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点到直线的距离公式

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点到直线的距离 问题 如图,某人要 走到前方的公 路上,选择怎 样的路线才能 使走得路程最 短? 问题:求点P0(x0 ,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离。 P0 y l P1 过点P0作直线 l 的 垂线,垂足为P1(x1,y1) 则 O x P1P0 ? ( x0 ? x1 , y0 ? y1 ) P 1P 0 即为点P0到直线 l ? l 因为P 1P 0 与直线 的 一个法向量 n ? ( A, B) ? 0 0 平行,所以 ? P 180 1P 0 , n ?? 0 或 的距离d ? P1P0 ? n ? P1P0 n cos ? P1P0 ? n ? P0(x0,y0) y ? n l ? P1P0 ? n ? P1P0 n cos ? P1P0 ? n ? ? d n ?d ? ? P P ? n 1 0 ? n P1(x1,y1) ? ? ( x0 ? x1 , y0 ? y1 ) ? ( A, B) A2 ? B 2 A( x0 ? x1 ) ? B ( y0 ? y1 ) A2 ? B 2 Ax0 ? By0 ? ( Ax1 ? By1 ) A2 ? B 2 O 由于P1(x1,y1)是直线 l 上的 x 一点,所以Ax1+By1+C=0 从而得C ? ?( Ax1 ? By1 ),因此 ? d? Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2 注: 在使用该公式前,须将直线方程化为一般式. 例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y=5;②x=2的距离。 解:①将直线方程化为一般式: 2x+y-5=0, 由点到直线的距离公式,得 d? 2 ? ?? 1? ? 1? 2 ? 5 22 ? 12 ? 5 ②将直线方程化为一般式: ? ? 2 ? 0, 从而有 d2 ? 1? ( ?1) ? 2 1 ?0 2 2 y P(-1,2) O x ?3 l:x=2 注意: 点到直线的距离公式适用于任何情况,但 当直线平行于坐标轴时,建议用直观判断。 即当直线平行于X轴,直线方程为y=y1 , 点 po(xo,y0)到直线的距离 d ? y1 ? y0 ;同样, 直线方程为x=x1时,点 p0(x0,y0) 到直线的 距离 d ' ? x1 ? x0 练习 求下列给定点到给定直线的距离: (1) A(3,5),y=10; (2)B(2,-3),x+y=1; (3)C(5,3),x=-10. 例2:求平行线12x-5y+2=0与12x-5y-24=0的距离。 l1:12x-5y+2=0 两平行线间的 y l2: 12x-5y-24=0 距离处处相等 x 在l2上任取一点,例如P(2,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离 由点到直线的距离公式,得 O P(2,0) ? d? 12? 2 ? 5 ? 0 ? 2 122 ? 52 26 ? ?2 13 ?直线到直线的距离转化为点到直线的距离 y P l1 思考:任意两条平行线的距离是多少呢? Q l2 x O 任意两条平行直线都可以写 成如下形式: l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0 在直线 l1上任取一点P ? x0 , y0 ? ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q 则点P到直线l2的距离为: PQ ? Ax0 ? By0 ? C2 A2 ? B2 (两平行线间 的距离公式) ?点P在直线l1上, ? Ax0 ? By0 ? C1 ? 0 ? Ax0

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