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2000年普通高等学校招生全国统一考试(江西、天津卷)(文史类)数学


2000 年高考江西、天津卷



学(文史类)

一、 选择题:本大题共 12 小题;第每小题 5 分,共 60 分。在每小题给 出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1) 设集合 A= ?x | x ? Z且 ? 10 ? x ? ?1?,B= ?x | x ? Z且 | x |? 5?,则 A∪B 中的

元 素个数是 (A)11 (B)11 (C)16 (D)15 (2)设 a 、 b 、 c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ① ?a ? b?c ? ?c ? a ?b ? 0 ; ③ ?b ? c ?a ? ?c ? a ?b 不与 c 垂直 中,是真命题的有 (A)①② (B)②③ ② a ? b ? a ?b ④ ?3a ? 2b?? ?3a ? 2b? ? 9 a ? 4 b
2 2

(C)③④

(D)②④

(3)一个长方体共一项点的三个面的面积分别是 2 , 3 , 6 ,这个长方体 对角线的长是 (A)2 3 (B)3 2 (C) 6 (D)6

(4)已知 sin? ? sin ? ,那么下列命题成立的是 (A)若 ? 、 ? 是第一象限角,则 cos ? ? cos ? (B)若 ? 、 ? 是第二象限角,则 tg? ? tg? (C)若 ? 、 ? 是第三象限角,则 cos ? ? cos ? (D)若 ? 、 ? 是第四象限角,则 tg? ? tg? (5)函数 y ? ? x cos x 的部分图象是

(6) 《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的部分不必纳税,超过 800 元的部分为全月应纳税所得额。此项税
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款按下表分段累进计算: 全月应纳税所得额 税率 不超过 500 元的部分 5% 超过 500 元至 2000 元的部分 10% 超过 2000 元至 5000 元的部分 15% … … 某人一月份应交纳此项税款 26.78 元,则他的当月工资、薪金所得介于 (A) 800~900 元 (B)900~1200 元 (C)1200~1500 元 (D)1500~2800 元 (7)若 a ? b ? 1 ,P= lg a ? lgb ,Q= (A)R ? P ? Q (C)Q ? P ? R
a?b? 1 ?lg a ? lg b? ,R= lg? ? ? ,则 2 ? 2 ?

(B)P ? Q ? R (D)P ? R ? Q

(8)已知两条直线 l1 : y ? x , l2 : ax ? y ? 0 ,其中 a 为实数。当这两条直线的夹 角在 ? 0 ,
? ? ? 内变动时, a 的取值范围是 12 ?

? ?

(A) ?0 , 1?

(B) ? ?

? 3 ? , 3? ? ? 3 ?

(C) ? ?

? 3 ? ∪ 1, 3 , 1? ? 3 ? ?

?

?

(D) 1 , 3

?

?

(9)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比 是 1 ? 2? 1 ? 4? 1 ? 2? 1 ? 4? (A) (B) (C) (D) 2? 4? ? 2? (10)过原点的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 相切,若切点在第三象限,则该直 线的方程是 (A) y ? 3x (B) y ? ? 3x (C)
3 x 3 3 x 3

(D) ?

(11)过抛物线 y ? ax 2 ?a ? 0? 的焦点 F 作一条直线交抛物线于 P、Q 两点,若线 段 PF 与 FQ 的长分别是 p 、 q ,则 (A) 2 a (B)
1 2a
1 1 ? 等于 p q

(C) 4 a

(D)

4 a

(12)二项式 2 ? 3 3x (A)6 项

?

?

