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北京市2014北京朝阳高三3月份第一次模模拟考试数学文(word解析)


北京名师 15801595307 高考答疑

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试(文史类)2014.3
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
{x ? N | 0 ? x ? 3} , B ? {x | 2 x ?1 ? 1} ,则 A I B ? ( (1)已知集合 A ?



A. ?

B. ?1?

C. ?2? ) . C. ?1 ? i

D. ?1, 2?

(2)已知 i 为虚数单位,复数 A. ?1 ? i

2i 的值是( 1? i B. 1 ? i

D. 1 ? i

? x ? y ≤ 3, ? x , y (3)若 满足约束条件 ? y ≤ x ? 1, 则函数 z ? 2 x ? y 的最大值是( ? x ? 3 y ≥ 3, ? A. ?1 B. 0 C. 3

) . D. 6 开始 S=1,i=1 S=S+i

(4)在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次. 设命题 p 是“甲落地站稳”, q 是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没 有站稳”可表示为( ) . p ? q p ? ? q ? ? A. B. C. (?p) ? (?q) D. ? ?p ? ? ? ?q ? (5)执行如右图所示的程序框图,则输出 S 的值是( A.10 B.17 C.26 D.28 ) .

i=i+2


i >7? 是

sin x (6)函数 f ( x) ? 2 的图象大致为( x ?1
y
π

) .
y o
π 2

输出 S
y
π 2

y

结束
π 2



o

x



o

π

x

-

π 2

x

-

o

x

A.

B.

C.

D. ) .

uuu r uu u r uuu r uur uu u r (7)已知 AB 和 AC 是平面内两个单位向量,它们的夹角为 60o ,则 2 AB ? AC 与 CA 的夹角是 ( A. 30o B. 60o C. 90o D. 120o

(8)如图,梯形 ABCD 中, AD ? BC , AD ? AB ? 1, AD ? AB , ?BCD ? 45o ,将 ?ABD 沿对角线 BD 折起.设折起后点 A 的位置为 A? ,并且平面 A?BD ? 平面 BCD .给出 A D 下面四个命题: ① A?D ? BC ; 2 ②三棱锥 A? ? BCD 的体积为 ; 2 ③ CD ? 平面 A?BD ; C B ④平面 A?BC ? 平面 A?DC .
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其中正确命题的序号是( ) . A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. (9)抛物线 y 2 ? 8 x 的准线方程是. (10)在一次选秀比赛中,五位评委为一位表演者打分,若去掉一个最低分后平均分为 90 分,去掉一个最 高分后平均分为 86 分.那么最高分比最低分高分. (11)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边.已知 b ? 4 , c ? 2 , ?A ? 60o ,则 a ? ; ?C ? . (12)一个空间几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为; 表面积为. (13) 已知直线 y ? x ? m 与曲线 x2 ? y 2 ? 4 交于不同的两点 A, B , 若 | AB |≥ 2 3 , 则实数 m 的取值范围是. (14)将 1,2,3,…………,9 这 9 个正整数分别写在三张卡片上,要求每一 张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上.现在第一张卡片上已经写有 1 和 5, 第二张卡片上写有 2, 第三张卡片上写有 3, 则 6 应该写在第张卡片上; 第三张卡片上的所有数组成的集合是.
1 正视图 1 1 侧视图

俯视图

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 3 cos 2 x . (Ⅰ)求 f (0) 的值及函数 f ( x) 的单调递增区间;
? π? (Ⅱ)求函数 f ?x? 在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

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(16) (本小题满分 13 分) 某单位从一所学校招收某类特殊人才.对 20 位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力 的测试,其测试结果如下表:
逻辑思维 能力

运动 协调能力

一般

良好

优秀

一般 良好 优秀

2 4

2
b

1 1

a 3 1 例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是 4 人.由于部分数据丢失,只知道从这 20 位 1 参加测试的学生中随机抽取一位,抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为 . 5 a (Ⅰ)求 , ? 的值; (Ⅱ) 从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取 2 位, 求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概 率.

