角,通过解直角三角形求角的大小

(2)垂面法:通过做二面角的棱的垂面, 两条交线所成的角即为平面角 (3)射影法:若多边形的面积是S,它在 一个平面上的射影图形面积是S`,则 二面角?满足:COS ?= S`÷ S

三垂线法

垂面法

射影法
A

B C

O

D

方法选择的一般顺序是: 1、先考虑利用三垂线定理来寻找二面角 的平面角; 2、再考虑二面角中的特殊情况(直二面 角)或者通过定义、面积比等方法来找 到二面角的平面角。 按照这个思路来找二面角的平面角会 使得解题更加方便。

例:四棱锥P-ABCD的底边是边长为1的 正方形,PD垂直于底面,PB= 3

(1)求证:BC ? PC
方法一: 方法二: A M

P

D B

C

(1)方法一:

P

利用三垂线定理

M D A B C

(1)方法二: P

线面垂直 ? 线线垂直

M D A B C

例:四棱锥P-ABCD的底边是边长为1的 正方形,PD垂直于底面,PB= 3

(2)求面APD与面BPC所成 二面角的大小
方法一: M

P

D

C B

方法二:
方法三:

A

方法四:

(2)方法一 P 作出二面角的棱 来确定平面角 A M D B C

(2)方法二 P

垂面法

M D A B C

(2)方法三 P

射影法

M D A B C

(2)方法四 P

补形法

A1
D
A B

C

例:四棱锥P-ABCD的底边是边长为1的 正方形,PD垂直于底面,PB= 3

(3)若设PA的中点为M,求 异面直线DM与PB所成角的大 小
M

P

方法一:
A 方法二:

D B

C

(3)方法一 P

三垂线法

M D A B

(3)方法二 P

平移法

M D A B

练习:在正方体AC1中,求二面角D1— AC—D的大小?
D1 C1 B1

A1

D

O

C B

A

三棱锥P-ABC中,PA ⊥平面ABC, PA=3,AC=4,PB=PC=BC (1)求二面角P-BC-A的大小 (2)求二面角A-PC-B的大小
P
D A E C BD=
5 3 2 15 DE= 8

B

3 COS ?= 4


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