50

的展开式中系数为有理数的项共有 (B)7 项 (C)8 项 (D)9 项

二.填空题:本大题共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横 线上。
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(13)从含有 500 个个体的总体中一次性地抽取 25 个个体,假定其中每个个体 被抽到的概率相等,那么总体中的每个个体被抽取的概率等于________。 (14)椭圆
x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 ,点 P 为其上的动点,当 ?F1 PF2 为钝角 9 4

时,点 P 横坐标的取值范围是________。
2 2 (15)设 ?a n ?是首项为 1 的正项数列,且 ?n ? 1?an ?1 ? nan ? nan?1an ? 0 ( n =1,2,

3,…) ,则它的通项公式是 an =________。 (16)如图, E、 F 分别为正方体的面 ADD1 A1 、面
BCC1 B1 的中心,则四边形 BFD1 E 在该正方体的面上

的射影可能是_______。 (要求: 把可能的图的 号都填上)



三、解答题:本大题共 6 小题;共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。 (17) (本小题满分 10 分) 甲、乙二人参加普法知识竞答,共有 10 个不同的题目,其中选择题 6 个, 判断题 4 个。甲、乙二人依次各抽一题。 (I)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少? (II)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少? (18 甲) (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC- A1 B1C1 ,底面 Δ ABC 中, CA=CB=1,BCA= 90? ,棱 AA1 =2,M、N 分别是 A1 B1 、
A1 A 的中点。

(I)求 BN 的长; (II)求 cos ? BA1 , CB1 ? 的值;

第 3 页 共 11 页

(III)求证 A1 B?C1 M 。 (18 乙) (本小题满分 12 分) 如图,已知平行六面体 ABCD- A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是菱形,且 ?C1CB =
? ?C1CD ? ?BCD 。

(I)证明: C1C ⊥BD; ( II )当
CD 的值为多少时,能使 A1C? 平面 CC1

C1 BD ?请给出证明。

(19) (本小题满分 12 分) 设 ?a n ?为等差数列, S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和,已知 S7 ? 7 , S15 ? 75 ,Tn 为 数列
Sn 的前 n 项和,求 Tn 。 n

(20) (本小题满分 12 分) 设函数 f ?x? ? x 2 ? 1 ? ax ,其中 a ? 0 。 (I)解不等式 f ?x ? ? 1 ; (II)证明:当 a ? 1 时,函数 f ?x ? 在区间 ?0,?? ? 上是单调函数。 (21) (本小题满分 12 分) 用总长 14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架, 如果所制做容器的底面 的一边比另一边长 0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容 积。 (22) (本小题满分 14 分) 如图,已知梯形 ABCD 中 AB ? 2 CD ,点 E 分有向 线段 AC 所成的比为
8 ,双曲线过 C、D、E 三点,且以 11

A、B 为焦点。求双曲线的离心率。

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2000 年高考江西、天津卷

数学试题(文史类)参考解答及评分标准
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 60 分。 (1)C (6)C (11)C (2)D (7)B (12)D (3)C (8)C (4)D (9)A (5)D (10)C

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 16 分。 (13)0.05 (14) ?
3 5 ?x? 3 5

(15)

1 n

(16)②③

三、解答题 (17)本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力。 满分 10 分。
1 解: (I)甲从选择题中抽到一题的可能结果有 C6 个,乙依次从判断题中抽 1 到一题的可能结果有 C4 个,故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有 1 1 1 1 个;又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为 C10 个,所以甲抽到选择 C6 C4 C9
1 1 C6 C4 4 4 ? ,所求概率为 ; 1 1 15 C10C9 15

题、乙依次抽到判断题的概率为

——5 分 (II)甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为
1 1 C4 C3 ,故甲、乙二人中至少 1 1 C10 C9

有一人抽到选择题的概率为 1 ?

1 1 C4 C3 13 13 ? ,所求概率为 。 1 1 15 C10 C9 15

——10 分



1 1 1 1 1 1 C6 C5 C6 C4 C4 C6 1 4 4 13 13 ? ? ? ? ? ? ,所求概率为 。 1 1 1 1 1 1 15 C10 C9 C10 C9 C10 C9 3 15 15 15

——10 分 (18 甲) 本小题主要考查空间向量及运算的基本知识。 满分 12 分。 如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 O ? xyz 。 (I)解:依题意得 B ?0, 1, 0? ,N ?1, 0, 1? ,
第 5 页 共 11 页

∴ BN ?