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(17) (本题满分 14 分) 在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 为菱形, O 为 AC 1 1 与B 1D 1 交点, o 已知 AA1 ? AB ? 1 , ?BAD ? 60 . (Ⅰ)求证: A1C1 ? 平面 B1 BDD1 ; (Ⅱ)求证: AO ∥平面 BC 1 D ; (Ⅲ)设点 M 在 ?BC1 D 内(含边界) ,且 OM ? B1 D1 ,说明满足条件的点 M 的轨迹,并求 OM 的最 小值. D1 C1 O A1 B1

D AB

C

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(18) (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ax ? 1 , a ? R ,记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在 x ? e 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 F ( x) 的单调区间; (Ⅲ)当 a ? 0 时,若函数 F ( x) 没有零点,求 a 的取值范围.

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(19) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 (1, ) ,一个焦点为 ( 3, 0) . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) 与 x 轴交于点 P ,与椭圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的垂直平分线 | AB | 与 x 轴交于点 Q ,求 的取值范围. | PQ |

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(20) (本小题满分 13 分) 已知 {an } 是公差不等于 0 的等差数列, {bn } 是等比数列 (n ? N? ) ,且 a1 ? b1 ? 0 . (Ⅰ)若 a3 ? b3 ,比较 a2 与 b2 的大小关系; (Ⅱ)若 a2 ? b2 , a4 ? b4 . (ⅰ)判断 b10 是否为数列 {an } 中的某一项,并请说明理由; (ⅱ)若 bm 是数列 {an } 中的某一项,写出正整数 m 的集合(不必说明理由) .

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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案(文史类)
一、选择题 1 题号 C 答案 二、填空题 9 题号 答案 三、解答题
x ? ?2

2 C 10 16

3 D 11

4 D

5 B

6 A 12 1 ;3? 2 2

7 C 13
? ? 2, 2 ? ? ?

8 B 14 二; ?3, 4,9?

2 3 ; 30o

π 15. 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3 所以, f (0) ? ? 3 .

由? 得?

π π π ? 2kπ ≤ 2 x ? ≤ ? 2kπ , k ? Z , 2 3 2
π 5π ? kπ ≤ x ≤ ? kπ , k ? Z 12 12

所以 f ( x) 的单调递增区间是 ? kπ ?

? ?

π 5π ? , kπ ? ? , k ? Z . 12 12 ?

………………………………………8 分

π (Ⅱ)因为 0 ≤ x ≤ , 2 π π 2π 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ . 3 3 3 π π 所以,当 2 x ? ? ? ,即 x ? 0 时, f ( x) 取得最小值 ? 3 ; 3 3 π π 5π ……………………………………………13 分 当 2x ? ? 即 x ? 时, f ( x) 取得最大值 2 . 3 2 12

16. 解: (I)由题意可知,逻辑思维能力优秀的学生共有 (2 ? a) 人. 设事件 A :从 20 位学生中随机抽取一位,逻辑思维能力优秀的学生, 2?a 1 ? . 则 P( A) ? 20 5 解得 a ? 2 . ……………………………………………………………………………………5 分 所以 b ? 4 . (Ⅱ)由题意可知,运动协调能力为优秀的学生共有 6 位,分别记为 M1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 .其中 M 5 和 M 6 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生. 从中任意抽取 2 位,可表示为 M1M 2 , M1M 3 , M1M 4 , M1M 5 , M1M 6 , M 2 M 3 , M 2 M 4 , M 2 M 5 , M 2 M 6 , M 3 M 4 , M 3 M 5 , M 3 M 6 , M 4 M 5 , M 4 M 6 , M 5 M 6 ,共 15 种可能. 设事件 B :从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取 2 位,其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生. 事件 B 包括 M1M 5 , M1M 6 , M 2 M 5 , M 2 M 6 , M 3 M 5 , M 3 M 6 , M 4 M 5 , M 4 M 6 , M 5 M 6 ,共 9 种可能. 9 3 所以 P( B) ? ? . 15 5 3 所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为 . ………………………………………………13 分 5
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17. 解: (Ⅰ)依题意, 因为四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 底面 ABCD , 所以 BB1 ? 底面 A1 B1C1 D1 . D1 又 A1C1 ? 底面 A1 B1C1 D1 , O A B1 BB ? AC 1 所以 1 1 1. 因为 A1 B1C1 D1 为菱形, M 所以 A1C1 ? B1 D1 .而 BB1 I B1 D1 ? B1 ,