?1 ? 0?2 ? ?0 ? 1?2 ? ?1 ? 0?2

? 3

——2 分

(II)解:依题意得 A1 ?1, 0, 2? ,B ?0, 1, 0? ,C ?0, 0, 0? , B1 ?0, 1, 2? 。
∴ BA1 ? ?1, ? 1, 2? , CB1 ? ?0, 1, 2? 。

BA1 ? CB1 ? 3 。 BA1 ? 6 , CB1 ? 5
∴ cos ? BA1 ? CB1 ? ?

——5 分
——9 分

BA1 ? CB1 BA1 ? CB1

?

1 30 10
1 1 ?2 2

? ? (III)证明:依题意得 C1 ?0, 0, 2 ? ,M ? , , 2 ? ? ?1 1 ? A1B ? ?? 1, 1, ? 2? , C1 M ? ? , , 0 ? , ?2 2 ?
∴ A1 B ? C1 M ? ?

1 1 ? ? 0 ? 0 ,∴ A1B ? C1M 2 2

——12 分

(18 乙)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系,逻辑推理能力。满 分 12 分。 (I)证明:连结 A1C1 、AC,AC 和 BD 交于 O,连结 C1O 。 ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC⊥BD,BC=CD。 又∵
?BCC1 ? ?DCC1 , C1C ? C1C ,

∴ ?C1 BC ? ?C1 DC , ∴ C1 B ? C1 D , ∵ DO=OB, ∴ ——3 分 但 AC⊥BD,AC∩ C1O =O, ∴ BD⊥平面 AC1 。
C1O?

BD



第 6 页 共 11 页

又 C1C ? 平面 AC1 , ∴ C1C? BD。 (II)当
CD ? 1 时,能使 A1C ⊥平面 C1 BD 。 CC1

——6 分

证明一: ∵
CD ?1, CC1

∴ BC=CD= C1C , 又 ?BCD ? ?C1CB ? ?C1CD , 由此可推得 BD= C1 B ? C1 D 。 ∴ 三棱锥 C- C1 BD 是正三棱锥。 设 A1C 与 C1O 相交于 G。 ∵ A1C1 ∥AC,且 A1C1 ∶OC=2∶1, ∴ C1G ∶GO=2∶1。 又 C1O 是正三角形 C1 BD 的 BD 边上的高和中线, ∴ 点 G 是正三角形 C1 BD 的中心, ∴ CG⊥平面 C1 BD 。 即 A1C ⊥平面 C1 BD 。 证明二: 由(I)知,BD⊥平面 AC1 , ∵ A1C ? 平面 AC1 ,∴ BD⊥ A1C 。 当
CD ? 1 时 ,平行六面体的六个面是全等的菱形, CC1

——9 分

——12 分

——9 分

同 BD⊥ A1C 的证法可得 BC1 ⊥ A1C 。
第 7 页 共 11 页

又 BD∩ BC1 =B, ∴ A1C ⊥平面 C1 BD 。 解:设等差数列 ?a n ?的公差为 d ,则
1 Sn ? na1 ? n?n ? 1?d 2

——12 分

(19) 本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能, 运算能力。 满分 12 分。

∵ ∴

S 7 ? 7 , S15 ? 75 ,

?7a1 ? 21d ? 7 , ? ?15a1 ? 105d ? 75 ,

——6 分

即 解得 ∴ ∵

?a1 ? 3d ? 1 , ? ?a1 ? 7d ? 5 ,
a1 ? ?2 , d ? 1 。

——8 分

Sn 1 1 ? a1 ? ?n ? 1?d ? ?2 ? ?n ? 1? , n 2 2 Sn?1 Sn 1 ? ? , n ?1 n 2 1 ? Sn ? ? 是等差数列,其首项为 ? 2 ,公差为 , n 2 ? ?

∴ ∴

数列 ?

1 9 Tn ? n 2 ? n 。 4 4

——12 分

(20)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分类讨论的 数学思想方法和运算、推理能力。满分 12 分。 解: (I)不等式 f ?x ? ? 1 即
x 2 ? 1 ? 1 ? ax ,

由此得 1 ? 1 ? ax ,即 ax ? 0 ,其中常数 a ? 0 。 所以,原不等式等价于
? x 2 ? 1 ? ?1 ? ax ?2 , ? ?x ? 0

第 8 页 共 11 页



?x ? 0 ? 2 ? a ? 1 x ? 2a ? 0

?

?

——3 分
? ? 2a ? ?; 1? a2 ?

所以,当 0 ? a ? 1 时,所给不等式的解集为 ? x | 0 ? x ? 当 a ? 1 时,所给不等式的解集为 ?x | x ? 0?。 (II)在区间 ?0,?? ? 上任取 x1 , x2 ,使得 x1 < x2 。
2 2 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? a?x1 ? x2 ?
2 2 x1 ? x2 2 2 x1 ? 1 ? x2 ?1

——6 分

?

? a ?x1 ? x2 ?

? ? x1 ? x 2 ? ?x1 ? x 2 ?? ? a?。 ? x2 ?1 ? x2 ?1 ? 2 ? 1 ?

——9 分



x1 ? x2
2 x1 2 ? 1 ? x2 ?1

? 1 ,且 a ? 1 ,



x1 ? x2
2 2 x1 ? 1 ? x2 ?1

?a ?0 ,

又 ∴ 即

x1 ? x2 ? 0 , f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 , f ?x1 ? ? f ?x2 ? 。

所以,当 a ? 1 时,函数 f ?x ? 在区间 ?0,?? ? 上是单调递减函数。 ——12 分 (21)本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力, 建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识。满分 12 分。 解:设容器底面短边长为 x m,则另一边长为 ?x ? 0.5? m,高为
14.8 ? 4 x ? 4?x ? 0.5? ? 3.2 ? 2 x 4

由 3.2 ? 2 x ? 0 和 x ? 0 ,得 0 ? x ? 1.6 , 设容器的容积为 ym 3 ,则有
y ? x?x ? 0.5??3.2 ? 2 x ?

?0 ? x ? 1.6?
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整理,得
y ? ?2 x 3 ? 2.2 x 2 ? 1.6x ,

——4 分 ——6 分

∴ y ? ? ?6x 2 ? 4.4 x ? 1.6 令 y ? ? 0 ,有
? 6 x 2 ? 4.4 x ? 1.6 ? 0 ,

即 解得

15x 2 ? 11x ? 4 ? 0 ,

x1 ? 1 , x2 ? ?

4 (不合题意,舍去) 。 15

——8 分

从而,在定义域(0,1,6)内只有在 x ? 1 处使 y ? ? 0 。由题意,若 x 过小(接 近 0)或过大(接受 1.6)时, y 值很小(接近 0) ,因此,当 x ? 1 时 y 取得最大 值
y最大值 ? ?2 ? 2.2 ? 1.6 ? 1.8 ,

这时,高为 3.2 ? 2 ? 1 ? 1.2 。 答:容器的高为 1.2m 时容积最大,最大容积为 1.8m 3 。 ——12 分

(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推 理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。满分 14 分。 解:如图,以 AB 为垂直平分线为 y 轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标 系 xOy ,则 CD⊥ y 轴。 因为双曲线经过点 C、D,且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知 C、D 关于 y 轴对称。
? ? 依题意,记 A ?? c, 0? ,B ? , h ? ,C ?c, 0? ,其 c ?2 ?

——2 分

中 c 为双曲线的半焦距, c ? | AB | , h 是梯形的 高。 由定比分点坐标公式,得点 E 的坐标为

1 2

第 10 页 共 11 页

xE ?

?c?

8 c ? 11 2 ? ? 7 c , 8 19 1? 11

8 ?h 8 11 yE ? ? h。 8 19 1? 11 0?

——5 分

设双曲线的方程为

x2 y2 c ? ? 1 ,则离心率 e ? 。 a 2 b2 a

由点 C、E 在双曲线上,得
?1 c2 h2 ? ? 2 ? 2 ? 1, ?4 a b ? 2 2 ? 49 ? c ? 64 ? h ? 1 ? ? 361 a 2 361 b 2

——10 分

由①得

h2 1 c2 c2 ? ? ? 1 ?9。 ,代入②得 b2 4 a 2 a2

所以,离心率 e ?

c2 ? 3。 a2

——14 分

第 11 页 共 11 页


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