C1

所以 A1C1 ? 平面 B1 BDD1 . ………………………………………………………………4 分 D C (Ⅱ)连接 AC ,交 BD 于点 E ,连接 C1 E . E 依题意, AA1 ∥ CC1 , AB 且 AA1 ? CC1 , AA1 ? AC , 所以 A1 ACC1 为矩形. 所以 OC1 ∥ AE . 1 1 又 OC1 ? A1C1 , AE ? AC , A1C1 ? AC , 2 2 所以 OC1 = AE ,所以 AOC1 E 为平行四边形, 则 AO ∥ C1 E . 又 AO ? 平面 BC1 D , C1 E ? 平面 BC1 D , ………………………………………………………9 分 所以 AO ∥平面 BC 1 D . ? BC D B D (Ⅲ)在 内,满足 OM ? 1 1 的点 M 的轨迹是线段 C1 E ,包括端点. 1 分析如下:连接 OE ,则 BD ? OE . 由于 BD ∥ B1 D1 ,故欲使 OM ? B1 D1 ,只需 OM ? BD ,从而需 ME ? BD . 又在 ?BC1 D 中, C1 D ? C1 B ,又 E 为 BD 中点,所以 BD ? C1 E . 故 M 点一定在线段 C1 E 上. 当 OM ? C1 E 时, OM 取最小值. 在直角三角形 OC1 E 中, OE ? 1 , OC1 ? 所以 OM min ?
OC1 ? OE 21 ? . C1 E 7
3 7 , C1 E ? , 2 2

……………………………………………………………14 分

1 1 ,则函数 f ( x) 在 x ? e 处的切线的斜率为 k ? .又 f (e) ? 1 , e x 1 1 所以函数 f ( x) 在 x ? e 处的切线方程为 y ? 1 ? ( x ? e) ,即 y ? x …………………………………4 分 e e 1 1 ? ax (Ⅱ) F ( x) ? ln x ? ax ? 1 , F ?( x) ? ? a ? , (x ?0) . x x ①当 a ≤ 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增;
18.解: (I) f ?( x) ?
1 1 ;令 F ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . a a 综上所述,当 a ≤ 0 时,函数 F ( x) 的增区间是 (0, ??) ; 1 1 当 a ? 0 时,函数 F ( x) 的增区间是 (0, ) ,减区间是 ( , ??) . …………………………………………9 分 a a (Ⅲ)依题意,函数 F ( x) 没有零点,即 F ( x) ? ln x ? ax ? 1 ? 0 无解.

②当 a ? 0 时,令 F ?( x) ? 0 ,解得 x ?

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1 1 由(Ⅱ)知,当 a ? 0 时,函数 F ( x) 在区间 (0, ) 上为增函数,区间 ( , ??) 上为减函数, a a

由于 F (1) ? ?a ? 1 ? 0 ,只需 F ( ) ? ln 解得 a ? e?2 . 所以实数 a 的取值范围为 (

1 a

1 1 ? a ? ? 1 ? ? ln a ? 2 ? 0 , a a

1 , ??) . …………………………………………………………………13 分 e2

? a 2 ? b 2 =3, ? 19. 解: (Ⅰ)由题意得 ? 1 解得 a=2 , b ? 1 . 3 ? 2 ? 2 ? 1, 4b ?a 2 x ………………………………………………………4 分 所以椭圆 C 的方程是 ? y 2 ? 1 . 4 ? y ? k ( x ? 1), ? (Ⅱ)由 ? x 2 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 . 2 ? y ? 1, ? ? 4 8k 2 4k 2 ? 4 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ?2k y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? . 1 ? 4k 2 4k 2 ?k , ), 所以线段 AB 的中点坐标为 ( 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ?k 1 4k 2 ? ? ( x ? ). 所以线段 AB 的垂直平分线方程为 y ? 1 ? 4k 2 k 1 ? 4k 2 3k 2 ,0) ,又点 P(1,0) , 于是,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 Q ( 1 ? 4k 2 3k 2 1? k2 ? 所以 PQ ? 1 ? . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

4 (1 ? k 2 )(1 ? 3k 2 ) 8k 2 2 4k 2 ? 4 又 AB ? (1 ? k 2 )[( . ) ? 4 ? ] ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
4 (1 ? k 2 )(1 ? 3k 2 ) | AB | 1 ? 3k 2 2 1 ? 4k 2 于是, . ? ? 4 ? 4 3? 2 2 1? k | PQ | 1? k 1? k2 1 ? 4k 2 2 ? 3. 因为 k ? 0 ,所以 1 ? 3 ? 1? k2 | AB | ……………………………………………………14 分 所以 的取值范围为 (4, 4 3) . | PQ |

20. 解:记 {an } 的 a1 ? b1 ? a , {an } 公差为 d , {bn } 公比为 q ,由 d ? 0 ,得 q ? 1 a ?a b ?b 2 ? b1b3 , b2 ? ? b1b3 , (Ⅰ) b3 ? b1q 2 ? 0 , a2 ? 1 3 ? 1 3 , b2 2 2 当 b2 ? ? b1b3 时,显然 a2 ? b2 ; 当 b2 ? b1b3 时,由平均值不等式 而 b1 ? b3 ,
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b1 ? b3 ≥ b1b3 ,当且仅当 b1 ? b3 时取等号, 2

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b1 ? b3 ? b1b3 即 a2 ? b2 . 2 综上所述, a2 ? b2 . (Ⅱ) (ⅰ)因为 a2 ? b2 , a4 ? b4 ,

所以

……………………………………………………………………5 分

所以 a ? d ? aq, a ? 3d ? aq3 , 得 q3 ? 1 ? 3(q ? 1), 所以 q2 ? q ? 1 ? 3, q ? 1 或 q ? ?2 . 因为 q ? 1 ,所以 q ? ?2 , d ? a(q ? 1) ? ?3a . 令 ak ? b10 ,即 a1 ? (k ? 1)d ? b1q9 , a ? 3(k ? 1)a ? a(?2)9 , k ? 172 , 所以 b10 是 {an } 中的一项. (ⅱ)假设 bm ? ak ,则 a1 ? (k ? 1)d ? b1q m?1 , a ? 3(k ? 1)a ? a(?2)m?1 , 4 ? 3k ? (?2)m ?1 当 m ? 1, 或 m ? 2n , ( n ? N? )时, k ? N? .
? 正整数 m 的集合是 m m = 1 或 m = 2n, n ? N .

?

?

……………………………………………13 分

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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案(文史类)
一、 选择题 1. 【答案】C {x ? N | 0 ? x ? 3} ? {1, 2} , B ? {x | 2 x ?1 ? 1} ? {x | x ? 1} 【解析】解:因为 A ? 所以 A I B ? {2} 故选 C 2. 【答案】C 【解析】解: 故选 C 3. 【答案】D
? x ? y ≤ 3, ? 【解析】画出 ? y ≤ x ? 1, 表示的区域,如图所示: ? x ? 3 y ≥ 3, ? 由 z ? 2x ? y , 得 y ? 2x ? z , 画出 y ? 2 x 并平移, 当过 (3, 0) 时, ? z z 截距 最小,即 最大为 6 . 故选 D
2i 2i(1 ? i) 2i+2i 2 2i ? 2 ? ? ? ? ?1 ? i 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 1 ? i 2 2

4. 【答案】D 【解析】解:因为 p 是“甲落地站稳”,则 ?p 表示“甲落地没有站稳” ; q 是“乙落地站稳”,则 ?q 表示 “乙落地没有站稳” 所以“至少有一位队员落地没有站稳”可以表示为 (?p) ? (?q) . 5. 【答案】B 【解析】解:列表法: S i 故答案选 B 6. 【答案】A 【解析】解:因为 f (? x) ?
sin(? x) sin x ?? 2 ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数,图象关于原点对称;故排 2 ( ? x) ? 1 x ?1

1 1

2 3

5 5

10 7

17 9

循环结束

除 C.D; π 1 f( )? 2 ?0 又 2 ,排除 B. π ?1 4 故选 A. 7. 【答案】C

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uuu r uuu r uur (2 AB ? AC ) ? CA uu u r uuu r uur r uuu r uur 【解析】解:设 2 AB ? AC 与 CA 的夹角是 ? ,则 cos ? ? uuu 2 AB ? AC CA uuu r uuu r uuu r uu u r 又 AB 和 AC 是平面内两个单位向量,则 AB ? 1 , AC ? 1 ; uu u r uuu r uu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r2 uu u r uuu r uuu r2 则 (2 AB ? AC) ? CA ? ?(2 AB ? AC) ? AC ? ?2 AB ? AC ? AC ? ?2 AB ? AC cos60? ? AC ? 0

所以 cos? ? 0 ,则 ? =90? . 故选 C 8. 【答案】B 【解析】解:依题意,标出平面图形上的信息如图所示, 画出折起后的几何体,设 BD 中点为 E ,并连接 A' E 如图所示, 对于①, 因为 A' B ? A' D , 所以 A' E ? BD ; 又平面 A?BD ? 平面 BCD , 则 A' E ? 面 BCD , A' E ? BC ; 若 A?D ? BC ,A ' D I A ' E ? A ' , 则 BC ? 面 A?BD , 则 BC ? BD 矛盾, 故①错; 1 1 1 2 2 对于②, VA '? BCD ? S△BCD A ' E ? ? ? 2 ? 2 ? ,故②错; ? 3 3 2 2 6 对 于 ③ , 因 为 A' E ? 面 BCD , 则 A' E? C D , 又 C D? B D , A' E I BD ? E ,所以 CD ? 平面 A?BD ;故③正确; 对于④,由③知, CD ? 平面 A?BD ,所以 CD ? A' B ;又 A ' B ? A ' D , A' D I CD ? D ,所以 A' B ? 面 A ' DC ; 又 A' B ? 平面 A?BC ,所以平面 A?BC ? 平面 A?DC .故④正确; 故答案选 B 二、 填空题 9. 【答案】 x ? ?2 【解析】解:因为抛物线 y 2 ? 8 x ,则 2 p ? 8 ,即 p ? 4 , p 所以准线方程为 x ? ? ? ?2 . 2 故答案为 x ? ?2 . 10. 【答案】 16 【解析】解:因为去掉一个最低分后平均分为 90 分,则这 4 人的总分为 90 ? 4 ? 360 . 因为去掉一个最高分后平均分为 86 分,则这 4 人的总分为 86 ? 4 ? 344 ; 所以最高分比最低分高 360 ? 344 ? 16 . 故答案为 16 . 11. 【答案】 2 3 , 30? 【解析】解:由余弦定理,得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 16 ? 4 ? 8 ? 12 ,解得 a ? 2 3 ; 3 2? c sin A 由正弦定理,得 2 ? 1 ,所以 C ? 30? 或 150? (舍) sin C ? ? a 2 2 3 故答案为 2 3 , 30? . 12.
1 【答案】 , 3+ 2 3 【解析】解:由三视图画出几何体的直观图如图所示, 则几何体是底面是直角三角形的直三棱柱横着放.
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北京名师 15801595307 高考答疑

1 1 所以 V ? ? 1? 1? 1 ? , 3 3 1 S ? ?1?1? 2 ? 1?1 ? 1?1 ? 2 ?1 ? 3 ? 2 2 1 故答案为 , 3+ 2 3

13.

【答案】 [? 2, 2]
m 2

【解析】解:如图,圆心 O 到直线 AB 距离为 d ? 则 AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 4 ? 解得 ? 2 ? m ? 2 . 故答案为 m ? [? 2, 2] .
m2 ?2 3, 2



14. 【答案】二, {3,4,9} 【解析】 解: 因为每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上, 6 ? 5 ? 1 矛盾; 所以 6 只能在第二张卡片上 (否则, 若 6 在第一张上, 若 6 在第三张卡片上 6 ? 3 ? 3 矛盾) 同理, 4 只能在第三张卡片上(否则, 4 若在第一张上,5 ? 1 ? 4 矛 盾;若 4 在第二张上, 4 ? 2 ? 2 矛盾) ; 同理, 8 只能在第一张卡片上, 7 只能在第二张卡片上, 9 只能在 第三张卡片上.如图所示. 故答案为:二, {3,4,9} .

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